Область определения и множество значений тригонометрических функций - уроки алгебры в 11 классе

Деятельность учителя

Деятельность ученика

1. Мотивационно-ориентировочная часть

1.1. Мотивация

- Начало урока посвятим обзору элементарных функций, изученных в курсе алгебры 7-10 классов. Вспомните, какими формулами они задаются, как называются соответствующие графические образы.

- Установите соответствие между графиком функции и формулой.

Слайд 1 (объекты в движении).

Ученики перетаскивают формулы на соответствующие им графики, параллельно повторяя, как выглядит график, название соответствующей кривой.

Например, - эта формула описывает степенную функцию. График представляет собой две ветви гиперболы. В зависимости от k, ветви располагаются в 1,3 или 2,4 координатных углах.

Учащиеся повторяют аналитическое задание функций и графические образы. Учитель может добавить следующее: каждому значению аргумента соответствует по определенному закону единственное значение функции, т.е. существует взаимно-однозначное соответствие между x и y.

- Какие свойства функции можно исследовать свойства по графику?

Слайд 2 (инструмент «штора»).

Свойства:

• область определения;

• множество значений;

• нули функции;

• промежутки знакопостоянства;

• промежутки возрастания и убывания;

• четность (нечетность)

Учитель, постепенно опуская «штору», повторяет с учениками очередное свойство функции, исследуемое или по графику, или по формуле.

- Что такое область определения функции?

- Что называется множеством значений функции?

- Укажите область определения и множества значений по графическим образам.

Слайд 3 (выдвижные объекты).

Область определения функции – это все значения, которые может принимать ее аргумент.

Множество значений – это те значения, которые может принимать переменная y.

По графическим образам ответ такой:

Например, на фрагменте представлен график квадратичной функции в двух случаях: старший коэффициент положительный – х-любое, значения функции ограничены значением в вершине параболы, не меньше значения в вершине параболы; старший коэффициент отрицательный – х-любое, значения функции не больше значения функции в вершине параболы

Учитель вытягивает выдвижные объекты с определениями, на которых приклеены ярлыки «Повторим теорию».

Ученики вытягивают фрагменты с графиками и комментируют, как определить область определения и множество значений функций, представленных на графиках.

- При каких значениях x имеют смысл выражения? (самостоятельная работа, запись ответов в тетради, один ученик за крыльями доски).

- С какими действиями связаны ограничения по возможным значениям переменной x?

Вспомним, когда возможно деление?

Когда возможно извлечение корня четной степени? Когда существует степень с дробным показателем?

Когда существует степень с нулевым показателем? Когда существует логарифм? Когда существует синус, косинус, тангенс?

Слайд 4 (интерактивное упражнение)

Ученики дают комментарии к упражнениям.

Например:

Не всегда возможно деление. Деление возможно на неравное нулю число. Логарифмы существуют только для положительных чисел. Корни четной степени существуют только для неотрицательных чисел. Степень с дробным показателем существует для положительных чисел. Синус, косинус существует для любого действительного числа, т.к. это координаты точки единичной окружности, на которой изображаются действительные числа. Тангенс не существует на концах вертикального диаметра единичной окружности. Котангенс не существует на концах горизонтального диаметра.

При проверке ученик комментирует ответ, объясняя, когда возможно данное действие. Учитель для обратной связи с целью усиления наглядности использует интерактивное средство СМАРТ доски. При нажатии на домино появляется правильный ответ.

Это упражнение является пропедевтическим для изучения области определения функций. По завершении необходимо сделать акцент на прием нахождения допустимых значений x.

- Какая функция называется четной (нечетной)?

Учитель после ответов учеников вытягивает объект с формулировкой (для наглядного закрепления).

- Установите соответствие между графиком и свойством четности (нечетности).

Слайд 5.

Выдвижной объект «повтори теорию».

- Функция называется четной, если ее область определения симметрична относительно начала координат и значения функции в противоположных точках равны. График обладает симметрией относительно начала координат.

- Функция называется нечетной, если ее область определения симметрична относительно начала координат и в противоположных точках значения противоположны. График обладает симметрией относительно начала координат.

Повторяются определения, устанавливается соответствие между графиком и названием (четная, нечетная, общего вида). Слайд служит для пропедевтики изучения темы «Четность, нечетность тригонометрических функций».

- Как найти область определения и множество значений функций, заданной формулой?

