Праздник День матери

Этапы решения и методические приёмы обучения решению текстовых арифметических задач

Одна из базовых целей обучения математике в начальной школе – формирование у учащихся общего умения решать текстовые задачи. Обнаружить его можно, предъявив ученику незнакомую задачу. Если он сразу откажется от решения, оправдываясь тем, «что такие в классе не решали», это означает, что общее умение не сформировано. Если же, осознавая, что он не встречался с такими задачами, ребёнок начинает преобразовывать её, используя различные общие приёмы, и либо находит ответ, либо делает вывод, что задачу решить не может, так как не знает какой-либо зависимости, не владеет какой-либо информацией, то он владеет общими умением.

Оно складывается из знаний о задачах и процессе их решения (в частности, об этапах решения задач, о приёмах, помогающих решению) и умение применять эти знания в конкретной ситуации, выбирать общие приёмы, помогающие решению любой задачи.

Ответ на требование задачи получается в результате ее решения. Решить задачу в широком смысле этого слова - это, значит, раскрыть связи между данными, указанными условием задачи, и искомыми величинами, определить последовательность применения общих положений математики (правил, законов, формул и т.п.), выполнить действия над данными задачи, используя эти общие положения, и получить ответ на требование задачи или доказать невозможность его выполнения[15;с.56].

Термин «решение задачи» широко применяется в математике. Этим термином обозначают связанные между собой, но все же не одинаковые понятия:

1) решением задачи называют результат, то есть ответ на требование задачи;

2) решением задачи называют процесс нахождения этого результата, то есть всю деятельность человека, решающего задачу, с момента начала чтения задачи до окончания решения;

3) решением задачи называют лишь те действия, которые производят над условиями и их следствиями на основе общих положений математики для получения ответа задачи[28;с.53].

Решение задач - это работа несколько необычная, а именно умственная работа. А чтобы научиться какой-либо работе, нужно предварительно хорошо изучить тот материал, над которым придётся работать, те инструменты, с помощью которых выполняется эта работа.

Значит, для того чтобы научиться решать задачи, надо разобраться в том, что собой они представляют, как они устроены, из каких составных частей они состоят, каковы инструменты, с помощью которых производится решение задач.

Основная особенность текстовых задач состоит в том, что в них не указывается прямо, какое именно действие (или действия) должно быть выполнено для получения ответа на требование задачи[48;с.60].

Процесс решения любой текстовой задачи состоит из нескольких этапов:

• Восприятие и первичный анализ.

• Моделирование задачи.

• Поиск решения и составление плана решения.

• Запись решения.

• Проверка решения.

• Запись ответа.

Важнейшим этапом решения задачи является первый этап - восприятие задачи (анализ текста). Цель этапа – добиться, чтобы каждый ученик четко представил себе, о чем эта задача, что в задаче известно, что нужно найти, какая существует зависимость между данными (числами, величинами, значениями величин); какими отношениями связаны данные и неизвестные, данные и искомое, что является искомым: число, отношение, некоторое утверждение[7;с.13].

Можно выделить следующие приёмы, используемые на первом этапе решения текстовой задачи:

• Выделение в тексте условия задачи и её вопроса , первичный анализ текста;

• Представление той жизненной ситуации, которая описана в задаче(мысленное рисование, словесное рисование), мысленное участие в ней, если это возможно;

• Разбиение текста задачи на смысловые части;

• Переформулировка текста задачи: замена данного описания ситуации другим, сохраняющим все отношения и зависимости и их количественные характеристики, но более ярко их выражающим;

Каждый из выше перечисленных приёмов начинается с чтения или слушания задачи. От того, как она будет прочитана или прослушана, зависит её понимание. Основные требования к чтению задачи:

• Правильное чтение всех слов, сочетание слов, соблюдение знаков препинания;

• Правильная расстановка логических ударений, особенно при чтении вопроса задачи.

Необходимо учить детей правильной постановке логического ударения в вопросе задачи. Для этого можно предложить следующие вопросы:

• Прочитать предложенный вопрос задачи, выделив в нем нужное слово в зависимости от той или иной ситуации, к которой он поставлен. Ситуации и вопрос учитель подбирает, учитывая возможную вариативность логического ударения;

• Придумать ситуацию (условие задачи), к которой можно поставить такой вопрос….[10;с.49].

Вопрос читается с выделением в нем сначала одного слова, затем другого. Вопрос может быть записан на доске. Если в тексте задачи встречаются незнакомые детям слова или выражения, то целесообразно разъяснить их до начала чтения.

Лучшему восприятию задачи при её слушании способствует выполнение следующих рекомендаций, с которыми полезно познакомить учащихся:

а) при слушании задачи в первый раз нужно представить описанную в ней ситуацию в целом и обязательно выделить и запомнить вопрос;

б) при повторном слушании нужно выделить и запомнить ту информацию, которая соответствует вопросу и послужит основой поиска решения.

Если после прочтения (прослушивания) задачи ученик понял её, он приступает к поиску решения и его выполнению. В противном случае он проделывает другие операции по восприятию задачи.

1.Выделение условия и вопроса из текста задачи в некоторых случаях проходит формально; учитель даёт задание:

- прочитайте условие задачи;

- прочитайте вопрос.

Многим учащимся этого недостаточно для понимания сути задачи, так как при такой работе анализ содержания отсутствует. Поэтому учителя используют прием постановки специальных вопросов к тексту задачи:

- о чём эта задача?

- что в ней означает число…?

- что в ней сказано о…?

- что требуется узнать ?и т.п.

Очень важно научить детей самим задавать такие вопросы, выделять в тексте задачи слова, определяющие выбор действий («на каждую», «поровну», «таких же», «одинаковых» и т.п.), а также слова и выражения, без правильного понимания которых задача не может быть решена верно. Продумывание вопросов, связанных с осознанием текста задачи, может оказаться настолько эффективным, что после ответа на них большинство учащихся уже самостоятельно справляются с дальнейшей работой. В противном случае используются другие приёмы[32; с.59]..

2. Представление описанной в задаче ситуации. Оно начинается уже при чтении или слушании задачи. Однако мысленное воспроизведение всех компонентов ситуации и всех связей между ними может осуществляться и после этих действий с целью вычисления всех количественных и качественных характеристик ситуации. Этому нужно специально учить детей с помощью таких, например, заданий:

а) по тексту задачи представить ситуацию, описанную в нём. Через 1-2 минуты после чтения задачи учитель просит 1-2 учеников рассказать, что они представили. Учитель совместно с другими учениками анализирует качество представления; обращается внимание на существенные детали, которые обязательно нужно представить, и несущественные, которые лучше опустить;

б) один из учеников читает про себя задачу и затем рассказывает о том, как он представляет себе, о чем говорится в задаче. По его рассказу остальные учащиеся воссоздают текст задачи.

Для понимания некоторых задач полезно мысленно представлять себя представлять участником описанной в задаче ситуации. Для обучения этому приёму учитель организует так работу над задачей: « Мальчик купил альбом за 15 руб. В кассу он подал две монеты: 10 руб. и 10руб. Сколько сдачи получил мальчик?» Педагог предлагает каждому ученику представить, что он в магазине купил альбом. По очереди дети рассказывают, как они «покупали альбом». Учащиеся убеждаются, что этот прием помогает понять задачу, а значит, этому полезно научиться [15; с. 79].

3. Разбиение текста задачи на смысловые части и выделение на этой основе всей необходимой для поиска решения информации. При этом происходит не только понимание, но и запоминание содержание задачи.

На разных этапах обучения разбиение может производиться по разному.

Так, в начале работы над простыми задачами полезно разделить текст на части, описывающие:

а) начало события: « В саду росло 6 кустов малины»;

б) действие, которое произвели (произошло) с объектом задачи: «3 куста засохли»;

в) конечный момент события, результат действия, о чем обычно говорится в вопросе задачи: «сколько кустов осталось?».

Для других простых задач выделяют описания двух связанных определённым отношением совокупностей предметов, двух значений величины и т.п. Например: «У Коли 7 марок, а у Саши на 3 марки больше. Сколько марок у Саши?».

Для составных задач разбиение текста может служить основой выделения простых задач, последовательное решение которых составляет решение исходной составной задачи[38;с.23].

Например: « В саду 23 вишни, черешен на 3 меньше, чем вишен, а яблонь столько, сколько вишен и черешен вместе. Сколько яблонь в саду?».

Разбиение текстов начинается с вопросов: о чём эта задача? Что требуется узнать в ней? На какие логические части делится её текст? Выясняется, что задачу можно разбить на следующие части:

• В саду 23 вишни, а черешен на 3 меньше, чем вишен.

• Яблонь в саду столько, сколько вишен и черешен вместе.

• Вопрос задачи: Сколько яблонь в саду?

