Подборка логических задач для закрепления темы "Элементы алгебры логики" 8 класс.

Приведите рассуждения и дайте ответ на поставленный вопрос:

1. Перед судом стоит три человека, из которых каждый может быть либо туземцем, либо колониалистом. Судья знает, что туземцы всегда отвечают на вопросы правдиво, между тем как колониалисты всегда лгут. Однако судья не знает, кто из них туземец, а кто колониалист. Он спрашивает первого, но не понимает его ответа. Поэтому он спрашивает сначала второго, а потом третьего о том, что ответил первый. Второй говорит, что первый говорил, что он туземец. Третий говорит, что первый назвал себя колониалистом. Кем были второй и третий подсудимые?"

2. На острове живут два племени: молодцы, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Путешественник встретил туземца, спросил его, кто он такой, и, когда услышал, что он из племени молодцов, нанял его в услужение. Они пошли и увидели вдали другого туземца, и путешественник послал своего слугу спросить его, к какому племени он принадлежит. Слуга вернулся и сказал, что тот утверждает, что он из племени молодцов. Спрашивается, был ли слуга молодцом или же лгуном.

3. Самодержавный правитель одного острова хотел воспрепятствовать тому, чтобы на острове поселились пришельцы. Желая соблюсти видимость справедливости, он издал распоряжение, согласно которому всякий, желающий поселиться на острове, должен, хорошо поразмыслив, высказать любое предложение, причем после предварительного предупреждения, что от содержания этого предложения зависит его жизнь. Распоряжение гласило: "Если пришелец скажет правду, его расстреляют. Если он скажет неправду, его повесят". Как пришелец, став жителем острова, сохранит свою жизнь?"

4. Имеются два города А и В. В городе А живут люди, всегда говорящие правду, а в городе В живут лжецы, всегда говорящие неправду. Жители обоих городов свободно ходят в гости друг к другу. Поэтому в каждом городе можно встретить жителя любого из этих городов. Какой вопрос следует задать путешественнику первому встречному, чтобы по единственному ответу (да или нет) выяснить в каком городе он находится.

5. Предположим, вы оказались в таком месте, где живут только два племени - племя злых людоедов и племя хороших людей. Причем людоеды еще и всегда говорят неправду, а их соседи - наоборот, безупречно честные люди. Допустим, что вы находитесь у развилки, где одна дорога ведет к одному племени, другая - к другому. Вам, естественно, нужно попасть к хорошим людям. На развилке стоит какой-то человек - вы не знаете, честный он или лжец. Что нужно ему сказать, чтобы выбрать нужную вам дорогу?

6. Один логик попал в плен к дикарям. Его заключили в темницу, имеющую 2 выхода. Один выход ведет на свободу, другой - на гибель. Вождь сказал логику: "сделать выбор двери тебе помогут 2 воина. Они ответят "да" или "нет" на один твой вопрос. Hо один воин всегда говорит правду, а другой всегда лжет. Какой же вопрос необходимо задать?

7. Узнику предоставлено право выйти на свободу, если он справится с таким заданием: перед ним опять две двери, одна из них ведет на волю, другая - дорога к смерти. Здесь же сидят два стражника, причем один из них либо лжец, либо всегда говорит правду, а второй - хитрец, то есть человек, который говорит правду и ложь строго поочередно (то есть либо на нечетные вопросы отвечает ложью, а на четные - правдой, либо наоборот, на нечетные говорит правду, а на четные - лжет). Оба стражника знают, какая из дорог ведет на волю, но узнику неизвестно, кто из стражников хитрец. Узник имеет право задать два вопроса одному из стражников. Как ему определить дорогу, ведущую на свободу?

8. Однажды Алиса повстречала Льва и Единорога, отдыхавших под деревом. Странные это были существа. Лев лгал по понедельникам, вторникам и средам и говорил правду во все остальные дни недели. Единорог же вел себя иначе: он лгал по четвергам, пятницам и субботам и говорил правду во все остальные дни недели. Они высказали следующие утверждения:

• Лев. Вчера был один из дней, когда я лгу.

• Единорог. Вчера был один из дней, когда я тоже лгу.

Из этих двух высказываний Алиса сумела вывести, какой день недели был вчера. Что это был за день?

1. В другой раз Алиса повстречала одного Льва. Он высказал два утверждения:

• Я лгал вчера.

• После завтрашнего дня я буду лгать два дня подряд.

В какой день недели Алиса встретила Льва?