Слайд №6

- Чтобы найти область определения функции, надо определить допустимые значения переменной x, учитывая ограничения, связанные с алгебраическими действиями.

- Чтобы найти множество значений, надо определить возможные значения переменной у, учитывая свойства арифметических действий.

На слайде заданы эффекты анимации «Появление». Учащиеся имеют возможность наглядно проверить свою версию ответа.

- Исследуйте свойства функции, заданной графиком.

На слайде задана анимация «вращение». Ответы указаны на обороте картинки. Проверка осуществляется сразу после предложенного ответа.

Слайд №7

Ученики работают в парах, делают краткие записи в тетрадях. Проверяют правильность друг у друга, вырабатывают одну правильную версию и озвучивают ее при фронтальной проверке.

Возможный ответ:

«Нуль» функции – это значение аргумента, при котором функция равна нулю. Функция равна нулю в точках пересечения с ось абсцисс. Поэтому нули функции: 0 и 6,5.

Функция на двух промежутках убывает, на одном – возрастает. Убывает – с увеличением аргумента линия падает вниз. Возрастает – при увеличении аргумента линия поднимается вверх.

График простирается не на всей действительной оси, поэтому область определения ограничена отрезком.

По оси ординат график тоже ограничен, поэтому область значений тоже ограничена отрезком.

На слайде предусмотрены подсказки - выдвижные фрагменты «повтори теорию», эффекты анимации «Поворот»: при наведении на объект он поворачивается и появляется ответ. Эффект хорош для обеспечения обратной связи.

- Итак, мы привели знания в систему, повторив основные свойства элементарных функций, которые были изучены в курсе алгебры 7-10 классы. Еще раз акцентируем внимание на том, что свойства можно исследовать как по формуле, так и по графику.

- Сегодня на уроке и на последующих уроках мы будем изучать новый вид функций и их свойства.

1.2 Постановка учебной задачи (цели) урока

- В десятом классе мы изучали логарифмы и связанную с ними логарифмическую функцию и ей обратную показательную функцию, степень и связанную с ней степенную функцию; важный раздел алгебры – тригонометрия. В этом разделе рассмотрели понятия синуса, косинуса, тангенса, основные тригонометрические тождества, тригонометрические уравнения.

- По логике вещей, скажите, что еще важно рассмотреть и изучить? Сделайте предположение.

- Мы изучили основные понятия тригонометрии. Возможно, в природе существуют тригонометрические функции. И это нетрудно проверить, если попробовать установить взаимно-однозначное соответствие между действительными числами и значениями их синусов, косинусов, тангенсов.

- Как сформулировать цель урока?

- Ввести понятия тригонометрических функций.

- Поскольку с каждым видом функции связаны свои свойства, то, наверное, интересно будет познакомиться со свойствами тригонометрических функций.

- Какие еще цели можно поставить?

- Изучить свойства тригонометрических функций, заданных формулами. Исследование возможно только по формуле, поскольку не известны графические образы.

1.3 Планирование учебной деятельности

- Мы введем понятия тригонометрических функций и научимся находить их область определения и множество значений в случае их аналитического задания. Далее, на последующих уроках, изучим другие свойства по общей схеме исследования. Используя свойства, построим графические образы.

Запишите тему урока.

Записывают тему урока «Тригонометрические функции. Область определения и множество значений».

- Перед вами на партах лежит канва таблицы, такая же заготовка фрагментарно сделана на экране интерактивной доски. В ходе урока мы должны заполнить таблицу полностью.

- Все согласны принять правила работы?

- Тогда начинаем постепенно заполнять графы таблицы. Как только таблица будет заполнена, мы постараемся связать ее графы и обсудим результаты работы.

Слайд №8

На парте лежит канва таблицы.

Такой образец заполнения, возможно, будет в тетради у ученика, при выполнении следующих указаний учителя.

2. Операционно-познавательная часть

2.1 Введение понятий тригонометрических функций.

- Самостоятельная работа с учебником по плану:

1. Прочитать параграф 1, стр. 3.

2. Изобразите единичную окружность и проиллюстрируйте взаимно-однозначное соответствие между действительными числами и значениями синуса, косинуса.

3. Функции какого вида называются тригонометрическими?

Слайд №9 (для демонстрации для введения понятий тригонометрических функций)

После работы с книгой ученики должны объяснить по данному слайду как вводятся тригонометрические функции.

2.2. Рассмотрение области определения и множества значений.