После такого разбиения поиск решения заключается в выяснении того, что в каждом случае можно и нужно узнать и как это сделать.

В практике обычно учитель использует этот прием при фронтальной работе над содержанием задачи. Однако необходимо, чтобы первичный анализ стал способом деятельности самого ученика, а для этого его нужно специально обучать. Необходимо продемонстрировать его полезность. Для этого при решении нескольких задач учащиеся выполняют действия, входящие в прием, по указанию учителя. Затем он обращает внимание учеников на то, что выполненные операции помогают лучше понять задачу и, следовательно, облегчают поиск решения. С помощью учителя школьники определяют, какие задания могут им помочь овладеть данным приёмом:

а) разбить тексты нескольких задач на смысловые части;

б) по тексту задачи с выделенными частями определить, облегчает ли разбиение понимание;

в) из двух вариантов разбиение одной задачи выделить более полный;

г) повторить текст задачи, прочитанной учителем, по частям;

д)разделить тексты задач, записанные на карточках, на части вертикальными чёрточками и обменяться карточками для взаимопроверке.

Постепенное сокращение текста задачи и формирование у учащихся умения выделять её основной математический смысл – одно из стержневых направлений в работе по системе Л.В.Занкова. Самостоятельное и сознательное исключение из текста задачи всех необязательных слов приводит к составлению её краткой записи и является, по мнению И.И.Аргинской средством для глубокого и полного анализа математических связей, данных в задаче[16;с.77].

Обучение сокращению текста второклассников, которые обычно не видят в задаче лишних слов, начинается с такой задачи, в которой заведомо есть много слов, не связанных с её математическим смыслом.

Деление на этапы процесса решения текстовой задачи весьма условно. Моделирование можно было бы отдельно не выделять, поскольку, с одной стороны, его можно считать одним из приёмов первичного анализа задачи, а с другой – средством, облегчающим составление плана решения задачи. Понятие моделирования можно рассматривать как в широком смысле, так и узком. В широком – текст задачи уже является её моделью, словесной моделью. Представление ситуации, описанной в задаче, - это мысленная модель. Запись решения с помощью математических знаков - знаковосимволическая. Все эти три модели являются записью одного и того же объекта – задачи. Различаются они тем, что выполнены на разных языках: языке слов, языке образов, языке математических символов. В широком смысле процесс решения задачи – это не что иное, как последовательный переход от одной модели к другой. В этом случае сформировать у учащихся умение решать текстовые задачи – значит научить её моделировать как на языке слов, так и на языке образов, а затем на языке символов. Главное правило построение модели – она должна отражать количественные отношения и характер связей между данными величинами и искомыми[36;с.72].

В результате первичного анализа текста задачи учащиеся могут прийти к построению словесной модели, которую в методической литературе чаще называют краткой записью задачи. Она может быть различной:

- с помощью опорных (основных) слов:

Привезли - 56кг

Продали – 18кг и 12 кг

Осталось - ?

- в виде таблицы:

Такая модель может служить для дальнейшего поиска решения задачи, поэтому составлению краткой записи следует специально учить детей. Беседа по краткой записи первого вида может быть проведена так:

- какие слова выберем для краткой записи?

- Знаем, сколько килограммов яблок привезли?

- Знаем, сколько килограммов яблок продали?

- а что знаем об этом?

- что требуется узнать в задаче?

Беседа по составлению краткой записи в форме таблицы может быть такой:

- о каких величинах идет речь в задаче? (масса в 1 ящике, количество ящиков, общая масса)

- что купили? ( яблоки и груши)

- знаем массу яблок в 1 ящике? А массу груш в 1 ящике?

- а что сказано о массе яблок и груш в одном ящике? (одинаковая)

- что известно в задаче о яблоках? ( одинаковые ящики с яблоками, всего 24кг)

- а что известно о грушах? (купили 6 таких же ящиков груш)

- что требуется узнать в задаче? (сколько купили груш?)

По ходу обсуждения на доске появляется краткая запись. Беседа может быть более подробна в начале обучения, позднее её целесообразно сокращать.

Краткая запись задачи удовлетворяет главному требованию модели: она показывает как количественные отношения, так и структуру связей между данными величинами и искомыми. Этим объясняется её широкое использование в начальной школе. Вместе с тем она обладает одним существенным недостатком: не раскрывает наглядно сущность математических связей, а следовательно, учащимся с недостаточно развитым абстрактным мышлением не облегчает процесс поиска плана решения задачи. В методике преподавания математике давно известен приём, позволяющий выполнить этот пробел. Он носит название «моделирование ситуации, описанной в задаче». В этом случае в понятие моделирование вкладывается более узкое содержание. В дальнейшем мы этот термин будем понимать именно в таком смысле[18; с.79]..

Под моделированием ситуации, описанной в задаче, мы будем понимать замену действий с реальными предметами, действиями с их уменьшенными образцами, моделями, муляжами ( предметное моделирование), с их графическими заменами: рисунками, чертежами, схемами и т.п. (графическое моделирование). В этом смысле моделирование является важнейшим средством в обучении решения текстовых задач, поскольку реализуется один из принципов дидактики – принцип наглядности – является более эффективным, нежели краткая запись задачи.

Как отмечает Л.Ш. Ленберг, [19; с.71] « рисунки, схемы, чертежи не только помогают учащимся в сознательном выяснении скрытых зависимостей между величинами, но и побуждают активно мыслить, искать наиболее рациональные пути решения задач, но и овладевать умениями применять их».

Чертёж представляет собой условное изображение предметов, взаимосвязей между ними и взаимоотношений величин с помощью отрезков и при соблюдении определённого масштаба. Если взаимосвязи и взаимоотношения передаются приблизительно, без точного соблюдения масштаба, мы имеем дело со схемой.

Естественно, что в начале 1 класса большее применение имеет предметное моделирование. Оно служит той предметной опорой, которая помогает ученику правильную мысленную модель и, как следствие, правильно выбрать арифметическое действие, т. е. перейти к знаково-символической модели. Постоянное использование предметного моделирования имеет отрицательное последствие:

1)Привыкнув к внешней опоре, ученик не может построить мысленную модель без неё;

2)При переходе в средние классы учащиеся сталкиваются с более сложным абстрактным материалом, который перевести на язык конкретных реальных объектов им часто не удаётся.

Графическая модель – наиболее удачная опора для построения мысленной модели задачи – должна применяться на всем протяжении обучения.

Рассмотрим, например, такую задачу 2 класса: «В первый день для ремонта школы привезли 28 брёвен, а во второй день привезли на 4-х машинах по 10 брёвен. Сколько брёвен привезли за этих 2 дня?»

Краткая запись к этой задаче выглядит так:

1д. – 28бр.

2д. - ?, 4м. по 10 бр.

Эта задача была предложена учащимся нескольких начальных школ. И хотя ранее она уже решалась, многие ученики с ней не справились. Дело в том, что краткая запись, которую использовали школьники, не отражает жизненной ситуации с достаточной наглядностью. Лучше смоделировать условие задачи в виде схематического рисунка:

1011

1д. – 28бр.

2д. - ?,

По такой модели даже слабый ученик сможет записать решение, если не так:

28+10*4=68(бр.), то хотя бы так:

1)10+10+10+10=40(бр.)

2)28+40=68(бр.)

Преимущества графического моделирования не ограничиваются тем, что оно облегчает анализ математической ситуации, описанной в задаче. Создаются предпосылки для активной мыслительной деятельности учащихся в поисках разных способов решения одной и той же задачи. Кроме того приём моделирования способствует обобщению теоретических знаний.

Графическое моделирование широко используется в альтернативных учебниках по математике для начальной школы ( под редакцией Истоминой Н.Б., Виленкина Н.Я. и Петерсон Л.Г., Эльконина Д.Б. и Давыдова В.В.). В них четко прослеживается методика обучения учащихся этому приему.

На третьем этапе учащиеся должны провести цепочку рассуждений (разбор задачи), который приведет к составлению плана решения задачи.

Анализ может быть проведён учеником как самостоятельно, так и с помощью учителя. В последнем случае педагог проводит беседу, которая в методической литературе носит название «разбор задачи». В любом случае поиск решения облегчается, если опирается на модель задачи.

В начальной школе используют различные способы разбора текстовых задач:

• от данных задачи к её вопросу (синтетический способ);

• от вопроса задачи к её данным (аналитический способ);

• комбинированный способ (аналитико-синтетический);

• разбор по существу;

• способ основанный на аналогии.

Поскольку основными являются первых два способа, дадим характеристику каждого из них.

