План-конспект открытого урока по элементарной математики
Дата: 19.11.2010г.
Группа: 2 курс группа «А»
Аудитория: 29
Учебное время: 3 часа
Тема: Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.
Цель: закреплять понятие «комплексное число», совершенствовать вычислительные навыки в решении упражнений с комплексными числами в алгебраической форме, учиться выполнять простейшие действия с комплексными числами в тригонометрической форме; развивать математическое мышление, память, внимание, познавательный интерес; воспитывать интерес к предмету.
Оборудование: ПК, учебный фильм, чертёжные инструменты, тексты самостоятельной работы
Ход урока:
Организационное начало.
Приветствие.
Здравствуйте, тихо присаживайтесь. Итак, урок элементарной математики.
Психологический настрой.
- Сегодня на урок к нам пришли гости. Я предлагаю нам с вами поработать очень хорошо и показать все наши знания по предмету, умение грамотно и логично выстраивать свои устные и письменные ответы.
Проверка готовности к уроку.
- Проверьте, всё ли у вас готово к началу урока: тетрадь, ручки, карандаши и линейка. Всё лишнее уберите со столов.
Повторительно-обучающая работа.
Сообщение темы и цели урока.
- Прочитаем эпиграф к нашему сегодняшнему уроку (чтение эпиграфа).
-Итак, на предыдущих уроках мы с вами уже познакомились с историей появления понятия «комплексное число»; вспоминали учёных, занимавшихся с данным классом чисел; рассмотрели основные действия над комплексными числами в алгебраической и в тригонометрической формах. А сегодня, в течение трёх часов элементарной математики, мы с вами продолжим работу над понятием «комплексное число». На первом занятии мы с вами вспомним основные тезисы по теме урока, будем решать упражнения с комплексными числами в алгебраической и тригонометрической формах. На втором часу выполним самостоятельную работу по действиям с комплексными числами в алгебраической и тригонометрической формах; а на последнем занятии рассмотрим ещё один вид действий, который можно производить с комплексными числами – это извлечение квадратного корня из комплексного числа. И, я надеюсь, вы ещё раз убедитесь, что комплексные числа действительно получают более и более широкое распространение.
Фронтальный опрос.
- Итак, вспомним, как же в математическую практику пришли понятия «мнимая единица» и «комплексное число»? (Термин “мнимые числа” ввел в 1637 году французский математик и философ Р. Декарт, а в 1777 году один из крупнейших математиков XVIII века - Л. Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа i (мнимой единицы). Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу . Термин “комплексные числа” так же был введен Гауссом в 1831 году. Слово «комплекс» (от латинского complexus) означает связь, сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений и т. д. образующих единое целое.)
- Какие русские учёные занимались вопросом теории функций комплексного переменного? (Н. И. Мусхелишвили занимался ее применениями к теории упругости;М. В. Келдыш и М. А. Лаврентьев – к аэро- и гидродинамике; Н. Н. Богомолов и В. С. Владимиров – к проблемам квантовой теории поля.)
- Так что же такое «комплексное число»? (Комплексным числом называется число вида a+jb , где a, b − некоторые действительные числа, а j− мнимая единица.)
- Каким символом обозначается множество комплексных чисел? (С)
- Вспомним, сколько всего классов или множеств чисел мы с вами вспомнили на наших занятиях? (6)
- Как они располагаются по отношению друг к другу? Какой класс самый маленький, а какой самый большой? (N, Z, Q, I, R, C)
- Вы сказали, что комплексное число обозначается как z=a+bi. Что же такое в данной записи комплексного числа представляет собой первое слагаемое, а что второе? (Число a называется действительной частью комплексного числа z. Обозначается a=Re z. Число b называется мнимой частью комплексного числа z. Обозначается b=Im z.)
- Хорошо, мне нравится, как вы сегодня работаете на уроке. Скажите мне, пожалуйста, что нам необходимо построить для изображения комплексного числа? (систему координат)
- Как называется вертикальная ось? (мнимая ось)
- Как называется горизонтальная ось? (действительная ось)
- Какие координаты будут изображаться на действительной оси? Мнимой? (а, в)
- А как получить комплексное число в такой системе координат? (найти точку пересечения действительной и мнимой координаты, соединить эту точку с началом координат)
- Проверим, правильно ли вы сформулировали алгоритм изображения комплексного числа на координатной плоскости. Посмотрим на экран.
III. Работа по выработке умений и навыков
Сообщение темы и цели урока
- Сегодня на уроке мы с вами продолжи м работу над комплексными числами, а именно продолжим формирование навыка выполнения действий над комплексными числами в тригонометрической форме.
Решение упражнений у доски с комментированием.
- Откройте свои рабочие тетради и подпишите в них сегодняшнее число и тему: «Решение упражнений по теме «Комплексные числа».
- Прочитайте задание на экране. (Изобразите комплексные числа)
- Строим у себя в тетрадях данные комплексные числа на одной координатной плоскости. К доске работать над этим заданием идёт…
- Проверьте своё решение с решением у доски. У кого получились другие ответы, поднимите руку.
- Прочитаем следующее задание на экране. (Запишите комплексные числа, изображенные на координатной плоскости, в алгебраической форме.)
- Выполним теперь обратную операцию. Сделайте это задание самостоятельно, а затем кто-то один прочитает нам ответы.
- Проверим, что же у вас получилось. Ответы с места нам зачитает…
- Поднимите руку, у кого получились другие ответы.
- Молодцы, я вижу, что и с этим заданием вы справились достаточно хорошо.
Устное решение упражнений.
- Посмотрим, какое же следующее задание нам предстоит выполнить. Устно посчитаем, какой же из предложенных ответов нам подходит больше всего. Подумайте самостоятельно.
