Презентация по математике "Мир многогранников"

Многогранником называется ограниченное тело, поверхность которого состоит из конечного числа многоугольников.

Виды многогранников:

1. Платоновы тела.

2. Архимедовы тела.

3. Тела Кеплера-Пуансо.

Платоновы тела.

Многогранник называется правильным, если:

он выпуклый,

все его грани равные друг другу правильные многоугольники

в каждой его вершине сходится одинаковое число граней.

По-другому правильные многогранники называются Платоновы тела.

Пять элементов.

Начиная с 7 века до нашей эры в Древней Греции создаются философские школы , в которых происходит постепенный переход от практической к философской геометрии.  Большое значение в этих  школах приобретают рассуждения, с помощью которых удалось получать новые геометрические свойства.

Существование пяти правильных многогранников относили к строению материи и Вселенной. Пифагорейцы, а затем Платон полагали, что материя состоит из четырех  основных элементов:  огня, земли, воздуха и воды.

А так как пятой стихии в природе не было, то по их учению додекаэдр представлял собой всю Вселенную, то есть они считали, что мы живём внутри небесного свода, имеющего форму поверхности правильного додекаэдра.

Баша Валентина Анатольевна

учитель математики

лицея «Синтон»

г,Чайковский

2011 год

Многогранником называется ограниченное тело, поверхность которого состоит из конечного числа многоугольников.

Виды многогранников:

1 Платоновы тела

2 Архимедовы тела

3 Тела Кеплера-Пуансо

Многогранник называется правильным , если :

• он выпукл ый ,
• все его грани равные друг другу правильные многоугольники
• в каждой его вершине сходится одинаковое число граней.

По-другому правильные многогранники называются Платоновы тела.

Начиная с 7 века до нашей эры в Древней Греции создаются философские школы , в которых происходит постепенный переход от практической к философской геометрии.  Большое значение в этих  школах приобретают рассуждения, с  помощью которых удалось получать новые геометрические свойства.

Существование пяти правильных многогранников относили к строению материи и Вселенной. Пифагорейцы, а затем Платон полагали, что материя состоит из четырех  основных элементов:  огня, земли, воздуха и воды .

А так как пятой стихии в природе не было, то по их учению додекаэдр представлял собой всю Вселенную, то есть они считали, что мы живём внутри небесного свода, имеющего форму поверхности правильного додекаэдра.

Каждая грань многогранника – правильный треугольник.

Это многогранник называется правильный тетраэдр.

Элементы симметрии:

Тетраэдр не имеет центра симметрии, но имеет 3 оси симметрии и 6 плоскостей симметрии

• Радиус описанной сферы:

• Радиус вписанной сферы:

• Площадь поверхности:

• Объем тетраэдра:

Каждая грань многогранника – квадрат.

Этот многогранник называется правильный гексаэдр или куб.

Элементы симметрии:

• Куб имеет центр симметрии - центр куба, 9 осей
• симметрии и 9 плоскостей симметрии .
• Радиус описанной сферы:

• Радиус вписанной сферы:

• Площадь поверхности куба:

• Объем куба :

S = 6 a 2

V =a 3

Каждая грань многогранника – правильный треугольник.

Этот многогранник называется правильный октаэдр.

Элементы симметрии:

Октаэдр имеет центр симметрии - центр октаэдра, 9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии.

• Радиус описанной сферы:
• Радиус вписанной сферы:
• Площадь поверхности:
• Объем октаэдра:

Каждая грань многогранника – правильный пятиугольник.

Этот многогранник называется правильный додекаэдр.

Элементы симметрии:

Додекаэдр имеет центр симметрии - центр додекаэдра, 15 осей симметрии и 15 плоскостей симметрии.

• Радиус описанной сферы:

• Радиус вписанной сферы:

• Площадь поверхности:

• Объем додекаэдра:

Каждая грань многогранника – правильный треугольник.

Этот многогранник называется правильный икосаэдр.