В первом случае к двум числовым данным подбирается вопрос, затем к следующим двум данным, одно из которых может быть результатом первого действия, подбирается вопрос. И этот процесс продолжается, пока не будет получен ответ на вопрос задачи. Суть данного способа , таким образом, заключается в вычленении из составной задачи простых задач и их решений. Второй вариант состоит в том, чтобы подобрать два числа, выражающих либо значение каких-либо величин, либо отношения между величинами, таким образом, чтобы дать ответ на вопрос задачи. Одно из чисел или оба могут оказаться неизвестными. Для их нахождения подбираются два других числа, и процесс продолжается до тех пор, пока не находят известные числовые данные. При данном способе также в конечном счете происходит вычленение простых задач из составной и их решение[33; с.67]..

Этот разбор заканчивается составлением плана решения.

Разница заключается только в том, что при синтетическом способе порядок вычисления простых задач из составных соответствует плану решения, а при аналитическом – противоположен плану.

Учителя предпочитают предпочитают разбор от данного к вопросу задачи как наиболее лёгкий и доступный для детей, что неверно. Каждый из этих способов имеет свои достоинства и недостатки. Например, из того, что мастер обрабатывает за 6 часов 72 одинаковых детали. Можно узнать:

• сколько деталей обрабатывает мастер за 1 час;

• сколько времени он тратит на изготовление одной детали.

Поэтому приходится отклонять «лишние» простые задачи, ориентируясь на основной вопрос: «Что можно найти?», учитель направляет мысль учащихся на определённый способ решения и тем самым сковывает их инициативу.

Рассуждение от вопроса к данным также не всегда эффективно. При решении задач в 3 действия и более не каждый ученик может удержать в памяти всю логическую цепочку. Если задача допускает разные способы решения, то уже в самом начале разбора ребёнок сталкивается с вариативностью рассуждений.

Ни один из способов разбора не может считаться универсальным.

Дополнительным средством повышения эффективности работы над задачей и для дальнейшего развития абстрактного мышления учащихся является способ разбора, называемый неполным анализом[8; с.79].

В начальном курсе математике встречается много задач с прямым указанием на выполнение действия (так называемых «прозрачных» задач). Применение в таких случаях полного анализа сдерживает движение мысли учащихся, так как большинство детей сразу могут составить план решения, если задача будет записана в сокращенном виде в соответствующей форме. Разбор «прозрачных» задач способом от числовых данных целесообразно сочетать с составлением модели и частичной реализации плана решения. Для этого в процессе моделирования наряду с данными числами финансируются выражения, являющиеся частью решения задачи.

Такой способ эффективен при работе с задачами, в которых требуется найти сумму нескольких значений одной величины, если известно на сколько или во сколько раз больше (меньше) каждое последующее, чем предыдущее.

Сочетание моделирования и разбора, запись не только чисел, но и выражений, являющихся частью решения, делают задачу более «прозрачной», облегчают поиск её решения. Кроме экономии времени повышения самостоятельности учащихся, такой приём позволяет организовать дифференцированную работу над задачей. Ученики, которые после моделирования, смогут составить план решения, приступают к самостоятельному его выполнению. С остальными учащимися учитель производит разбор.

Способ разбора по существу предполагает осмысление основного отношения между величинами, данными или искомыми.

Существует множество задач, для которых вышеуказанные способы разбора применить довольно сложно. Не зная, как подступить к решению, ученик часто соединяет данные неправильно, стремясь скорее выполнить арифметическое действие. Учитывая эту особенность, можно предложить приём, суть которого заключена в составлении выражения из чисел, данных в задаче, и разъяснения их смысла. Этот способ разбора обладает простой, доступностью для учащихся, кроме того является предпосылкой успешного обучения алгебраическому методу решения.

Одним из эффективных приёмов поиска плана решения задачи, позволяющих организовать продуктивную мыслительную деятельность учащихся, является использование аналогии. Этот способ предлагает следующую цепочку рассуждений:

• Выявление полного или частичного сходства между значениями величин и условий ранее решенной и вновь предложенной задачи;

• Выдвижение предложения о решении новой задачи с полным или частичным использованием плана ранее решенной, похожей задачи.

В основе аналогии лежит сравнение. Поэтому для использования этого приёма необходимо восстановить способ решения предшествующей задачи. Затем предлагается новая (аналогичная) задача. Учащиеся выявляют сходство отношений в них и делают заключение о степени совпадения планов решения. Затем они составляют план решения новой задачи[22; с.179]..

В заключении проводится проверка решения и делается вывод о том, что предложение было верным.

Нетрудно заметить, что все описанные способы разбора задачи хотя и имеют свои отличительные особенности, но, в конечном счёте, сводятся к рассуждениям либо от вопроса к числовым данным, либо от числовых данных к вопросу. Этим рассуждениям необходимо в первую очередь научить детей. Сделать это можно с помощью специально организованной работы, которая включает несколько этапов.

Первый этап. Неявное знакомство с рассуждениями при коллективном решении задач под руководством учителя. Разбор ведёт педагог, учащиеся отвечают на его вопросы. Цель работы детей – решить задачу. На этом этапе ученики накапливают опыт осуществление разбора по указаниям учителя. Здесь же выполняются упражнения, готовящие к освоению способа рассуждений.

Второй этап. Специальное знакомство учащихся с одним из видов рассуждений. Этот урок или уроки желательно строить так, чтобы школьники могли осуществить « целостный акт учебной деятельности», т.е. чтобы они:

а) увидели, что соответствующие рассуждения помогают в решении и захотели научиться производить их самостоятельно;

б) сам и решали вопрос, как можно научиться, сами выбирали необходимые для этого необходимые виды работы ( учитель выступал в роли координатора, побудителя и эксперта предложений детей);

в) сами и ставили перед собой вопросы: «А научился ли я?», сами искали задания, с помощью которых они могли бы ответить на них.

Третий этап. Тренировка в использовании разбора при самостоятельном решении задач.

Четвёртый этап. Явное знакомство с другими способами разбора и тренировки в их использовании.

Пятый этап. Самостоятельное использование различных видов разбора при решении задач разных видов.

Методика обучения работе на каждом из 5-ти этапов с использованием графических схем описана С.Е. Царёвой. Первые схемы учитель может строить уже при работе над простыми задачами, сопровождая их рассуждениями от вопроса к данным, или от данных к вопросу. При этом он должен объяснить, как именно строится схема. Следует отметить, что в этот период она не играет роли модели задачи, а иллюстрирует ход самих рассуждений. Поэтому часто её называют схемой разбора задачи[32; с.87]..

В результате решения простых задач с графической интерпретацией разбора учащиеся убеждаются, что для нахождения искомого нужно знать два числовых данных, а также приобретают умение правильно формировать вопросы при разборе.

Схема разбора задачи может быть построена и при знакомстве с понятием «составная задача».при этом учитель должен добиться четкого осознания детьми соответствия этой схемы рассуждениям, графической интерпретацией которых она является. Схема строится от руки. Нельзя требовать от детей использование при этом чертёжных инструментов.

Эффективным является использование игровых ситуаций, когда учащиеся выступают в роли учителя перед всем классом, в группе, в парах. Групповая работа основана на распределении ролей: учитель (задает вопросы), ученики (ищут план), эксперты (следят за правильностью рассуждений). Дети, овладев приёмом, которым до этого времени пользовался только учитель, чувствуют уверенность в своих силах, верят в возможность научиться более сложным действиям. Для учителя это означает, что он достиг цели, сформировав одно из общих умений решать задачи.

Различные формы записи решения задачи. Решение задачи, в узком смысле слова, - это выполнение арифметических действий, выбранных при составлении плана решения. Оно может выполняться устно или письменно. Решение примерно половины текстовых задач в начальной школе должно выполняться устно. При этом важны не только арифметические операции, но и пояснения к ним. Учить детей комментировать действия правильно. Рассмотрим способы записи и решения такой задачи: « в трех одинаковых ящиках 21 кг апельсинов. Сколько килограммов апельсинов в 8 таких ящиках?»

Решая эту задачу устно, ученик рассуждает так: « Сначала узнаю массу апельсинов в одном ящике, для этого 21:3=7(кг) – масса одного ящика апельсинов. Вторым действием узнаю массу 8 таких же ящиков. Для этого 7*8=56(кг).

Формы записи решения задачи могут быть различными:

• Составление по задаче выражения и нахождение его значения. Например, 21:3*8=56(кг);

• Запись решения по действиям:

а) без пояснений, например,

1) 21:3=7(кг)

2) 7*8=56(кг)

б) с пояснениями, например:

1) 21:3=7(кг) – масса одного ящика

2) 7*8=56(кг)

3. запись с планом решения, например,

а) какова масса одного ящика апельсинов7

21:3=7(кг)

б) какова масса 8 ящиков?

7*8=56(кг)

В 1 классе и начале 2 класса решение по действиям записывается без пояснений, но они проговариваются устно. В дальнейшем решение далеко не всех задач следует записывать с пояснением или планом.

Необходимо специально обучать детей записи пояснений или плана. При инструктировании учащихся перед самостоятельной работой (в том числе и домашней работой) учитель обязательно указывает характер оформления решения задачи.

