Подобные треугольники. Подготовка к ОГЭ 2017

Подобные треугольники

Повторение к ОГЭ

Работу выполнила Лугинина ЕВ ЛИнТех № 28 г. Кирова 2017

Наиболее часто встречающиеся теоретические вопросы

• Признаки подобия треугольников: 1.Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

2.Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

3.Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

• Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному (почему)?

В

Е

К

С

А

С

а

В

а//в

О

в

А

Д

Доказать: Δ ВОС ~ Δ АОД

С

5

О

В

А

6

8

10

Д

Найти: СО; ОВ

D

В

6

А

С

4

х

Найти:

С

В

Е

18

15

К

12

5

4

М

А

6

Р

Д

АКР ~

СМЕ

Доказать:

• Даны два подобных треугольника. Стороны одного из них равны 12 см, 8 см, 6 см, а меньшая сторона другого равна 9 см. Найдите две другие его стороны.

2. В треугольнике АВС проведены две высоты АК и ВМ. 1) Докажите, что Δ АКС ~ Δ ВМС. 2) Найдите высоту ВМ, если АК = 18, СМ = 4, СК = 6.

В

К

А

М

С

Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках K и M соответственно. Найдите AC, если BK : KA=2:3, KM=14.

Решение :

Треугольники АВС и КВМ подобны:

угол В - общий,

углы ВАС и ВКМ равны как соответственные при параллельных прямых АС и КМ и секущей АВ),

поэтому КМ:АС= ВК:ВА.

Т.к. ВК : КА = 2 : 3, то ВК : ВА = 2 : 5.

Имеем, АС=КМ * ВА : ВК,

АС=14 * 5 : 2 = 35

Ответ:35.

В

К

14

А

М

С

• Через точки М и N, принадлежащие сторонам АВ и ВС треугольника ABC соответственно, проведена прямая МN, параллельная стороне АС. Найдите длину СN, если ВС = 6, МN = 4 и АС = 9.

• Решение: Треугольники  MBN  и  ABC подобны по первому признаку подобия., так как
• 1) у треугольников  MBN  и  ABC  угол  В  – общий 2)  в силу параллельности прямых  MN  и AC   соответственные углы  BMN  и  BAC  равны.
• Из подобия треугольников вытекает пропорциональность соответствующих сторон:
• Обозначим  NC  за x  . Соответственно,  BN = 6 – x ,  согласно условию. Тогда . Тогда CN =

Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 20, BD=10. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.

Решение :

Углы СВД и ВДА равны как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и АД и секущей ВД.

Стороны ВС и ВД в Δ ВСД пропорциональны сторонам ВД и АД в Δ АВД соответственно, т.к. ВС : ВД = 5 : 10 = 0,5 и ВД : АД = 10 : 20 = 0,5.

Значит, эти треугольники подобны (по второму признаку).

С

В

А

D

Наиболее часто встречающиеся теоретические вопросы

• Отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия
• Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия
• В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.

1). Прямые МО и КН , пересекающие стороны угла А, параллельны (М и К лежат на одной стороне угла). Найдите площадь треугольника АМО, если известно, что площадь треугольника АКН равна 48 см 2 , АМ = 4 см, МК = 2 см.

К

М

А

О

Н

2). Прямая, параллельная основанию треугольника, делит его на треугольник и трапецию, площади которых относятся как 4:5. Периметр образовавшегося треугольника равен 20 см. Найдите периметр данного треугольника.

Ответ: 30.  

3). Через вершину прямого угла прямоугольного треугольника с катетами 6 и 8 см проведен перпендикуляр к гипотенузе. Вычислите площади образовавшихся треугольников.

Ответ: 24; 8,64; 15,36. 

4). Из одной точки проведены к кругу две касательные. Длина касательной равна 156, а расстояние между точками касания равно 120. Найдите радиус круга.

План решения:

• Найдите подобные треугольники и докажите их подобие
• Запишите отношение сходственных сторон
• Выполните необходимые вычисления
• Запишите ответ

Ответ: 65

• (№24) Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M . Найдите MC , если AB =16, DC = 24, AC = 25.

• (№26) Основания трапеции относятся как 2 : 3. Через точку пересечения диагоналей проведена прямая, параллельная основаниям. В каком отношении эта прямая делит площадь трапеции?

• (№26) Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 16. Окружность радиуса 12 с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается основания AC в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC .

Наиболее часто встречающиеся теоретические вопросы

• Треугольники АОD и СОВ, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны. Коэффициент подобия k = АО : СО

С

В

О

А

D

Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке K, причем отрезок BK составляет треть от диагонали BD. Найдите основание AD, если BC = 12 см.

С

В

РЕШЕНИЕ:

Треугольники ВКС и АКD подобны по двум углам.

По условию ВК – треть ВD, тогда ВК : КD = 1 : 2, значит ВС : АD = 1 : 2, значит АD = 24.

