Пересечение прямой с окружностью (методическая разработка)

Рассмотрим вопрос о пересечении прямой с окружностью.

Пусть R — радиус окружности и d — расстояние от центра окружности до прямой

Примем центр окружности за начало координат, а прямую, перпендикулярную к данной, за ось х (рис. 179). Тогда уравнением окружности будет x'² + y²=R², а уравнением прямой x = d.

Для того чтобы прямая и окружность пересекались, надо, чтобы система двух уравнений

x'² + y²=R², x = dимела решение.

И обратно: всякое решение этой системы дает координаты X, у точки пересечения прямой с окружностью. Решая нашу систему, получим:

Из выражения для у видно, что система имеет два решения, т. е. окружность и прямая имеют две точки пересечения, если R>d (рис. 179,а).

Система имеет одно решение, если R=d (рис. 179,в).

В этом случае прямая и окружность касаются.

Система не имеет решения, т. е. прямая и окружность не пересекаются, если R<.d (рис. 179, в).

Задача (50). Найдите точки пересечения окружности х^ + у' = 1 с прямой J/ = 2JC-1-1.

Решение. Так как точки пересечения лежат на окружности и на прямой, то их координаты удовлетворяют системе уравнений

х² + у² = 1, y = 2х+1.

Решим эту систему. Подставим у из второго уравнения в первое. Получим уравнение для х:

5x² + 4x = 0.

Весь материал - в документе.

Пересечение прямой с окружностью

Рассмотрим вопрос о пересечении прямой с окружностью.

Пусть R — радиус окружности и d — расстояние от центра окружности до прямой. Примем центр окружности за начало координат, а прямую, перпендикулярную к данной, за ось х (рис. 179). Тогда уравнением окружности будет x'² + y²=R², а уравнением прямой x = d.

Для того чтобы прямая и окружность пересекались, надо, чтобы система двух уравнений

x'² + y²=R², x = d

имела решение. И обратно: всякое решение этой системы дает координаты X, у точки пересечения прямой с окружностью. Решая нашу систему, получим:

 
 
Из выражения для у видно, что система имеет два решения, т. е. окружность и прямая имеют две точки пересечения, если Rd (рис. 179,а).

Система имеет одно решение, если R=d (рис.  179,в).

В этом случае прямая и окружность касаются.

Система не имеет решения, т. е. прямая и окружность не пересекаются, если R

Задача (50). Найдите точки пересечения окружности х^ + у' = 1 с прямой J/ = 2JC-1-1.
Решение. Так как точки пересечения лежат на окружности и на прямой, то их координаты удовлетворяют системе уравнений

х² + у² = 1, y = 2х+1.

Решим эту систему. Подставим у из второго уравнения в первое. Получим уравнение для х:

5x² + 4x = 0.

Уравнение имеет два корня x₁ = 0 и. Это абсциссы точек пересечения. Ординаты этих точек получим из уравнения прямой, подставляя в него x₁ и x₂.

Получаем   y₁ = l, Итак, точки пересечения прямой и окружности (0; 1) и .