Формирование приемов нахождения области определения и множества значений функций, заданных формулами.

- Как с помощью тригонометрического круга определить, какова область определения и множество значений тригонометрических функций?

- Вспомните определение тангенса и котангенса. Выпишите соответствующие соотношения.

- Сделайте выводы об области определения и множестве значений.

Слайд №10. (для демонстрации области определения и множества значений)

Параллельно идет заполнение таблицы со свойствами тригонометрических функций.

- Итог: ввели понятия тригонометрических функций и рассмотрели их область определения и множество значений.

- Попробуйте выделить типы задач по новой теме.

- Найти область определения функции, заданной формулой;

- Найти множество значений функций, заданных формулой.

- Проанализируйте решение задач №1, №2 учебника стр. 4. Оформите решения в тетради.

- Попробуйте сформулировать приемы решения типичных задач.

- Какие необходимы умения и навыки при решении задач данного типа?

- Какие способы нахождения области значений?

- Чтобы найти область определения функции, надо определить допустимые значения переменной x, учитывая ограничения, связанные с алгебраическими действиями. При этом сталкиваемся с решением уравнений или неравенства. Необходимо уметь решать уравнения и неравенства известных нам видов. Поэтому хорошо бы повторить приемы решения.

- Чтобы найти область значений можно использовать метод оценки, основанный на применении свойств числовых неравенств. Поэтому желательно повторить свойства числовых неравенств.

- Вывод:

Метод оценки заключается в следующем:

1. Преобразовать функцию;

2. Используя свойства неравенств, оценить пошагово значения выражения.

Слайд №11 (демонстрирует приемы нахождения области значений функции).

Учащиеся оформляют метод решения и образец задания на закрепление.

- Второй способ: через уравнение с параметром.

Учитель объясняет на конкретном примере и дает под запись прием.

Ученики оформляют вместе с учителем решение задания.

2.3. Закрепление. Решение упражнений на отработку навыков.

- Отработка алгоритма.

Учитель предлагает выполнить задание самостоятельно.

Ученики, сотрудничая в парах, пытаются решить задание двумя способами, оформляя решение по предложенной схеме в два столбика.

По завершению осуществляется проверка по слайду (задана анимация объекта).

- Итак, подведем итоги нашей работы.

1. Что повторили?

2. Что узнали нового?

3. Что взять на заметку?

- Повторили:

1. свойства элементарных функций;

2. исследование свойств по графику и формуле.

- Ввели понятия тригонометрических функций.

- Познакомились со способами исследования на область определения и множество значений.

- Взять на заметку, запомнить:

1. метод оценки;

2. исследование множества значений через решение уравнений с параметром.

3. Рефлексивно-оценочная часть

3.1. Оценка и самооценка учебной деятельности

Прошу вас на маленьких листочках: поставить себе оценку за работу на уроке;

что показалось сложным; какие моменты вызывают трудности. Что понравилось, что не понравилось на уроке?

Ученики выставляют себе оценку за работу на уроке, указывают на сложности восприятия нового материала.

3.2. Подведение итогов урока

- Итак, при постановке цели урока мы использовали оборот "привести знания свойств элементарных функций в систему", ввести понятия тригонометрических функций, исследовать область определения и множество значений и привести эти знания в систему, сформировать приемы исследования данных свойств.

- Достигнута ли поставленная нами цель или нет, зависит от того, построена ли система знаний. Как вы считаете?

- Да, действительно, мы привели знания в систему, потому что повторили и систематизировали знания о свойствах функций.

- Мы ввели понятия тригонометрических свойств и исследовали область определения и множество значений. Привели и эти знания в систему. Доказательством является заполненная таблица.

- На конкретных задачах сформировали приемы нахождения области определения и множества значений (метод оценки, через уравнение с параметром). И эти знания привели в систему, т.к. оформили приемы в виде таблицы.

3.3. Планирование предстоящей учебной деятельности

- На следующем уроке мы научимся исследовать область определения и множество значений функций, имеющих более сложное аналитическое задание. Возможно, предстоит вспомнить способы решения тригонометрических уравнений и неравенств, некоторые тригонометрические формулы. Поэтому в домашнее задание необходимо включить вопросы для повторения этих важных моментов.

Ученики записывают домашнее задание.

Функция

Область определения

Множество значений

y=sinx

x-любое

y=cosx

x-любое

y=tgx

y- любое

y=ctgx

y- любое