Проверка решения задачи. На этом этапе на основе ряда умственных или практических действий должен быть сделан вывод в виде рассуждения: «Так как…, то задача решается верно (неверно)».

Известно несколько способов такой проверки:

1) составление и решение обратной задачи;

2) решение задачи другим способом;

3)соотнесение полученного результата и условия задачи или разыгрывание условия задачи;

4)прикидка ответа или установление его границ.

Развивая у учащихся умение проводить проверку решения текстовых задач, учитель должен постоянно иметь ввиду цель, носящую более общий характер: формирование одного из компонентов учебной деятельности – самоконтроль. Это значит, что действия при проверке должны представляться менее трудными и более обоснованными, чем решение проверяемой задачи. В противном случае проводимые действия не будут для ученика средством контроля проделанной работы, а начнут восприниматься как дополнительные задания, цель которого ему непонятна, но которую нужно выполнить по требованию учителя. Ясно, что в таком случае не будет происходить формирование самоконтроля, так как в сознании учащихся искажается смысл самопроверки. Поэтому анализ перечисленных выше способов мы проведём с точки зрения степени их влияния на развитие самоконтроля учащихся.

1.Составление и решение обратной задачи.

При проверки решения задачи этим способом учащиеся, как известно, должны выполнить ряд действий:

• Подставить в текст задачи найденное число;

• Выбрать новое искомое;

• Сформировать новую задачу;

• Решить составленную задачу;

• Сравнить полученное число с тем данным первой задачи, которое было выбрано в качестве искомого.

На основе этого сравнения составить соответствующее умозаключение о правильности решения простой задачи. Рассмотрим применение этого способа проверки на примере такой задачи: « в трёх ящиках было по 9 кг печенья. Когда часть печенья продали, осталось 6 кг. Сколько печенья продали?»

После решения задачи:

1) 9*3=27(кг) – было

2) 27-6=21(кг) – продали

Составляется одна из обратных задач, например: « в трёх ящиках по 9 кг печенья. Продали 21 кг печенья. Сколько печенья осталось?»

Решив её:

• 9*3=27(кг) – было

• 27-21= 6 (кг) – осталось,

Учащиеся делают вывод: «В условии первой задачи было сказано. Что осталось 6 кг печенья, и во второй задаче мы получили такой результат. Это говорит о том, что решение исходной задачи верно».

Одно из действий при таком способе проверки – решение обратной задачи. Чтобы использовать её результат в качестве образца – критерия оценки правильности ответа на вопрос первоначальной задачи, - оно должно быть верным и не вызывать затруднений, т.е. быть заведомо более лёгким, чем решение проверяемой задачи. Если это условие не соблюдено, то потребуется дополнительная проверка. Следовательно, решение обратной задачи уже не может выступать в роли средства контроля[28; с.36]..

Объективно степень сложности обратной задачи такая же, что и прямой. Действительно, обратная задача содержит столько же данных, те же отношения и связи, что и прямая. Но прежде чем решать обратную задачу, учащиеся должны составить её. Это усложняет процесс проверки.

Из сказанного следует , что составление и решение обратной задачи в силу её сложности не может использоваться учениками в качестве способа проверки правильности решения прямой задачи.

2.Решение задачи другим способом.

Под разными способами решения текстовой задачи чаще всего понимают различные арифметические приёмы, которые отличаются связями между данными и искомыми. Нельзя путать разные варианты записи решения задачи и разные способы её решения.

Не подлежит сомнению дидактическая ценность решения задачи разными способами. Это умение характеризует степень осознания учеником ситуации, описанной в задаче, понимание связей между данными и искомым, наблюдательность, вариативность мышления, повышает познавательный интерес. Однако возможности решения задач разными способами с точки зрения формирование самоконтроля ограничены двумя обстоятельствами. Во- первых, получение того же результата при использовании другого варианта подтверждает правильность первого ответа лишь при условии верного решения задачи новым способом. Во- вторых, чтобы выступать средством контроля и самоконтроля, второй способ решения должен быть лучше освоен учениками, чем первый. Но если учитель предварительно не оговаривает особые требования, то учащиеся обычно сразу выбирают наиболее доступный вариант. Следовательно, самостоятельно учащиеся не воспользуются новым способом решения для подтверждения правильности полученного результата.

Обобщая вышеизложенное, приходим к выводу, что решение задач разными способами может способствовать формированию самоконтроля только при постоянной и целенаправленной работе учителя. Особенно важно методически правильно провести первое знакомство с этим вариантом проверки[9;с.138].

Во- первых, необходимо, чтобы решение предложенной задачи не было слишком легким или достаточно обоснованным; во- вторых, должен существовать другой арифметический метод её решения, хорошо освоенный учащимся. Только при соблюдении этих условий ученики воспримут другой способ как проверку.

Кроме арифметического, существуют и другие способы (методы) решения текстовых задач: алгебраический, практический, графический. Если они достаточно хорошо усвоены ранее, то в ряде случаев каждый из них может выполнить функцию проверки решения задачи. Важно при этом, чтобы связи между данными и искомыми, на которых основаны арифметический и алгебраический способы, не совпадали.

Графический и практический способы ( методы) решения текстовых задач тесно связаны с использованием графических или предметных моделей, которые позволяют сделать отношения между данными и искомыми наглядно видимыми и интуитивно ясными, как отношение между предметами (или группами предметов) или между отрезками. Построение модели после решения задачи арифметическим способом может служить средством контроля, как за результатом, так и за выбором действий. Значит, возникают предпосылки для формирования самоконтроля не только итога, но и хода деятельности. В этом заключается их особая ценность.

• Соотношение полученного результата и условия задачи.

Суть данного приёма заключается в том, что найденный результат вводится в текст задачи и на основе рассуждений с выполнением при необходимости арифметических действий устанавливается, не возникает ли противоречие.

При раскрытии содержания этого способа проверки часто выделяют лишь выполнение арифметических действий над числами, полученными в ответе, и соотнесение их с данными в условии. Однако смысл приёма гораздо глубже. Он заключается не только в выполнении арифметических действий и в получении исходных чисел, но и в обосновании рассуждений о том, что при правильном результате все отношения и зависимости между данными и искомыми будут выполнены. Опровержение последнего утверждения в результате проверки будут означать, что ответ не верен. Поскольку текстовая задача формулируется на реальном языке, то проверка её должна основываться на смысле его слов и предложений. Это означает, что она заключается в проведении арифметических действий. Комментарии носят всегда неформальный характер, основаны на понимании тем, кто проверяет, всех слов и предложений текста задачи. Удачнее было бы назвать способ проверки «разыгрыванием условий задачи» [9;с.140].

Ценность этого способа в неформальности рассуждений. Они всегда ведутся по тексту задачи и поэтому различны для разных заданий. В тоже время такие рассуждения вполне доступны детям. Их контролирующий характер ясен учащимся, и, следовательно, такой способ может быть применён для самоконтроля.

Это наиболее естественный вариант проверки. Однако обучение ему требует организации специальной работы и постоянного внимания. Регулярное использование этого способа (а он применим для каждой задачи) вырабатывает привычку вдумчиво относиться к каждому слову в тексте задачи, заставляет полно формулировать ответ на её вопрос.

Рассмотрим применение этого способа на примере составной задачи: « Для посадки привезли 600 лип и 400 дубов. Их рассадили в ряды поровну. При этом лип получилось на 5 рядов больше, чем дубов. Сколько получилось лип и дубов в отдельности?»

При решении задачи получилось, что дубов получилось 10 рядов, а лип – 15. Прочтем текст, заменив вопрос ответом на него: « для посадки привезли 600 лип и 400 дубов. Их рассадили в ряды поровну. При этом лип получилось на 5 рядов больше, чем дубов. Лип получилось 15 рядов, а дубов – 10 рядов».

Сравним полученное число рядов лип с числом рядов дубов. 15 больше, чем 10 на 5, так как 15 – 10 = 5. Значит, это отношение выполняется.

Проверим другое отношение, имеющееся в задаче: условие равенства числа деревьев в каждом ряду. Для этого найдем число лип в каждом ряду: 600:15=40 и число дубов в каждом ряду:400:10=40. Это требование тоже выполняется. Проверены все соотношения, имеющиеся в задаче, и установлено, что противоречий нет. Значит решение верно.

Частое применение этого способа в сочетание с «прикидкой» и проверкой выбора действий через составление обратной задачи является хорошим средством формирования наиболее совершенных видов самоконтроля, с одной стороны, и умение анализировать текст задачи, с другой стороны. Поэтому обучение установления соответствия результата решения условию следует начинать с самого начала работы по теме.

• «Прикидка» ответа или установление его границ.

