N-функцияларнинг хоссалари

-функцияларнинг хоссалари

Умаров Хабибулло Рахматуллаевич

Рахматуллаева Назокат Неъматулло қизи

Гулистон давлат университети

e-mail: [email protected]

Функционал анализда фазолардан фарқли бошқа кўплаб ўлчовли функциялар фазолари ўрганилади. Ана шундай фазолардан бири – фазоларнинг умумлашмаси бўлган, Орлич фазоларидир. Орлич фазолари ўз навбатида қавариқ функцияларнинг муҳим синфларидан бири бўлган “ -функциялар” ёрдамида таърифланади.

Ушбу ишда биз -функциялар баъзи хоссаларини кўриб ўтамиз.

1-таъриф. Ҳақиқий аргументли ҳақиқий функция учун, ихтиёрий қийматларда

тенгсизлик ўринли бўлса, функция қавариқ функция дейилади.

шарт функция графиги икки нуқтасини туташтирувчи ватар графикнинг мос нуқталаридан юқорида ёташини билдиради. Геометрик назардан маълумки, барча ватарлар функция графигидан юқорида ётади (1 чизма), яъни ихтиёрий ларда

тенгсизлик ўринли бўлади.

1-чизма.

2-таъриф. Агар да берилган жуфт, қавариқ, ларда мусбат бўлган узлуксиз функция учун

,

бўлса, функция -функция деб аталади.

Ихтиёрий -функция учун

тенглик қўшимча (дополнительная) -функцияни аниқлайди.

Равшанки, ихтиёрий -функция ушбу оралиқда монотон ўсувчи ва . Кўрсатиш мумкинки, ҳам -функция ва

.

-функцияга бошқача таъриф бериш мумкин.

3-таъриф. Агар берилган функцияни ушбу

,

кўринишда тасвирлаш мумкин бўлса, функция -функция деб аталади, бу ерда, ихтиёрий ларда да ўнгдан узлуксиз, камаймайдиган ва қуйидаги

,

шартларни қаноатлантирувчи функция.

Қисқа қилиб айтганда, юқоридаги шартлар функция 2-чизмада тасвирланган графикга эга бўлиши кераклигини билдиради. -функция нинг қиймати мос эгри чизиқли трапеция юзасидан иборатдир.

2-чизма.

-функцияларга берилган бу икки таъриф бир-бирига эквивалентдир.

Энди -функциялар қийматининг даги “тезроқ ўсиши” тушунчасини ўрганамиз. Қуйидаги белгилаш киритиш ушбу жараёнда қулайлик туғдиради.

4-таъриф. Агар шундай мусбат ва ўзгармаслар топилиб,

,

тенгсизлик ўринли бўлса, у ҳолда ушбу белгилашни ишлатамиз:

.

ва -функциялар таққосланувчи деб аталади, агар

ёки

муносабатлардан бири ўринли бўлса.

Текшириш қийин эмаски, ва бўлса, унда ўринли бўлади.

кўринишдаги муносабат киритилган тўплам элементлари юқоридаги хосса ўринли бўлса, унда тўплам ярим тартибланган тўплам деб аталади. Демак, -функциялар муносабатга нисбатан ярим тартибланган тўпламни ташкил этар экан.

муносабатни қаноатлантирувчи функцияларга содда мисол ушбу функциялар ҳисобланади:

, , ;

агар бўлса, бўлади.

Энди ушбу функцияни қарайлик:

, .

Равшанки, ихтиёрий да

ўринли бўлади.

2. Эквивалент -функциялар. ва -функциялар бўлсин. Агар ва муносабатлар ўринли бўлса, унда ва -функциялар эквивалент деб аталади ва қуйидагича белгиланади

.

Равшанки, ихтиёрий -функция ўз-ўзига эквивалент ва агар иккита -функция учунчисига эквивалент бўлса, у ҳолда улар ўзаро эквивалентдир. Бундан келиб чиқадики, барча -функциялар тўплами бир-бирига эквивалент бўлган функциялар синфларига ажралар экан.

Бевосита таърифдан келиб чиқадики, ва -функциялар учун шундай мусбат , ва ўзгармаслар мавжуд бўлиб,

,

тенгсизлик ўринли бўлганда ва фақат шундагина ва -функциялар эквивалент бўлади.

Бу тенгсизликдан, хусусан, -функция ихтиёрий қийматларда -функция билан эквивалент бўлиши келиб чиқади.

1-теорема. ва -функциялар ва бўлсин. У ҳолда уларга қўшимча бўлган ва -функциялар учун

муносабат ўринли бўлади.

Ушбу теоремадан бевосита қуйидаги теорема келиб чиқади.

2-теорема. Агар ва -функциялар эквивалент бўлса, у ҳолда уларга қўшимча бўлган ва -функциялар ҳам эквивалент бўлади.

2-теорема, ўзаро эквивалент бўлган -функциялар синфи уларга қўшимча бўлган -функцияларнинг ҳам эквивалент синфини келтириб чиқаришини билдиради.

Фойдаланилган адабиётлар

1. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. 3-е изд. перераб., Москва, «Наука» 1984.

2. Красносельский М.А., Рутицкий Я.Б. Выпуклые функции и пространства Орлича. – Москва, «Наука» 1958.

3. Рубштейн Б.А., Грабарник Г.Я., Муратов М. А., Пашкова Ю.С. “Введение в теорию симметричных пространств измеримых функций.” (Часть I), Симферополь: Таврический национальный университет, 2014.