К

А

D

Ответ: 24 см.

Наиболее часто встречающиеся теоретические вопросы

• Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
• Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.
• Отношение сходственных сторон подобных треугольников равно отношению высот, проведенных к этим сторонам.
• Катет прямоугольного треугольника является средним пропорциональным между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.

• В треугольнике АВС DЕ – средняя линия. Площадь треугольника СDЕ равна 45 . Найдите площадь треугольника АВС .
• Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH=7, AC=28.

С

D

Е

В

А

С

Н

А

В

Задачи практического содержания Определение высоты предмета.

Задание 17 № 132764.  Человек ростом 1,7 м стоит на расстоянии 8 шагов от столба, на котором висит фонарь. Тень человека равна четырем шагам. На какой высоте (в метрах) расположен фонарь?

Решение.

Столб и человек образуют два прямоугольных треугольниках  ABC  и  FEB . Эти треугольники подобны по двум углам. Пусть высота фонаря равна х м , тогда ,откуда  Поэтому фонарь расположен на высоте 5,1 м. 

Ответ: 5,1.

Задание 17 № 314914.  Человек, рост которого равен 1,8 м, стоит на расстоянии 16 м от уличного фонаря. При этом длина тени человека равна 9 м. Определите высоту фонаря (в метрах).

Решение:

Введём обозначения, как показано на рисунке. Рассмотрим прямоугольные треугольники  AEB  и  СDE,  они имеют общий угол  Е  и, следовательно, подобны по двум углам. Значит,  , откуда  

(№26) На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 2 м, а длинное плечо — 6 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 0,5 м?

Дано: BO=2 м, OC=6 м, AB=0,5 м.

Найти: СD

Решение:

Треугольники АВО и DСО подобны (по двум углам),

АВ : СD = ВО : ОС,

СD=АВ*ОС : ВО, СD=0,5*6:2=1,5 (м).

Ответ: 1,5

С

А

О

D

В

• (№26) На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 2 м, а длинное плечо — 3 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 1 м?
• (№17) Человек ростом 1,8 м стоит на расстоянии 12 м от столба, на котором висит фонарь на высоте 5,4 м. Найдите длину тени человека в метрах.

• (№17) № 44.  Проектор полностью освещает экран  A  высотой 80 см, расположенный на расстоянии 250 см от проектора. На каком наименьшем расстоянии (в сантиметрах) от проектора нужно расположить экран  B  высотой 160 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными?

Решение (1 способ)

Заметим, что высота экрана, расположенного на расстоянии 250 см, в 2 раза меньше высоты экрана, расположенного на искомом расстоянии, значит, по теореме о средней линии, искомое расстояние в два раза больше первоначального экрана: 250·2 = 500.

Ответ: 500.

• (№17) № 44.  Проектор полностью освещает экран  A  высотой 80 см, расположенный на расстоянии 250 см от проектора. На каком наименьшем расстоянии (в сантиметрах) от проектора нужно расположить экран  B  высотой 160 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными?

Решение (2 способ)

По условию FG=160 см, DE=80 см, СН=250 см. Найти: СК.

Δ  СFG ~ Δ CDE  (признак?), поэтому СН : СК = DE : FG.

СК = СН * FG : DЕ СН=250*160 : 80 = 500

F

D

С

H

K

E

G

Ответ: 500 .

Стр.357 Задача 25 . Известно, что около четырёхугольника АВС D можно описать окружность и что продолжения сторон АВ и С D четырёхугольника пересекаются в точке М. Докажите, что треугольники МВС и М DA подобны.

РЕШЕНИЕ.

1. По свойству углов вписанного

четырёхугольника (п.75 ) сумма

противоположных углов 4-угольника

равна 180 ⁰ .

2. Пусть

3. По свойству смежных углов

• Рассмотрим ∆ MBC и ∆ М DA .

∆ МВС∞∆ М DA по двум углам.

9В683 D

B

𝛼

A

𝛼

180- 𝛼

M

D

C

Стр.357,356 . ЗАДАЧА 24 . Окружность пересекает стороны АВ и АС ∆ АВС в точках К и Р соответственно и проходит через вершины В и С. Найдите длину отрезка КР, если АК=16, а сторона АС в 1,6 раза больше стороны ВС.

РЕШЕНИЕ.

1. ∆АКР∞∆АВС (см.предыдущую задачу)

по двум углам.

2.Если ∆ подобны, то стороны

пропорциональны (по определению).

Составим пропорцию

3. Пусть ВС=х, тогда АС=1,6х.

ОТВЕТ : КР=10.

В

К

С

Р

А

Стр. 361 Задача 25 .В ∆ АВС с тупым .

РЕШЕНИЕ:

(1 способ)

1.

2. Рассмотрим ∆АВС и ∆А₁ВС₁:

∆ АВС∞∆А₁ВС₁ по двум углам.