1. Эльза и Жанна были очень правдивыми девушками и врали только в день своего рождения. 6 апреля кто-то спросил каждую из них: "Когда твой день рождения?" Эльза сказала "Он был вчера", Жанна сказала: "Он будет завтра". На следующий день их спросили то же самое, и каждая повторила свой ответ. Когда родилась каждая из них?

2. Учитель задал детям такyю задачy: "У матеpи было тpи дочеpи. Пpоизведение возрастов дочеpей pавно 40, а сyмма возpастов pавна количествy yчеников в классе. Сколько лет дочерям?" Детишки пересчитали, сколько их в классе, стали решать. Учитель смотрит, что y них что-то не выходит, и говорит: - Ах да! Я же совсем забыл сказать, что y младшенькой были голубенькие глазки! - Hy так бы сразу и сказали,- ответил ему один ученик. - Тогда возрасты дочерей такие... И назвал их. Так вот спрашивается, сколько же им было лет?

3. - Я слышу в саду играю дети, - сказал Джон. - Неужели все ваши. - Конечно, нет, - ответил Смит. - Но наша семья самая большая. Кроме наших детей там играют дети троих наших соседей. У Браунов детей меньше чем у нас, у Гринов еще меньше. Меньше всех детей у Блэков. - А сколько всего детей? - Детей меньше 18, а если перемножить между собой число детей в каждых семьях, то получится номер моего дома, который Вы видели, когда шли ко мне. Джон погрузился в долгие размышления, потом спросил: У Блэков больше одного ребенка? И услышав ответ Смита, тут же правильно назвал количество детей во всех семьях. Джону задача показалась тривиальной - ведь он знал номер дома Смита и сколько детей у Блэков - один или более. Но оказывается задачу можно

решить и без этой дополнительной информации.

1. - Мои четыре внучки - замечательные девочки, - рассказывала бабушка Палагея с нескрываемой гордостью. - Каждая из них играет на каком-нибудь музыкальном инструменте и говорит на одном из иностранных языков.

- На чем играет Маша? - спросил я.

- На рояле.

- А кто играет на скрипке?

- Что-то не могу вспомнить, но, по-моему, та девочка, которая говорит по-французски, - ответила бабушка.

Поговорив с бабушкой, я также узнал, что Оля играет на виолончели, а Лена не говорит по-немецки. Маша не знает итальянского языка, а Оля не владеет английским. Валя не знает французского, Лена не играет на арфе, а виолончелистка не говорит по-итальянски. Я совсем запутался.

Скажите мне, кто на каком инструменте играет и на каком языке говорит.

1. Один психолог решил заняться изучением того, как влияет на нервную систему человека поездка в переполненном трамвае в часы пик. Для этого он опросил по одному пассажиру с каждого из четырех маршрутов трамвая: 55, 15, 25 и 33-го. Среди опрошенных, которых звали Андрей, Петр, Виктор и Иван, оказалось по одному представителю четырех профессий: слесарь, электромонтер, маляр и фрезеровщик.

К сожалению, поездки в битком переполненном трамвае основательно истрепали нервы самому психологу. Не удивительно, что он напрочь забыл, у кого из опрошенных какая профессия и кто на каком трамвае ездит.

В памяти нашего психолога сохранились лишь бессвязные отрывки из того, что рассказал каждый из опрошенных о своем маршруте.

Вот что ему удалось припомнить:

1. номер трамвая, на котором ездит Виктор, начинается с единицы;

2. О трамвае № 33 рассказывал кто-то из рабочих-металлистов;

3. номер трамвая, на котором ездит фрезеровщик, составлен из таких цифр, что их сумма равна количеству букв в имени фрезеровщика;

4. Иван ездит на трамвае, номер которого состоит из двух одинаковых цифр;

5. Имя электромонтера начинается на букву «П»;

6. Андрей спросил психолога, где лучше сойти, чтобы пересесть на 25-й трамвай;

7. В памяти психолога вдруг отчетливо всплыла фраза, сказанная Иваном кому-то из пассажиров: «Вы сели не на тот трамвай, вам надо пересесть на 55-й».

Определите имя и профессию каждого пассажира, а также номер трамвая, на котором он ездит.

1. Вчера вечером:

1. Андрей отправился на концерт.

2. Борис провел все время с Ольгой.

3. Евгений так и не увиделся с Розой.

4. Полина побывала в кино.

5. Роза посмотрела спектакль в театре.

6. Какая-то пара посетила художественную выставку.

