Моделирование по теме "Тело брошенное под углом к горизонту"

Моделирование задач (Полет тела, брошенного под углом к горизонту).

Здесь возможны модификации:

• Попадание в заданную площадку.

• Попадание в стенку с указанной высотой.

Задание 1: Формальная модель «Попадание в площадку тела, брошенного под углом к горизонту». Построить формальную модель решения задачи «Попадание в площадку тела, брошенного под углом к горизонту». В процессе тренировок теннисистов используются автоматы по бросанию мячика в определенное место площадки. Необходимо задать автомату необходимую скорость и угол бросания мячика для попадания в площадку определенной длины, находящуюся на известном расстоянии.

Содержательная постановка задачи. В процессе тренировок теннисистов используются автоматы по бросанию мячика в определенное место площадки. Необходимо задать автомату необходимую скорость и угол бросания мячика для попадания в площадку определенного размера, находящуюся на известном расстоянии.

Качественная описательная модель. Сначала построим качественную описательную модель процесса движения тела с использованием физических объектов, понятий и законов, т.е. в данном случае идеализированную модель движения объекта. Из условия задачи можно сформулировать следующие основные предположения:

мячик мал по сравнению с Землей, поэтому его можно считать материальной точкой;

изменение высоты мячика мало, поэтому ускорение свободного падения можно считать постоянной величиной g=9,8 м/с² и движение по оси Y можно считать равноускоренным;

скорость бросания тела мала, поэтому сопротивлением воздуха можно пренебречь и движение по оси X можно считать равномерным.

Формальная модель. Движение мячика по оси Х равномерное, а по оси Y равноускоренное, поэтому для формализации модели используем известные из курса физики формулы равномерного и равноускоренного движения. При заданных начальной скорости v₀ и угле бросания α значения координат дальности полета x и высоты y от времени можно описать следующими формулами:

x = v₀·cosα·t

y = v₀·sinα·t – g·t²/2

Площадка расположена на поверхности земли, поэтому из второй формулы можно выразить время, которое понадобится мячику, чтобы достичь площадки:

v₀·sinα·t – g·t²/2 = 0

t·(v₀·sinα – g·t/2) = 0

Значение времени t = 0 не имеет физического смысла, поэтому:

v₀·sinα – g·t/2 = 0

t = (2·v₀·sinα)/g

Подставим полученное выражение для времени в формулу для вычисления координаты х:

x = (v₀·cosα·2·v₀·sinα)/g = (v₀²·sin2α)/g

Формализуем теперь условие попадание мячика в площадку. Пусть площадка расположена на расстоянии s и имеет длину L. Тогда попадание произойдет, если значение координаты х мячика будет удовлетворять условию в форме неравенства:

s ≤ х ≤ s+L

Если хs, то это означает "недолет", а если хs+L, то это означает "перелет".

Заготовка программы для попадания в площадку:

program ploschadka;

uses graphABC, crt;

const xc=40; yc=240; s=300;

m=20; n=7; step=0.01; g=9.8;

var

x,y,t,a,v0,da:real;

xe,ye:integer; i:integer;

begin clrscr;

{возможен ввод начального угла в градусах:

write('a =');readln(a); a:=a*pi/180;}

write('v0='); readln(v0);

line(xc,10,xc,470);

line(10,yc,630,yc);

a:=pi/20; da:=pi/(6*n);

for i:=1 to n do

begin

a:=a+da;

t:=0;

repeat

x:=v0*cos(a)*t;

y:=v0*sin(a)*t-g*t*t/2;

xe:=round(xc+m*x);

ye:=round(yc-m*y);

setpixel(xe,ye,2);

t:=t+step;

until (ts/(v0*cos(a))) or (yeyc);

end;

end.

Задание:

1. Реализовать программу на компьютере. Оценить результат. C какой скоростью V0 и начальном угле a при заданном значении n будет зафиксировано наибольшее число попаданий в площадку? Результат записать в тетрадь для проверочных работ.

2. Разработать формальную модель при условии попадания мячика в стенку высотой h. Записать выкладки с пояснениями в тетрадь для проверочных работ.