(В35Е5А )

А

С

В

А₁

С₁

В

Стр. 361 Задача 25 .В ∆ АВС с тупым .

РЕШЕНИЕ:

(2 способ).

1.∆АВА₁ и ∆СВС₁ прямоугольные:

А

С

С₁

А₁

2. Из подобия треугольников составляем пропорцию

По свойству пропорции получаем

3. В ∆АВС и ∆А₁ВС₁ стороны пропорциональны и углы между ними равны(вертикальные

∆ АВС ∞ ∆А₁ВС₁

Приложение

1. АМ и ВК – перпендикуляры к прямой a, точки М и К – основания перпендикуляров. АК ∩ ВМ = О. Найдите АМ и МК, если МО = 6, ВО = 4, ВК = 6.

2. В треугольнике ОВС проведен отрезок МК, параллельный стороне ВС. Найдите отношение площадей треугольника ОМК и трапеции МВСК, если ОМ = 4, МВ = 12.

3. В треугольнике МРК сторона МК равна 12. Биссектриса МА делит сторону РК на отрезки

АК = 8, АР = 10. Найдите длины отрезков, на которые делит сторону МР биссектриса КВ.

Приложение

• Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках K и M соответственно. Найдите AC, если BK:KA=3:7, KM=12.
• Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках K и M соответственно.

  Найдите AC, если BK:KA=1:5, KM=17.

• Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в  точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN=12, AC=42, NC=25.
• Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в  точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN=13, AC=65, NC=28.

Приложение

Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 4,5 и 18, BD=9. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.

Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 4 и 64, BD=16. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.

Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 3 и 12, BD=6. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.

Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH=3, AC=12.

Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH=10, AC=40.

1

2

3

Литература

1

5

2

3

4

6

8

9

7

10

Задача 1

а

С

В

а//в

О

в

Д

А

Доказать: Δ ВОС ~ Δ АОД

Задача 2

А

С

В

Е

Д

Доказать: Δ АВС ~ Δ АДЕ

Задача 3

К

В

М

С

А

Д

F

E

Доказать: Δ АFE ~ Δ СMK

Задача 4

С

В

F

E

Д

А

~

AДE

FCE

Доказать:

Задача 5

В

А

D

C

Доказать: АВC ~ ВDС

Задача 6

А

С

2

1

Д

О

В

Доказать: АО/СО

Задача 7

С

5

О

В

А

6

8

10

Д

Найти: СО; ОВ

Задача 8

С

В

9

Е

1

А

Д

6

К

Найти: ВС

Задача 9

В

О

А

C

Д

АОД ~

СОВ

Доказать:

Задача 10

С

В

К

А

Д

Найти: подобные треугольники

4

3

2

1

5

8

7

9

6

10

11

Задача 1

К

В

20

10

Д

О

С

А

17

34

С

Д=

Доказать:

Д

Задача 2

11

В

Е

7

К

22

О

С

14

А

Найти: ВО: ДЕ

Задача 3

С

3

Е

В

4

О

12

Д

9

Р

А

Доказать: РОД ~ ЕОС

Задача 4

Д

В

9

6

х

К

Р

С

А

4

х

Найти:

Задача 5

А

Д

8

4

10

5

К

6

В

С

Найти: КВ

Задача 6

В

15

Д

5

6

2

С

А

4

К

Найти: АС

Задача 7

О

3

В

С

4

Д

А

21

ВС

Найти:

С

Задача 8

K

В

А

Найти подобные треугольники

Задача 9

В

К

Р

С

О

А

Найти подобные треугольники

Задача 10

В

А

Д

О

К

Е

С

Найти: подобные треугольники

В

Задача 11

15

Д

24

О

14

С

Найти: ДС

1

2

3

4

Задача 1

С

В

Е

18

15

К

12

5

4

М

А

6

Р

Д

АКР ~

СМЕ

Доказать:

Задача 2

В

Р

R

А

С

Q

Д

Доказать: Δ АВC ~ Δ PRQ

Задача 3

Д

7

5

В

Р

15

3

9

S

К

А

21

К

Р =

Доказать:

Задача 4

В

К

10a

6с

С

40

7в

Н

14в

12с

80

5а

М

А

Найти: М и В

1.Саврасова С.М.,Ястребинецкий Г.А.

Упражнения по планиметрии на готовых чертежах.-

М.: просвещение, 1987.-112 с.: ил.

2. Зив Б.Г. и др.

Задачи по геометрии: Пособие для учащихся 7-11 кл.

общеобразоват.учреждений.-М.:Просвещение, 2000.-271 с.: ил .

3. Рабинович Е.М.

Сборник задач на готовых чертежах.-К.:1996.-56с.

4. Гаврилова Н.Ф.

Поурочные разработки по геометрии: 8 класс.-2-е изд.,

перераб. и доп.-М.: ВАКО,2008.-368 с.

Спасибо за внимание!