Кроме тех, кого мы уже назвали, постоянными членами той же компании были Дмитрий и Серафима. Вместе с каждым юношей была девушка. Все пары были в разных местах. Кто с кем был и где?

1. Три молодые супружеские пары собрались как-то раз на дружеский ужин. Завязалась беседа. Настроение у всех было превосходное, дамы - явно молоды, поэтому вопросы о возрасте присутствующих не исключались.

Были высказаны следующие утверждения:

1. Андрей: Каждый из трех мужей на 5 лет старше своей жены;

2. Ева: Не стану скрывать - я самая старшая из всех жен;

3. Игорь: Нам с Юлией вместе 52 года;

4. Леонид: Всем шестерым вместе 151 год;

5. Юлия: Нам с Леонидом вместе 48 лет.

К сожалению Марта не смогла принять участие в застольной беседе, поскольку ей пришлось выполнять хлопотливые обязанности хозяйки дома и она то и дело отлучалась на кухню. Кому сколько лет и кто на ком женат?

1. После традиционного вечера в школьной газете появилась заметка о трех бывших выпускниках. В ней было сказано, что Иван, Андрей и Борис стали учителями. Теперь они преподают разные дисциплины: математику, физику и химию. Живут они тоже в разных городах: Витебске, Минске и Москве. В заметке было также сказано, что их первоначальные планы осуществились не полностью:

• Иван живет не в Минске;

• Андрей – не в Витебске;

• Житель Минска преподает не математику;

• Андрей преподает не физику;

• Повезло только жителю Витебска: он преподает любимую им химию.

Определите, кто где живет и что преподает.

Ответ. Андрей преподает математику и живет в Москве, Борис – физику и живет в Минске, Иван – химию и является жителем Витебска.

1. В конструкторском бюро работают Антонов, Борисов, Кириллов и Дроздов. Все хотят отдыхать летом, и поэтому при составлении графика всегда возникают бесконечные споры. Попробуйте составить график отпусков на 4 года, который бы удовлетворял следующим условиям:

• В отпуск сотрудники хотят идти только с мая по август;

• Продолжительность отпуска – один месяц;

• В каждом месяце в отпуск может пойти только один человек;

• За четыре года каждый из четырех сотрудников должен получить отпуск по одному разу в каждом из этих месяцев;

• В первый год Кириллов должен отдыхать в июле;

• Во второй год Антонову отпуск нужен в мае;

• В третий год Дроздову отпуск нужен в июне;

• Борисов на четвертый год предполагает уйти в отпуск в июле;

• В августе все хотят отдыхать следующим образом: в первый год – Дроздов, во второй – Кириллов, в третий – Борисов, в четвертый – Антонов.

Ответ: Порядок отпусков (с мая по август):

1 год – Борисов, Антонов, Кириллов, Дроздов;

2 год – Антонов, Борисов, Дроздов, Кириллов;

3 год – Кириллов, Дроздов, Антонов, Борисов;

4 год – Дроздов, Кириллов, Борисов, Антонов.

1. В симфонический оркестр приняли на работу трех музыкантов: Брауна, Смита и Вессона, умеющих играть на скрипке, флейте, альте, кларнете, гобое и трубе. Каждый из музыкантов владеет только двумя инструментами. Известно, что:

• Смит самый высокий:

• играющий на скрипке меньше ростом играющего на флейте;

• играющий на скрипке и флейте и Браун любят пиццу;

• когда между альтистом и трубачом происходят ссора, Смит мирит их;

• Браун не умеет играть ни на трубе, ни на гобое.

На каких инструментах играет каждый музыкант?

1. Три одноклассника – Влад, Тимур и Юра – встретились спустя 10 лет после окончания школы. Выяснилось, что один из них стал врачом, другой – физиком, а третий – юристом. Один полюбил туризм, другой – бег, третий – регби. Юра сказал, что на туризм ему не хватает времени, хотя его сестра – единственный врач в семье – заядлый турист. Врач сказал, что разделяет увлечение коллеги. Забавно, но у двоих из друзей в названиях их профессий и увлечений не встречается ни одна буква из их имен. Определите, кто чем любит заниматься в свободное время и у кого какая профессия.

(У Тимура в имени имеются буквы из названия всех профессий, значит, Влад не может быть врачом, а Юра не может быть юристом и регбистом).

1. На каждой из 10 карточек написали по одному целому числу от 1 до 10. Карточки тщательно свернули, бросили в чью-то шляпу и пригласили каждого из пяти счастливых обладателей выигрышных билетов вытянуть по две карточки (которые затем обратно в шляпу не возвращались).

