Общее и частное положения прямых и плоскостей

Лекция 2

Общее и частное положения

прямых и плоскостей

Эпюр прямой

• Положение прямой линии однозначно в пространстве определяется заданием двух ее точек.
• Комплексный чертеж прямой может быть представлен двумя проекциями прямой.
• Если прямая не параллельна ни одной плоскости проекций, ее называют прямой общего положения. Такая прямая изображена на рисунке.

Ортогональные проекции прямой общего положения

z

Z

B 2

П 2

B 2

П 2

П 2

A 2

A 2

B

z

O

B x

A x

x

A

O

X

B x

A x

x

y

А 1

B 1

A 1

В 1

П 1

y

П 1

y

Следы прямой

• Прямая общего положения пересекает все основные плоскости проекций. Точку пересечения (встречи) прямой с плоскостью проекций называют следом прямой .

Построение горизонтального следа прямой

А 2

2

А

В 2

В

А х

В х

Н 2

Н Н 1

В 1

А 1

1

Построение горизонтального следа прямой

Н Н 1

А 2

В 2

В х

А x

X 2,1

H 2

В 1

А 1

Частные случаи расположения прямой

• Кроме общего случая существуют частные случаи расположения прямой по отношению к заданной системе плоскостей проекций:

А. Прямая параллельна плоскости проекции.

Б. Прямая перпендикулярна плоскости проекции.

В. Прямая принадлежит плоскости проекции (частный случай параллельности).

Прямые, параллельные плоскостям проекций (горизонталь, фронталь)

• Горизонталь – прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекции: h || π 1 .

Все точки горизонтали удалены на одинаковые расстояния от плоскости π 1 .

Фронтальная проекция горизонтали h 2 || оси x. Горизонтальная проекция может занимать любое положение.

Иллюстрация линий уровня. Горизонталь

• Фронталь – прямая, параллельная фронтальной плоскости проекции: f || π 2 .

Все точки фронтали удалены на одинаковые расстояния от плоскости π 2.

Горизонтальная проекция f 1 || оси x. Фронтальная проекция может занимать любое положение.

Иллюстрация линий уровня. Фронталь

Проецирующие прямые

Это прямые, перпендикулярные к плоскостям проекций.

Горизонтально-проецирующая – прямая, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекции.

Такая прямая проецируется на плоскость π 1 в точку ; ее фронтальная проекция перпендикулярна оси x.

Иллюстрация горизонтально-проецирующей прямой

Фронтально-проецирующая – прямая, перпендикулярная фронтальной плоскости проекции.

Эта прямая проецируется на плоскость π 2 в точку, а ее горизонтальная проекция перпендикулярна оси x .

Фронтально-проецирующая прямая

Прямая, принадлежащая плоскости проекций

Ортогональная проекция плоскости

• Плоскость является простейшей поверхностью.
• Положение плоскости в пространстве однозначно определяется тремя различными точками , не принадлежащими одной прямой.

Задание плоскости на комплексном чертеже

Для задания плоскости на эпюре Монжа достаточно указать проекции

а) трех различных точек, не принадлежащих одной прямой

Задание плоскости на комплексном чертеже

Для задания плоскости на эпюре Монжа достаточно:

б) указать проекции

прямой и не принадлежащей ей точки

Задание плоскости

в) с помощью задания проекций двух прямых, пересекающихся в собственной или несобственной точке

Задание плоскости

• Проекциями отсека плоской фигуры Ф

Задание плоскости следами

Задание плоскости следами обладает преимуществом перед другими вариантами ее изображения на эпюре:

• сохраняется наглядность изображения;
• требуется указать только две прямые вместо четырех или шести .

На рис. Показана плоскость общего положения.

Построить следы плоскости Σ ( ∆ АВС).

F' ≡ F'2

F ≡ F2

f 0 ≡ f 2

В 2

С 2

А 2

S x

F' 1

Н' 2

F 1

H 2

В 1

А 1

С 1

Н Н 1

h 0 ≡ h 1

Н Н' 1

Частные случаи расположения плоскости

• Перпендикулярное к плоскости проекций.
• Параллельное к плоскости проекций.
• Плоскости перпендикулярные к плоскости проекций называются проецирующими.

Плоскости

фронтально - проецирующая

профильно - проецирующая

горизонтально - проецирующая

В 2

В 3

В 2

А 2

В 2

А 2

А 2

С 3

С 2

С 2

С 2

Х 1,2

Х 1,2

Х 1,2

В 1

В 1

А 1

В 1

А 1

С 1

Частные случаи расположения плоскости

Изображение проецирующих плоскостей на комплексном чертеже

Плоскость уровня

• Плоскость, параллельную плоскости проекций называют плоскостью уровня. Их три.
• Горизонтальная.
• Фронтальная.
• Профильная.

Плоскости уровня на комплексном чертеже

• К замечательному свойству плоскостей уровня относят следующее: если какая-либо фигура расположена в плоскости уровня, то она проецируется без искажения своего истинного вида на ту плоскость проекций, которой параллельна плоскость уровня.

Главные линии плоскости . Их относительное расположение.

1. Горизонталь h .

2. Фронталь f .

3. Профильная прямая p.

4. Линия наибольшего

наклона – прямая, принадлежащая плоскости и перпендикулярная к линиям уровня этой плоскости.

На комплексном чертеже

Линии уровня плоскости на комплексном чертеже

Линия наибольшего наклона плоскости

• с – линия наибольшего наклона плоскости к горизонтальной плоскости проекций (линия ската).

С

Линия наибольшего наклона на комплексном чертеже

• Линия наибольшего наклона к π 1 перпендикулярна к горизонтальной проекции горизонтали плоскости или к горизонтальному следу плоскости

f 0 ≡ f 0 2

1 2

2 2

f 0 1 ≡ h 0 2

1 1

x 2,1

2 1

h 0 ≡ h 0 1

Определение расстояния между двумя точками способом прямоугольного треугольника

• Натуральная величина отрезка равна гипотенузе прямоугольного треугольника, построенного на двух катетах один из которых проекция отрезка, а второй – разница координат начала и конца отрезка в другой плоскости проекций.

Пример определения расстояния способом прямоугольного треугольника

A 0

B 2

β º

∆ y = yB – yA

∆ z = zB – zA

z B

A 2

z A

X 2,1

y A

A 1

∆ z = zB – zA

y B

A 0

αº

B 1

αº

П 1

β º Угол наклона прямой к фронтальной плоскости проекций П 2

Задача. Построить следы плоскости Σ ( ∆ АВС).