Элементы симметрии:

• Икосаэдр имеет центр симметрии - центр икосаэдра, 15 осей симметрии и 15 плоскостей симметрии.
• Радиус описанной сферы:
• Радиус вписанной сферы:

• Площадь поверхности:

• Объем икосаэдра:

Название многогранника

В

(Вершины)

Правильный тетраэдр

Р

(ребра)

Правильный октаэдр

4

Г

(грани)

6

Правильный икосаэдр

6

12

В+Г-Р=2

(формула Эйлера)

4

12

Правильный гексаэдр

Правильный додекаэдр

8

30

2

8

Вид

Грани

2

12

20

20

Правильный

треугольник

30

2

6

Правильный

треугольник

12

2

Правильный

треугольник

2

Правильный квадрат

Правильный пятиугольник

У правильных многогранников есть ещё одна особенность

Если считать центры граней тетраэдра вершинами нового многогранника, то вновь получим тетраэдр.

Центры граней куба образуют октаэдр.

Центры граней октаэдра образуют куб

Центры граней додекаэдра образуют икосаэдр

Центры граней икосаэдра образуют додекаэдр

Из правильных многогранников (Платоновы тела) можно получить так называемые полуправильные многогранники, или Архимедовы тела . Гранями их являются также правильные, но разноимённые многоугольники.

Открытие тринадцати полуправильных многогранников приписывается Архимеду, впервые перечислившего их в недошедшей до нас работе.

Относительно недавно (в конце 50-х - начале 60-х годов XX века) несколько математиков практически одновременно, независимо друг от друга указали на существование еще одного, ранее неизвестного полуправильного выпуклого многогранника - псевдоромбокубоктаэдра. Однако не все специалисты согласны с причислением этого многогранника к архимедовым телам .

Тела Архимеда получаются из правильных многогранников с помощью операции (усечения), то есть отсечения углов плоскостями, и они тоже являются выпуклыми многогранниками. А продолжение их граней и рёбер позволяет получить звёздчатые многогранники, которые являются не выпуклыми. Их ещё называют телами Кеплера-Пуансо.

Б ыло предложение Кеплера рассматривать невыпуклые многогранники со звёздчатыми гранями, подобными пентаграмме и последовавшее за этим открытие двух правильных невыпуклых однородных многогранников - малого звездчатого додекаэдра и большого звездчатого додекаэдра. Поэтому эта группа многогранников носит название тела Кеплера - Пуансо.

Он был открыт Леонардо Да Винчи, затем спустя почти 100 лет переоткрыт Иоганном Кеплером и назван им (звезда восьмиугольная). У октаэдра есть только одна звездчатая форма. Её можно рассматривать как соединение двух тетраэдров.

Большой звездчатый додекаэдр принадлежит к семейству тел Кеплера-Пуансо, то есть правильных невыпуклых многогранников. Грани большого звездчатого додекаэдра – пентаграммы, как и у малого звездчатого додекаэдра. У каждой вершины соединяются три грани. Вершины большого звездчатого додекаэдра совпадают с вершинами описанного додекаэдра.

Большой звездчатый додекаэдр был впервые описан Кеплером в 1619 г. Это последняя звездчатая форма правильного додекаэдра.

Икосаэдр имеет 20 граней. Если каждую из них продолжить неограниченно, то тело будет окружено великим многообразием отсеков-частей пространства, ограниченных плоскостями граней. Все звёздчатые формы икосаэдра можно получить добавлением к исходному телу таких отсеков. Не считая самого икосаэдра, продолжения его граней отделяют от пространства 20+30+60+120+20+60+12+30+60+60 отсеков десяти различных форм и размеров. Большой икосаэдр состоит из всех этих кусков, за исключением последних шестидесяти.

Икосододекаэдр имеет 32 грани, из которых 12 являются правильными пятиугольными гранями, а остальные 20 – правильные треугольники. Что касается вопроса о том, могут ли получившиеся многогранники оказаться правильными, то на него давно получен ответ. Великий математик Каши ещё в 1811 году доказал, что список правильных многогранников исчерпывается пятью Платоновыми телами вкупе с четырьмя многогранниками Кеплера - Пуансо.

Вклад Кеплера (1571-1630гг) в теорию многогранника – это, во-первых, восстановление математического содержания утерянного тракта та Архимеда о полуправильных выпуклых однородных многогранниках. Весьма оригинальна космологическая гипотеза Кеплера, в которой он попытался связать некоторые свойства Солнечной системы со свойствами правильных многогранников.

Музей Плодов в Яманаши Ицуко Хасегава

Великая пирамида в Гизе

Великие пирамиды в Гизе

Александрийский маяк

Фаросский маяк

Один из Японских музеев

Альбрехт Дюрер « меланхолия»