Суть этого приёма заключается в прогнозировании с некоторой степенью точности правильности результата решения. Применение «прикидки» даёт точный ответ на вопрос, правильно ли решена задача, лишь в том случае, когда полученный результат не соответствует прогнозируемому.

Если полученный результат соответствует прогнозируемому, то задача- решена верно. Если в ходе проверки выясняется, что соответствия нет, то следует искать ошибку в решении. Прежде всего, надо проверить правильность всех вычислений. Если в них ошибка не обнаружена, то следует проверить решение заново или, соотнеся каждое действие с условием, выяснить, правильно ли они выбраны. Самостоятельное осуществление «прикидки» ответа и соотнесения хода и результата решения с результатом есть не что иное, как осуществление самоконтроля в его наиболее развитом виде. « Прикидка» облегчает поиск решения задачи, так как предлагает проведение первоначального анализа основных связей между данными и искомым, выделение основного отношения между ними. Часто повторяемое требование учителя осуществить «прикидку» ответа воспитывает у учащихся привычку не начинать решение задачи прежде, чем будет оценён потенциальный результат, т. е воспитывает привычку сначала думать, а потом делать.

Заложенные в этом методе проверки возможности для формирования самоконтроля могут быть реализованы лишь при сочетании обучения этому способу с обучением другим приёмам, особенно в сочетании с установлением соответствия решения условию задачи.

Запись ответа над задачами. Ответ в задаче может быть записан кратко: « Ответ:56кг», но может быть и полным: « Ответ:56 кг весят 8 ящиков с апельсинами» (или: « 56кг – масса 8 ящиков апельсинов»).

В 1 классе, до тех пор, пока у детей не сформирован навык достаточно беглого письма, ответ записывается кратко. Однако при этом устно обязательно проговаривается полный вариант.

Краткий ответ может записываться и позднее в том случае, если фиксируется пояснение к последнему действию. Если требуется полный ответ, то пояснение к последнему действию опускается.

Учить детей правильно формулировать правильный ответ следует начинать с первых текстовых задач. Для этого необходимо приучить учеников после решения задачи ещё раз прочитать её вопрос.

Многие учителя предлагают детям начинать ответ с числового данного. Однако не следует исправлять ученика, если он не выполнил этого указания, но тем не менее по существу правильно сформулировал ответ: « Ответ: масса 8 ящиков апельсинов – 56кг».

Задача считается решенной только в связи с данным её условием, т.е. ответ на вопрос задачи определяется содержащимся в её условии данными и их отношениями. Следовательно, в условии имеются такие ориентиры, которые предопределяют направление поиска ответа на вопрос задачи[55;с.48].

С понятием «задача» мы знакомим учащихся в 1 классе. В этой связи прежде, чем приступить к знакомству с задачей и обучению решению задач, необходимо сформировать у ребёнка целый комплекс умений: умение слушать и понимать тексты различных структур, умение правильно представлять себе и моделировать ситуации, предлагаемые педагогом, умение правильно выбирать действе в соответствии с ситуацией, а также умение сопоставлять математическое выражение в соответствии с выбранным действием, и умением выполнять простые вычисления. Эти умения являются базовыми для подготовки ребёнка к обучению решению задач[30; c.48].

Анализ различных учебных пособий по математике для начальных классов, называемых учебниками нового поколения (учебники различных развивающих систем), показывает, что знакомство со знаками действия, обучение составлению соответствующего математического выражения реализуется их авторами не ранее 3 – 4 месяца пребывания ребёнка в школе. Это обусловлено необходимостью сформировать у ребёнка целый ряд предметных знаний и умений, составляющих базу для подготовки к правильному пониманию смысла и способов выполнения арифметических действий[30;с.23].

Эту методическую работу можно считать подготовительной к обучению решению простых задач. Поскольку в первом классе начальной школы большинство детей не владеет свободным чтением, очень большое значение имеет понимать ситуацию задачи на слух, правильно моделировать её, выбирать и объяснять выбор действий.

Чтобы научить ребенка работе над текстовой арифметической задачей, учитель может использовать различные методы и приемы обучения, соответствующие совершенствованию логического мышления и творческих способностей детей[5;с.101].

Для приобретения опыта в анализе текстов задач (простых и составных) используются следующие приёмы:

• Фронтальная беседа по задаче;

• Наглядная интерпретация (таблицы, рисунки, чертежи);

• Сравнение задач (можно сравнивать простые и составные, прямые и обратные…0

• Преобразование задач (из простой в составную, из прямой в обратную, изменяя вопрос);

• Решение задач с недостающими данными (если есть лишнее данное, или не хватает какого-то данного);

• Составление задач учащимися по рисунку, чертежу решению и т.д. (скорость, время, расстояние…);

• Решение задач разными способами (арифметический, практический, графический, алгебраический);

• Проверка правильного решения задачи;

• Дифференцированная работа над задачей (слабому ученику карточку «карточка-помощь», сильному обратную и т.д.);

• Решение и составление взаимообратных задач (от данных к вопросу – синтетический способ. От вопроса к данным – это аналитический способ решения)[16;с.45].

Рассмотрим, например, задачу: «По дороге в одном и том же направленииидут два мальчика. Вначале расстояние между ними 2 км. Так как скорость идущего впереди мальчика 4 км/ч, а скорость второго 5 км/ч, то второй нагоняет первого с начала движения и до того как второй мальчик догонит первого, между ними бегает собака со скоростью 8 км/ч. От идущего позади она бежит к идущему впереди, добежав, возвращается обратно и так бегает до тех пор, пока мальчики не окажутся рядом. Какое расстояние пробежит за всё это время собака?»

Чтобы учащиеся осознали текст задачи, можно предложить следующую фронтальную работу с учащимися:

Большую помощь в осмыслении текста задачи может оказаться такой приём, как перефразировка текста задачи. Он заключается в замене данного в задаче описания ситуации другим описанием, которое сохраняет все отношения и качественные характеристики, но выражает их более явно. Это достигается в результате отбрасывания несущественной, излишней информации, преобразованием текста задачи в форму, более удобную для плана решения.

Результатом перефразировки должно быть выделение основных ситуаций. Задачу, можно перефразировать следующим образом: «скорость одного мальчика 4 км/ч, а скорость догоняющего его мальчика 5 км/ч (это первая ситуация). Расстояние, на которое мальчики сблизились, 2 км (вторая ситуация). Время движения мальчиков – это время , в течении которого второй мальчик догонит первого и пройдет на 2 км больше, чем первый (третья ситуация). Скорость, с которой бежит собака равна времени движения мальчиков (пятая ситуация). Требуется определить расстояние, которое пробежала собака».

Решение:

• 5 – 4=1 (км/ч) – скорость движение мальчиков;

• 2:1=2 (ч) – время сближения;

• 8*2=16 (км) – расстояние, которое пробежала собака.

Ответ: 16 км.

Текстовая задача – это словесная модель некоторого явления. Чтобы решить такую задачу, надо перевести такую задачу, надо перевести её на язык математических действий, т.е. построить её математическую модель.

Математической моделью текстовой задачи является выражение, если задача является арифметическим способом, или уравнением, если задача решается алгебраическим способом.

Перевод текста с естественного языка на математический представляет большую сложность. Чтобы облегчить это, строят вспомогательные модели – схемы, рисунки, чертежи, таблицы и т. д. Тогда процесс решения задачи можно рассматривать как переход от одной модели к другой: от словесной модели реальной ситуации, представленной к задаче, к вспомогательной, а от неё – к математической, на которой происходит решение задачи.

Все вспомогательные модели можно разделить на схематизированные и знаковые по видам средств, используемые для их построения.

Схематизированные модели делятся на вещественные и графические в зависимости от того, какое действие они обеспечивают.

Вещественные (предметные) модели текстовых задач обеспечивают физическое действие с предметами. Они могут строиться из каких-либо предметов (спичек, пуговиц…).

Графические модели используются, как правило, для схематического воссоздания ситуации задачи. К графическим следует отнести следующие виды моделей:

• Рисунок;

• Условный рисунок;

• Чертёж;

• Схематический чертёж (или просто схема).

Например, «Лида нарисовала 4 домика, а Вова на 3 домика больше. Сколько домиков нарисовал Вова?»

• Рисунок в качестве графической модели этой задачи имеет вид

Л.

В.

• Условный рисунок может иметь такой вид:

Л.

В.

• Чертёж, как графическая модель, выполняется при помощи

чертёжных инструментов с соблюдением заданных отношений.

А.

В.

• Схематический чертёж (схема) может выполняться от руки,на нём указываются все данные и искомые, причём заданные отношения

соблюдать необязательно.

А.

В.

• Знакомые модели могут быть выполнены как на естественном, так и на математическом языке. К знакомым моделям, выполненным на естественном языке, можно отнести краткую запись задачи и таблицы.

Краткая запись задачи о домиках Лиды и Вовы может быть такой:

Л. – 4д.