- Кто готов ответить на вопрос данного упражнения? Почему? (4)
- Молодцы, я вижу, что в изображении комплексных чисел у нас неплохие знания, и данный материал вы усвоили достаточно хорошо.
Фронтальный опрос.
- Какое число называется противоположным комплексному числу? (Комплексное число -z=-a-bi называется противоположным комплексному числу z=a+bi)
- Если комплексное число располагается в первой координатной четверти, то в какой четверти будет располагаться ему противоположное и почему? (3)
- Какие комплексные числа называются сопряжёнными? (Комплексное число z=a-bi называется противоположным комплексному числу z=a+bi)
- В какой координатной четверти будет располагать сопряжённое данному и почему? (4)
5. Решение упражнений у доски с комментированием.
- Прочитаем следующее задание на слайде. (Запишите числа, сопряженные данным)
-Выполним его самостоятельно в тетрадях и у доски. К доске идёт…
- Посмотрите внимательно на доску. Поднимите руку, у кого получились другие ответы.
- Сверьте теперь каждый своё решение с правильным на экране.
- Поднимите руку, кто не допустил ни одной ошибки? Одну? Две?
- Те, у кого получилось в решении более двух ошибок, я думаю, лучше выучат данную тему и подготовятся к следующему занятию. А у кого нет ошибок или всего лишь одна молодцы.
6. Устное решение упражнений.
- Выполним следующее упражнение со слайда устно. Прочитайте задание про себя. (Какое из данных чисел является сопряженным для числа )
- Кто мне скажет, какой из четырёх вариантов правильный и почему. (в)
- Проверим, правы ли вы. Посмотрим на слайд. Итак, правильным оказался вариант под буквой в). Молодцы, все кто в своих рассуждениях пришёл к такому же выводу.
7. Фронтальный опрос.
- Ещё один большой раздел из всей темы комплексные числа, который мы с вами изучили – это степени мнимой единицы. Итак, по определению, чему же равняется i2? ( )
- Зная, что i2=1, как узнать, чему равно i3? i4? i5? (
)
- Хорошо, я вижу, что это вы усвоили хорошо.
8. Запись правила под диктовку.
- А как же быть, если нам необходимо вычислить, например, i16? Ведь подобные вычисления, как вы видите, довольно громоздки и требуют больших временных затрат. Для этого, мы с вами запишем формулу или алгоритм для вычисления мнимой единицы в степени m.
- Подпишите в своих тетрадях подзаголовок: формула для вычисления мнимой единицы в степени m. Смотрим на экран и записываем формулу к себе в тетради, обводим её обязательно в цветную рамочку, как любое правило или определении.
( 1) Если показатель степени m при j делится на 4 без остатка, то
Если при делении показателя степени m при j на 4 получается остаток 1, то
Если при делении показателя степени m при j на 4 получается остаток 2, то
Если при делении показателя m при j на 4 получается остаток 3, то
)
9. Решение упражнений у доски с комментированием.
- Выполним у доски с комментирование следующее задание и проверим, насколько хорошо мы с вами умеем пользоваться данной формулой. К доске идёт…
- Итак, хорошо, с задание справились. Но я думаю, что данный алгоритм нам с вами нужно будет ещё немного подучить и выполнить больше упражнений такого плана.
10. Фронтальный опрос.
- Следующий момент, который нам с вами обязательно нужно вспомнить – это модуль комплексного числа.
- Что же мы с вами называем модулем комплексного числа? (Модулем комплексного числа называется действительное число )
- Как обозначается модуль комплексного числа? ( )
- Устно по цепочке посчитаем, следующие примеры на слайде.
- Хорошо, молодцы. Что же называется аргументом комплексного числа? (Угол α, между положительным направлением действительной оси и вектором ОМ называется аргументом комплексного числа )
- Как обозначается аргумент комплексного числа? ( )
- Вспомним, какие частные случаи мы с вами рассматривали? (
)
- Устно выполним следующие задания на слайде.
- Мне очень понравилось, как вы отвечали на все мои вопросы и решали предложенные вам задания. Я надеюсь, что и самостоятельную работу вы выполните столь же хорошо.
11. Самостоятельная работа по вариантам.
- Дежурные, раздайте, пожалуйста, на столы листы для самостоятельной работы. Уберите всё лишнее со стола и послушайте меня внимательно. Сейчас каждый получит вот такой лист с заданиями по вариантам. Каждый на своём рабочем листе подпишет свою фамилию и номер варианта, как это показано на листах с заданиями, а затем может приступать к выполнению заданий. Выполнять задания можно в любом порядке, время на самостоятельную работу до конца урока. У кого есть ко мне вопросы, задавайте их сейчас.
- Тогда я раздаю задания, и мы приступаем к работе (выполнение самостоятельной работы).
1 вариант
Запишите и постройте на координатной плоскости комплексное число, сопряжённое с данным: 1+i;
-3+4i.
Решите уравнение: z2+6z+13=0;
16z2-32z+17=0.
Найдите полярные координаты точки М: М(3; 4),
М(-1; ).
2 вариант
Запишите и постройте на координатной плоскости комплексное число, сопряжённое с данным: 2+3i;
-7-5i.
Решите уравнение: z2+2z+17=0;
9z2-12z+5=0.
Найдите полярные координаты точки М: М(-12; 5),
М(-3;4).
- Сдайте, пожалуйста, листы с заданиями и ваши решения.
IV. Итог урока
- Чему мы с вами учились на уроке?
- Что нового вы для себя узнали?
- Какие задания вызвали у вас наибольшие затруднения?
- Какие математические термины сегодня на уроке мы с вами вспоминали?
- Отметки за работу на уроке получают…
V. Задавание на дом.