К сожалению, при записи результатов лотереи произошла ошибка. В то время, как один из членов тиражной комиссии называл вслух числа, стоящие на извлеченных из шляпы карточках (например: «Пять и семь»), другой по рассеянности складывал эти числа и записывал лишь их сумму. Поэтому результаты лотереи в протоколе распределились так: Лена - 11, Федя - 4, Катя - 7, Миша - 16, Вова - 17. Между тем каждый из пяти участников лотереи должен получить по два выигрыша - в соответствии с теми двумя числами, которые значились на вытащенных им карточках.

Нельзя ли установить, какие два числа выпали каждому участнику лотереи?

1. В семье четверо детей – 5, 8, 13 и 15 лет. Их имена – Аня, Боря, Валя и Галя. Одна из девочек ходит в детский сад. Аня старше Бори. Сумма возрастов Ани и Вали делится на 3. Сколько лет Боре?

Одна из девочек ходит в детский сад – Боре не 5 лет (больше 5 лет). Аня старше Бори – Ане не 5 лет и не 8 лет (есть человек младше ее). Сумма возрастов Ани и Вали делится на 3 – 15 в сумме с другим числом дает число не кратное 3, значит Ане – 13 лет. Аня старше Бори – Боре 8 лет.

1. Вадим, Сергей и Михаил изучают разные иностранные языки: китайский, японский и арабский. На вопрос, какой язык изучает каждый из них, один ответил: «Вадим изучает китайский, Сергей не изучает китайский, а Михаил не изучает арабский». Впоследствии выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение верно, а два других ложны. Какой язык изучает каждый из молодых людей?

Решение. Если верно первое утверждение, то верно и второе, т.к. юноши изучают разные языки. Это противоречит условию задачи, поэтому первое утверждение ложно.

Если верно второе утверждение, то первое и третье должны быть ложны. При этом получается, что никто не изучает китайский язык. Это противоречит условию, поэтому второе утверждение ложно.

Значит, верным является третье утверждение, а первое и второе – ложное. Поскольку Вадим не изучает китайский, то китайский изучает Сергей. Михаил не изучает арабский, значит арабский изучает Вадим, а Михаил изучает японский.

1. В поезде пятеро друзей – Антон, Борис, Вадим, Дима и Гриша – знакомились с попутчицей. Они предложили отгадать их фамилии, причем каждый из них высказал одно истинное и одно ложное утверждение.

Дима сказал: «Моя фамилия – Григорьев, а фамилия Бориса – Дмитриев». Антон сказал: «Григорьев – это моя фамилия, а фамилия Вадима – Антонов». Борис сказал: «Фамилия Вадима – Борисов, а моя фамилия – Григорьев». Вадим сказал: «Моя фамилия – Антонов, а фамилия Гриши – Вадимов». Гриша сказал: «Да, моя фамилия – Вадимов, а фамилия Антона – Борисов».

Какую фамилию носит каждый из друзей?

Обозначим высказывательную форму «Юноша по имени А носит фамилию В» как АВ.

Зафиксируем высказывания каждого из друзей:

1. ДГ и БД;

2. АГ и ВА;

3. ВБ и БГ;

4. ВА и ГВ;

5. ГВ и АБ.

Допустим, что ДГ – истинно, тогда АГ и БГ – ложно, т.к. фамилия Г может быть только у одного человека. Тогда ВА и ВБ – истинно, но один человек не может иметь сразу две фамилии.

Значит, ДГ – ложно. Тогда БД – истинно. Следовательно, БГ – ложно, ВБ – истинно. Тогда ВА – ложно и АГ и ГВ – истинно. Раз ГБ – истинно, то АБ – ложно.

Ответ: Борис – Дмитриев, Вадим – Борисов, Гриша – Вадимов, Антон – Григорьев, Дима – Антонов.

1. Министры иностранных дел России, США и Китая обсудили за закрытыми дверями проекты соглашения о полном разоружении, представленные каждой из стран. Отвечая затем на вопросы журналистов «Чей проект был принят?», министры дали такие ответы:

Россия: «Проект не наш, проект не США»;

США: «Проект не России, проект Китая»;

Китай: «Проект не наш, проект России».

Один из них (откровенный) оба раза говорил правду; второй (скрытый) оба раза говорил неправду, третий (осторожный) один раз сказал правду, а другой раз – неправду.

Определите, представителями каких стран являются откровенный, скрытый и осторожный министры.

Узнаем, кто из министров был откровенен.