В. - ?, на 3 д. больше, чем

• Таблица как вид знаковой модели используется главным образом тогда, когда в задаче имеется несколько взаимосвязанных величин, каждая из которых задана одним или несколькими значениями.

Приведём пример такой задачи: «из 24 м ситца сшили 8 наволочек. Сколько таких же наволочек можно сшить из 15 м ситца?»

Знакомой моделью этой задачи может быть следующая таблица:

После построения вспомогательной модели необходимо проверить:

• Все ли объекты задачи и их величины показаны на модели;

• Все ли отражения в них отражены;

• Все ли числовые данные приведены;

• Есть ли вопрос (требование) и правильно ли указано искомое.

Основным средством поиска плана решения задачи являются вспомогательные модели (схематизированные и знаковые). Тем не менее это не исключает возможности использования в некоторых случаях аналитического, синтетического и аналитико-синтетического методов разбора задачи. Разбор задачи проводится в виде цепочки рассуждений, которая может начинаться как от данных задачи, так и от её вопроса.

2этап.

На этом этапе расширяются условия, которые не имеют смысла.

3этап.

Расширяется условие задачи, которые дают ответ на вопрос в задаче.

Запишем решение по действиям:

• 56*6 =336(км)

• 336*4=1344(км)

• 3336+1344=1680(км)

Ответ :весь путь туриста 1680 км.

Описанный подход к поиску решения задачи напоминает действия вычислительной машины. При поиске плана решения синтетическим методом можно не обращаться к заключению задачи до тех пор, пока ответ не будет получен автоматически[29;с.58].

Приём сравнения текстовых задач для этого можно предложить следующие задания:

Чем похожи тексты задач? Чем отличаются? Какую задачу ты можешь решить? Какую не можешь? Почему?

• «В парке росли берёзы, а лип на 7 меньше. Сколько всего деревьев

росло в парке?»

• «В парке росло 9 берёз, а лип на 7 меньше. Сколько всего деревьев

было в парке?»

Подумайте, будут ли следующие тексты задачами?

• В одном классе 20 учеников, а в другом – 24. Сколько девочек в двух

классах?

• У Миши было 17 кубинских марок, а у кати 13 русских марок. Сколько

кубинских марок у Миши?

В приведённых примерах использованы тексты задач с недостающими данными и лишними данными, с вопросом, в котором спрашивается о том, что уже известно.

Эти задачи позволяют младшим школьникам сделать первые шаги в осмыслении структуры задачи[49;с 17].

В начальной школе, используя синтетический метод при разборе задачи от данных к вопросу, мы выделяем в тексте задачи два данных и отвечаем на вопрос: «Что можно определить, зная это и то?», т.е. какое неизвестное может быть найдено по этим данным и с помощью какого арифметического действия. Затем, считая это найденное неизвестное известным, т.е. данным, мы вновь выделяем два взаимосвязанных данных и определяем неизвестное, которое может быть найдено на основе связи между ними, и с помощью какого действия, и т.д., пока не будет выявлено, какое действие приводит к получению искомого в задаче результата.

Аналитический метод – этот метод поиска плана решения задачи начинается с поиска предикатов, которые в результате одного элементарного шага приводят к заключению. Например, «Капитан теплохода получил задание пройти 540 км за 16 часов. Первые 180 км он прошел со скоростью 30 км/ч. С какой скоростью теплоход должен пройти остальное расстояние, чтобы выполнить задание в положенное время?»

Решение:

• 180 : 30 =6(ч) – время на пройденный путь;

• 16 – 6 =10(ч) – время на оставшийся путь;

• 540 – 180 =360(км) – оставшийся путь;

• 360:10=36(км/ч) – скорость на оставшийся путь

Ответ:36км/ч

В начальной школе при использовании аналитического метода поиска решения задачи осуществляется от вопроса к данным. Сначала обращаем внимание на вопрос в задачи и выясним, что нужно знать. Вопрос ставится в такой форме «Что нужно знать, чтобы определить…? » В качестве ответа следует добиться указания каких-либо двух величин. Для каждого ответа на вопрос указывается пара данных. Этот процесс продолжается до тех пор, пока не появится возможность использования условия задачи. Потом составляется план решения задачи. Рассуждения проводятся в обратном порядке, начиная от данных.

Достоинтва и недостатки методов анализа и синтеза:

• Синтетический метод позволяет решить любую задачу. Идея решения получается автоматически – достоинства.

• Ответ на вопрос в задачи можно дать , не зная вопроса задачи, и иногда найти несколько способов решения. Это достоинство.

• Очень громоздок. Из большого числа следствий, которые получаются в процессе решения, только незначительная часть может составлять собственно решение – недостаток.

• Трудность объяснение смысла, полученного числового значения. Это недостаток.

Анализ:

• При решении задач используются зависимости между величинами. Поэтому при использовании аналитического метода идея решения задачи не зависит от данных, содержащихся в условии, и может быть использовано. Это достоинство.

• Не позволяет найти более одного арифметического способа решения задачи. Это недостаток.

• Существуют задачи, в которых заключение сформировано таким образом, что аналитический метод для поиска плана решения нецелесообразен – недостаток.

Аналитико – синтетический метод сочетает элементы первого и элементы второго. Условия и заключения играют одинаково важную роль.

Прием, основанный на предложенных объектах, сюжете, вспомогательной модели . Данный прием рассчитан на учащихся второго-третьего классов.

На доске заранее вывешиваются карточки с объектами «овощи», «свекла», «морковь», «картофель», а также вспомогательная модель задачи.

Учитель дает учащимся следующие команды:

- Выберите слова, характеризующие сюжет задачи. (Школьники вырастили овощи.)

- Где выращивают школьники овощи? (На пришкольном участке).

- Какое слово из предложенных объектов, записанных в столбце, общее? (Овощи.)

- Соотнесите предложенные объекты со схемой, указав количественные характеристики. (Целое - овощи. Количество овощей неизвестно. Части: свекла - 20 кг, морковь - 12 кг, картофель - 8 кг).

- Сформулируйте текст задачи. (Школьники вырастили на пришкольном участке 20 кг свеклы, 12 кг моркови и 8 кг картофеля. Сколько килограммов овощей вырастили школьники?)

- О какой величине говорится в задаче? (О массе.)

- Как иначе можно сформулировать требование? (Какова масса собранного урожая?)

Далее учитель предлагает ученикам самостоятельно решить эту задачу в рабочих тетрадях.

20 + 12 + 8 = 40 (кг)

Ответ: 40 кг урожая собрали школьники.

Затем совместно с учителем дети проверяют правильность решения предложенной задачи. В качестве способа проверки могут выступать сравнение своего решения с выполненным на закрытой части доски, чтение решения вслух Прием составления задачи по предложенной программе действий. Данный прием развивает коммуникативные способности ребенка, способность неординарно мыслить, и рассчитан на учащихся не младше второго класса. На доске вывешиваются схемы. Учитель предлагает учащимся составить по данной схеме задачу, а затем решить ее.

Дети составляют задачу: «Миша решил 3 уравнения и 7 примеров. На сколько больше примеров, чем уравнений, решил Миша? На сколько меньше уравнений, чем примеров, решил Миша?»

Решение:

7 - 3 = 4 (шт.)

Ответ: на 4 примера больше, чем уравнений, решил Миша.

Учитель спрашивает одного из учеников, как решить эту задачу и что в итоге получится. Остальные дети делают проверку.

Задача: «Миша нарисовал 2 рисунка, а Маша 4. Сколько всего рисунков нарисовали дети? На сколько рисунков больше нарисовала Маша, чем Миша?»

Решение:

1) 2 + 4 = 6 (шт.) - нарисовали вместе.

2) 4 - 2 = 2 (шт.) - Маша нарисовала больше Миши.

Ответ: 6 рисунков, на 2 рисунка.

Прием составления задачи на основе нескольких задач, содержащих один сюжет и часть общих объектов с их количественными характеристиками.

Цель данного приема состоит в том, чтобы учить школьников выделять основные структурные компоненты задачи (условие и требование). Подобрав специальным образом численные данные, учитель может использовать этот прием в любом классе начальной школы.

Задача 1. В школьную библиотеку привезли новые учебники. В первый день библиотекари расставили 210 учебников по русскому языку, во второй - 135 учебников по математике. Сколько учебников расставили библиотекари по полкам за два дня?

Задача 2. В школьную библиотеку привезли учебники. В первый день библиотекари расставили по полкам 210 учебников по русскому языку, во второй - 63 учебника по чтению. Сколько учебников расставили библиотекари по полкам за два дня?

Задача 3. В школьную библиотеку привезли учебники. В первый день библиотекари расставили по полкам 97 учебников по английскому языку, во второй - 63 учебника по чтению. Сколько расставили библиотекари по полкам за два дня?

Учитель дает следующие команды детям:

- Прочитайте задачи.

- Что общего в данных задачах? (Сюжет, требование).

- Что можно сказать об объектах и количественных характеристиках задач? (Часть объектов и их количественные характеристики в первой и второй задачах, а также во второй и третьей задачах одинаковые).

- Сформулируйте текст одной задачи, используя все объекты и их количественные характеристики. (В школьную библиотеку привезли новые учебники. Из них в первый день расставили по полкам 210 учебников по русскому языку и 97 по английскому языку, во второй - 135 учебников по математике и 63 учебника по чтению. Сколько учебников расставили библиотекари по полкам за два дня?)

Прием обучения составлению задач по предложенному решению с подробным пояснением.

Цель данного приема состоит в том, чтобы учить детей соотносить текстовую задачу с предложенным решением.

На доске дано решение этой задачи.

1) 3 + 15 = 18 - концертов дал детский хор в городе и в санатории.

2) 30 - 18 = 12 - концертов дал детский хор в сельских клубах

Учитель задает детям вопросы:

- Известно ли нам, где давал концерты детский хор? (В городе, санатории, клубах.)

- Известно ли нам, сколько концертов дал хор в городе? (3 или 15)

- Известно ли нам, сколько концертов дал хор в санатории? (15 или 3)

- Сколько всего концертов дал хор? (30)

- Составьте задачу по первому равенству. Детский хор дал 3 концерта в городе и 15 концертов в санатории. Сколько всего концертов дал детский хор в городе и в санатории?

- Составьте задачу по второму равенству. За лето детский хор дал 30 концертов. Из них 18 - в городе и санатории, а остальные в сельских клубах. Сколько концертов дал детский хор в сельских клубах?

- Опираясь на решение задачи, сформулируйте требование задачи. (Узнать, сколько концертов дал детский хор в сельских клубах).

- Сформулируйте текст задачи, опираясь на два действия. Детский хор дал 30 концертов. Из них 3 в городе, 15 - в санатории, а остальные - в сельских клубах. Сколько концертов дал детский хор в сельских клубах?

Прием составления текста задачи по сюжетным рисункам с изменением действия.

Цель данного приема состоит в том, чтобы учить детей находить математические модели в реальной ситуации, учить переводить сюжетную ситуацию на математический язык. Подбирая соответствующие сюжеты, учитель может применить прием в любом классе начальной школы.

- По рисункам определите сюжет задачи. Как он меняется от первого рисунка ко второму? (Курица снесла яйца, из них вылупились цыплята).

- Назовите объекты задачи. (Курица, яйца, цыплята).

- С какими из них мы будем проводить вычислительные операции? (С яйцами.)

- Что вы можете сказать о количественной характеристике объектов на первом рисунке? (На первом рисунке изображены 4 яйца).

- На втором рисунке из яиц вылупились цыплята. Сколько их? (3)

- Сформулируйте требование задачи. (Сколько яиц осталось целыми?)

- Сформулируйте текст задачи. Курица высидела 4 яйца. Через некоторое время из 3 яиц вылупились цыплята. Сколько яиц осталось целыми?

Рассмотренные приемы работы над текстовой задачей достаточно разнообразны, однако, они рассчитаны в основном на учащихся с уровнем знаний выше среднего. У учеников, которые обладают низким или средним уровнем, эти приемы работы над текстовой задачей позволяют, с помощью учителя или других учащихся, повысить уровень их обученности.

В поисках путей более эффективного использования структуры уроков разных типов особую значимость приобретает форма организации учебной деятельности учащихся на уроке.

Ниже мы рассмотрим примеры реализации групповой и индивидуальной работы учащихся при решении текстовых задач.

Как известно, признаками групповой работы учащихся на уроке являются следующие:

- класс на данном уроке делится на группы для решения конкретных учебных задач;

- каждая группа получает определенное задание (либо одинаковое, либо дифференцированное) и выполняет его сообща под непосредственным руководством лидера группы или учителя;

- задания в группе выполняются таким способом, который позволяет учитывать и оценивать индивидуальный вклад каждого члена группы;

- состав группы непостоянный, он подбирается с учетом того, чтобы с максимальной эффективностью для коллектива могли реализоваться учебные возможности каждого члена группы.

Задания, решаемые некоторым количеством учащихся, можно разделить на две группы: репродуктивные и продуктивные.

К репродуктивным заданиям относится, например, решение арифметических сюжетных задач знакомых видов. От учащихся требуется при этом воспроизведение знаний и их применение в привычной ситуации - работа по образцу, выполнение тренировочных упражнений.

К продуктивным заданиям относятся упражнения, отличающиеся от стандартных. Ученикам приходится применять знания в измененной или в новой незнакомой ситуации, осуществлять более сложные мыслительные действия (например, поисковые, преобразующие), создавать новый продукт (составлять задачи, сочинять сказки на основе сюжетных задач). В процессе работы над продуктивными заданиями школьники приобретают опыт творческой деятельности.

Дифференцированная работа чаще всего организуется следующим образом: учащимся с низким и ниже среднего уровнем обученности предлагаются репродуктивные задания, а ученикам со средним, выше среднего и высоким уровнем обученности - творческие задания.

Рассмотрим групповую работу па примере конкретной задачи (1 класс).

«В вазе лежало 5 желтых и 2 зеленых яблока. 3 яблока съели. Сколько яблок осталось?»

Задание для 1-й группы учащихся с низким уровнем обученности. Решите задачу. Подумайте, можно ли ее решить другим способом.

Задание для 2-й группы учащихся со средним уровнем обученности. Решите задачу двумя способами. Придумайте задачу с другим сюжетом так, чтобы решение при этом не изменилось.

Задание для 3-й группы учащихся с уровнем обученности выше среднего. Решите задачу двумя способами. Составьте задачу, обратную данной, и решите ее.

Задание для 4-й группы учащихся с высоким уровнем обученности. Решите задачу двумя способами. Измените задачу так, чтобы ее можно было решить тремя способами. Решите полученную задачу тремя способами.

Следует отметить, что организация такой формы работы требует от учителя высокого уровня профессионального мастерства. Адекватное образование групп, распределение обязанностей внутри них, распределение учебного времени, разъяснение требований к оформлению записей, своевременная проверка качества выполнения задания должны быть продуманы с особой тщательностью, поскольку некоторые команды («Подумайте …», «Придумайте …», «Составьте …» и т.п.) чаще всего на уроках математики в младших классах выполняются фронтально, не сопровождаясь записями.

Можно предложить продуктивные задания всем ученикам. Но при этом детям с низким уровнем обученности даются задания с элементами творчества, в которых нужно применить знания в измененной ситуации, а остальным - творческие задания на применение знаний в новой ситуации.

Приведем пример дифференциации заданий для учащихся второго-третьего классов.

«Для новогодних подарков привезли 48 кг конфет. В пакетах было 12 кг конфет, в коробках - в три раза меньше, чем в пакетах, а остальные конфеты были в ящиках. Сколько килограммов конфет было в ящиках?»

Задание для 1-й группы учащихся с низким уровнем обученности. Решите задачу. Составьте задачу, обратную данной, и решите ее.

Задание для 2-й группы учащихся с ниже среднего уровнем обученности. Решите задачу. Придумайте задачу с другим сюжетом, но чтобы решение при этом не изменилось.

Задание для 3-й группы учащихся со средним уровнем обученности. Решите задачу. Измените вопрос к задаче так, чтобы она решалась в четыре действия.

Задание для 4-й группы учащихся с уровнем обученности выше среднего. Решите задачу. Составьте задачу, обратную данной, и решите ее. Измените вопрос и условия задачи так, чтобы данные об общем количестве конфет стали лишними. Запишите новую задачу и решите ее.

Задание для 5-й группы учащихся с высоким уровнем обученности. Решите задачу. Придумайте три различные задачи, с такими же данными, что и в приведенной задаче, используя жизненные ситуации.

При письменном решении задания, детям выдается образец выполнения работы

Кроме групповой, в обучении решению задач младших школьников может применяться и индивидуальная форма работы учащихся.

Под индивидуальной работой учащихся подразумевается работа, которая выполняется ими по заданию и под контролем учителя в специально запланированное для этого время на уроке. Назначение такой формы работы - развитие познавательных способностей школьников, их инициативы в принятии решения, творческого и логического мышления.

При организации индивидуальной работы необходимо учитывать ее строгую регламентацию в целостной системе учебных работ, степень ее трудности и сложности. Это обусловливает значимость научно обоснованной классификации самостоятельных работ. Все виды самостоятельной работы, применяемые в учебном процессе, можно классифицировать по следующим признакам: по дидактической цели, по характеру учебной деятельности учащихся, по содержанию, по степени самостоятельности и элементу творчества учащихся.