Если это российский министр, значит, победил китайский проект. Но тогда оба утверждения министра США тоже справедливы, чего не может быть по условию.

Если откровенный – министр США, то тогда также получаем, что победил китайский проект и утверждения российского министра также оба верны.

Значит, откровенным был китайский министр. Действительно, из того, что оба его высказывания верны, следует, что победил российский проект. Тогда первое утверждение российского министра истинно, а второе – ложно, а оба высказывания министра США – ложны.

Ответ: Откровенным был китайский министр, осторожным – российский, скрытным – министр США.

1. При каких значениях переменных X, Y, Z выражение НЕ (X Y) ИЛИ НЕ (X = Z) будет ложным?

A. X = 0, Y = -8, Z = 0

B. X = -2, Y = 8, Z = -2

C. X = 2, Y = 0, Z = 2

D. X = 1, Y = 2, Z = 3

E. X = 3, Y = 2, Z = 1

Ответ: B

1. Укажите высказывание, которое является истинным при выполнении следующего условия: ни одно из чисел X, Y, Z не равно 13.

A. НЕ (Х = 13) ИЛИ НЕ (Y = 13) ИЛИ НЕ (Z =13)

B. НЕ (Х = 13 И Y = 13 И Z = 13)

C. НЕ (Х = 13 ИЛИ Y = 13 ИЛИ Z = 13)

D. (Х 13) ИЛИ (Y 13) ИЛИ (Z 13)

E. НЕ ((Х 13) И (Y 13) И (Z 13))

Ответ: С

1. Три буквы г, б, л входили в состав трех различных слов, состоящих из четырех букв. Первое слово начиналось на н, а оканчивалось на а. Во втором слове начальная буква с, а последняя – о. Третье слово начиналось так же, как и первое, а кончалось, как второе. Буквы б и г были в словах с начальной буквой н, а буквы б и л – в словах с последней буквой о. Определи, что это за слова, если известно, что вторая буква во всех словах одинаковая.

1. В 16-й главе книги "Гарри Поттер и волшебный камень" приведена логическая задачка, которую составил профессор Злей. Злей, видимо, на досуге баловался поэзией - и облек задачку в форму стихотворения. Как вы уже знаете, Гермионе удалось ее решить. Найдите решение и Вы.

3. Перед вами лежит опасность, безопасность лежит позади,

4. Двое окажут вам помощь, а которые - надо найти,

5. Одна из нашей семерки разрешит продвигаться вперед,

6. Зато другая, как выпьешь, обратно тебя отведет, 

7. Крапивным соком налиты двое из нас, говорят,

8. Трое других – убийцы, поджидают, построившись в ряд.

9. Выбирайте, коль не хотите навеки в тюрьме застрять,

10. Чтобы помочь, должны мы четыре подсказки вам дать:

11. Во-первых, насколько бы хитро не прятался от вас яд,

12. От сока он будет слева, и это вам надо понять;

13. Второе: различны стоящие по разным от вас сторонам,

14. Но, двиньтесь вперед, и никто из них другом не будет вам;

15. В-третьих, размера все разного, всякий вам скажет суд,

16. Но ни гигант, ни карлик смерти в себе не несут;

17. Еще: близнецы по вкусу, хотя и различны на вид 

18. Второй и слева, и справа – отведав, каждый решит. 

20. 

21. Задача Эйнштейна

Условие:

1. Есть 5 домов

2. В каждом доме живет по одному человеку отличной от другого национальности

3. Каждый жилец пьет только один определенный напиток, читает определенную газету или журнал и держит животное.

4. Hикто из пяти человек не пьет одинаковые напитки, не читает одинаковые издания и не держит одинаковых животных.

Вопрос: Чья рыба?

Подсказки:

1. Англичанин живет в красном доме.

2. Швед держит собаку.

3. Датчанин пьет чай.

4. Зеленой дом стоит слева от белого.

5. Жилец зеленого дома пьет кофе.

6. Человек, который читает Morning Post, держит птицу.

7. Жилец среднего дома пьет молоко.

8. Жилец из желтого дома читает Washington Post.

9. Hорвежец живет в первом доме.

10. Тот, кто читает Times живет около того, кто держит кошку.

11. Человек, который содержит лошадь, живет около того, кто читает Washington Post.

12. Тот, кто читает News Week пьет сок.

13. Hорвежец живет около голубого дома.

14. Hемец читает Globe.

15. Тот, кто читает Times живет по соседству с человеком, который пьет воду.