При организации учебного процесса самостоятельная работа подразумевает, с одной стороны, учебное задание, которое должен выполнить ученик, с другой - форму проявления соответствующей деятельности (мышления, запоминания, воображения) при выполнении учеником данного задания. При этом ребенок, в конечном счете, должен получить либо новые, ранее не известные ему знания, либо углубить и расширить сферы действия уже полученных знаний. Все это подразумевает индивидуальный подход к ребенку через внутриклассную дифференциацию[16;с.77].

Наиболее важное значение в этом направлении работы имеют принцип доступности и систематичности изучаемого материала, связь теории с практикой, принцип постепенности в нарастании трудности, принцип творческой активности, которые можно реализовать через различные виды помощи ученику.

Рассмотрим это на примере задачи (третий-четвертый класс).

«Мастер за 1 час работы делает 2 изделия. Сколько изделий он сделал за два дня, если в первый день он работал 3 часа, а во второй - 4?»

Наиболее распространенными видами помощи являются:

1. Образец выполнения задания: показ способа решения, образца рассуждения (например, в виде подробной записи решения задачи) и оформления.

Запись решения в виде числового выражения. Запись решения в данной форме осуществляется поэтапно:

1) (шт.)изготовлено в первый день;

2) (шт.) - сделано во второй день;

3) (шт.) - сделано всего.

Или:

(шт.) - изготовлено мастером за два дня.

2. Справочные материалы: памятки, инструкции, теоретическая справка в виде правила, формулы, таблицы единиц величин.

Для того, чтобы проверить правильность решения, составьте и решите обратную задачу к данной по следующим этапам:

1) Подставь в текст задачи найденное значение искомого, то есть вместо вопроса задачи поставьте в текст задачи ответ на него;

2) Выбери новое искомое;

3) Сформулируй новую задачу;

4) Реши составленную задачу;

5) Сравни полученное число с той данной величиной прямой задачи, которая была выбрана в качестве искомой величины;

6) На основе этого сравнения составь соответствующее умозаключение о правильности решения прямой задачи.

Роль индивидуальной работы школьников возрастает в связи с изменением целей обучения, его направленностью на формирование навыков творческой деятельности, а также в связи с компьютеризацией обучения.

Доля самостоятельных (индивидуальных) работ в учебном процессе увеличивается от класса к классу, В начальных классах на нее отводится не менее 20%.

Итак, изучив методическую литературу, мы пришли к следующим выводам:

-на современном этапе обучение младших школьников решению текстовых задач остается одним из важнейших направлений учебной деятельности, поскольку именно текстовые задачи являются связующим звеном между теоретическим обучением и применением знаний на практике;

- для всестороннего раскрытия понятия текстовой задачи и рассмотрения различных жизненных ситуаций в начальной школе предлагаются текстовые задачи, которые можно классифицировать по ряду оснований;

- решение любой текстовой задачи происходит по плану, включающему в себя ряд последовательных этапов;

- обучение решению задач проходит в двух направлениях: выработка общего умения решать текстовые задачи и выработка умений решать задачи определенного вида. Применительно к начальным классам чаще других реализуется первое из двух направлений. в соответствии с учебной программой, деятельность учителя и учащихся нацелена на выработку у младших школьников умений решать текстовые задачи;

-для достижения поставленной дидактической цели в обучении младших школьников решению текстовых задач учителю необходимо варьировать и сочетать различные формы (индивидуальную, групповую, фронтальную) организации деятельности учащихся на уроках математики.

Научить детей решать задачи – значит научить их устанавливать связи между данными и искомым и в соответствии с этим выбрать, а затем и выполнить арифметические действия.

До решения простых задач ученики усваивают знание следующих связей [15, с.72]:

Связи операций над множествами с арифметическими действиями, то есть конкретный смысл арифметических действий. Например, операция объединения непересекающихся множеств связана с действием сложения; если имеем 4 и 2 флажка, то чтобы узнать, сколько всего флажков, надо к 4 прибавить 2.

Связи отношений «больше» и «меньше» (на сколько единиц и в несколько раз) с арифметическими действиями, то есть конкретный смысл выражений «больше на…», «больше в … раз», «меньше на…», «меньше в … раз». Например, больше на 2, это столько же и еще 2, значит, чтобы получить на 2 больше, чем 5, надо к 5 прибавить 2.

Связи между компонентами и результатами арифметических действий, то есть правила нахождения одного из компонентов арифметических действий по известному результату и другому компоненту. Например, если известна сумма и одно из слагаемых, то другое слагаемое находится действием вычитания. Из суммы вычитают известное слагаемое.

Связи между данными величинами, находящихся в прямо или обратно пропорциональной зависимости, и соответствующими арифметическими действиями. Например, если известна цена и количество, то можно найти стоимость действием умножения.

Кроме того, при ознакомлении с решением первых простых задач, ученики должны усвоить понятия и термины, относящиеся к самой задаче и ее решению (задача, условие задачи, вопрос задачи, решение задачи, ответ на вопрос задачи).

Подготовкой к решению составных задач будет умение вычленять систему связей, иначе говоря, разбивать составную задачу на ряд простых, последовательное решение которых и будет решением составной задачи [13, с.18].

Необходимо отметить, что при работе над каждым отдельным видом задач требуется своя специальная подготовительная работа.

б) Ознакомление с решением задач.

На этой второй ступени обучения решению задач дети учатся устанавливать связи между данными и искомым и на этой основе выбирать арифметические действия, то есть они учатся переходить от конкретной ситуации, выраженной в задаче к выбору соответствующего арифметического действия [6, с.35]. В результате такой работы учащиеся знакомятся со способом решения задач рассматриваемого вида.

Заключительным этапом в работе над задачей является работа после решения задачи. В методической литературе опубликовано немало статей (Царева С.В., Шикова Р.Н.), где описаны виды дополнительной работы над уже решенной задачей.

Многие авторы и методисты уделяют много внимания последнему этапу: работе с задачей после ее решения.

в) Закрепление умения решать задачи.

Для проведения работы над задачей после ее решения используют следующие приемы: преобразование задачи; сравнение задач; самостоятельное составление аналогичных задач; обсуждение разных способов решения задачи [2, с.273].

Для правильного обобщения способа решения задач определенного вида большое значение имеет система подбора и расположения задач. Система должна удовлетворять определенным требованиям. Прежде всего задачи должны постепенно усложнятся. Усложнение может идти как путем увеличения числа действий, которыми решается задача, так и путем включения новых связей между данными и искомым.

Одним из важных условий для правильного обобщения младшими школьниками способа решения задач определенного вида является решение достаточного числа их. Однако задачи рассматриваемого вида должны включаться не подряд, а рассредоточено: сначала включаются чаще, а потом все реже и реже, вместе с другими видами. Это необходимо для того, чтобы предупредить запоминание способа решения.

Выработке умения решать задачи нового вида помогают упражнения на сравнение решений задач этого вида и ранее рассмотренных видов, но сходных в каком- то отношении с задачами нового вида и ранее рассмотренных видов, но сходных в каком- то отношении с задачами нового вида. Такие упражнения предупреждают смешение способов решения задач этих видов.

Выработке умения решать задачи рассматриваемого вида помогают так называемые упражнения творческого характера. К ним относятся решение задач повышенной трудности, решение задач несколькими способами, решение задач с недостающими и лишними данными, решение задач, имеющих несколько решений, а так же упражнения в составлении и преобразовании задач.

Решение задач повышенной трудности помогает выработать у детей привычку вдумчиво относиться к содержанию задачи и разносторонне осмысливать связи между данными и искомым. Задачи повышенной трудности следует предлагать в любом классе, имея в виду одно условие: детям должно быть известно решение обычных задач, к которым сводится решение предлагаемой задачи повышенной трудности.

Многие задачи могут быть решены различными способами. Поиск различных способов решения приводит детей к «открытию» новых связей между данными и искомым.

Работа над задачами с недостающими и лишними данными воспитывает у детей привычку лучше отыскивать связи между данными и искомым.

Полезно включать и решение задач, имеющих несколько решений. Решение таких задач будет способствовать формированию понятия переменной.

Упражнения по составлению и преобразованию задач являются чрезвычайно эффективными для обобщения способа их решения.

Использование задач в качестве конкретной основы для ознакомления с новыми знаниями и для применения уже имеющихся у детей знаний играет исключительно важную роль в формировании у детей элементов материалистического мировоззрения. Решая задачи, ученик убеждается, что многие математические понятия, имеют корни в реальной жизни, в практике людей.

Таким образом, в данном параграфе мы рассмотрели этапы работы над текстовой арифметической задачей, методику работы над задачей; приёмы решения текстовых задач: фронтальная беседа, наглядная интерпретация, сравнение задач, преобразование, решение задач с недостающими и лишними данными, составление задач по рисунку, решение задач разными способами, проверка правильности решения задач, решение и составление взаимообратных задач.