3. Модифицировать программу таким образом, чтобы при попадании в стенку траектория полета мячика за стенкой не имела продолжения. Программу записать в тетрадь для проверочных работ.

4. Найти диапазон скоростей и углов для попадания в стенку.

5. C какой скоростью при заданном значении n будет зафиксировано наибольшее число попаданий в стенку? Результат записать в тетрадь для проверочных работ.

6. Приложение к программе:

Построение делений по оси y:

xt:=10; dx:=10

For i:=1 to 62 do

Begin

xt:=xt+dx;

line(xt,yc,xt,yc-5);

end;

Построение стенки высотой h на расстоянии s0:

line(s0,yc,s0,yc-h);

Соотношение для угла видимости ah (в радианах) верхней границы стенки высотой h на расстоянии s0:

ah:=arctan(2*h/s0); da:=ah/n;

Задание 2: Компьютерная модель «Попадание в площадку тела, брошенного под углом к горизонту»в электронных таблицах. На основе формальной модели «Попадание в площадку тела, брошенного под углом к горизонту» построить и исследовать компьютерную модель в электронных таблицах StarOffice Calc ( В ДАННОЙ РАБОТЕ СООТВЕТСТВУЮТ ВСЕ КОМАНДЫ В Microsoft Excel). Поэтому работаем в Microsoft Excel.

Выделим в таблице определенные ячейки для ввода значений начальной скорости v₀ и угла α и вычислим по формулам 3.1 значения координат тела x и y для определенных значений времени t с заданным интервалом.

Для преобразования значений углов из градусов в радианы используем функцию РАДИАНЫ().  

Визуализируем модель, построив график зависимости координаты y от координаты x (траекторию движения тела).

Исследуем модель и определим с заданной точностью 0,1 градуса значения диапазона изменений угла, которые обеспечивают попадание в площадку, находящуюся на расстоянии 25 м и длиной 2 м, при заданной начальной скорости 17 м/с. Воспользуемся для этого методом Подбор параметра.

program stenka1;

uses graphABC,Crt;

const xc=40; {нач. коорд. по Х}

yc=240;{нач. коорд. по У}

h=50; {высота стенки}

s=300; {расстояние до стенки}

m=10; {множитель, через сколько пикселей ставится точка}

n=7; {число бросков}

step=0.005; {шаг по времени}

g=9.8; {ускорение св. падения}

var

x,y,t,a,v0,ah,da:real;

xe,ye:integer; i:integer;

begin

clrscr;

{write('угол в градусах a =');readln(a); a:=a*pi/180;}

write('нач. скорость в м/с v0='); readln(v0);

line(xc,10,xc,470);

line(10,yc,630,yc);

line(s,yc,s,yc-h);

ah:=arctan(3*h/s); {максимальный угол броска}

da:=ah/n; {промежуток в радианах между бросками}

a:=0; {нач. угол}

for i:=1 to n do

begin

a:=a+da;

t:=0;

repeat

x:=v0*cos(a)*t;

y:=v0*sin(a)*t-g*t*t/2;

xe:=round(xc+m*x);

ye:=round(yc-m*y);

setpixel(xe,ye,2);

t:=t+step;

until (ts/(v0*cos(a))) or (yeyc);

end;

end.

program stenka2;

uses graphABC,Crt;

const

xc=40; {нач. коорд. по Х}

yc=240;{нач. коорд. по У}

h=50; {высота стенки}

s=300; {расстояние до стенки}

m=10; {множитель, через сколько пикселей ставится точка}

n=7; {число бросков}

step=0.005; {шаг по времени}

g=9.8; {ускорение св. падения}

var

x,y,t,a,v0,ah,da:real;

xe,ye:integer; i:integer;

begin

clrscr;

{write('угол в градусах a =');readln(a); a:=a*pi/180;}

write('нач. скорость в м/с v0='); readln(v0);

line(xc,10,xc,470);

line(10,yc,630,yc);

line(s,yc,s,yc-h);

ah:=arctan(3*h/s); {максимальный угол броска}

da:=ah/n; {промежуток в радианах между бросками}

a:=0; {нач. угол}

for i:=1 to n do

begin

a:=a+da;

t:=0;

repeat

x:=v0*cos(a)*t;

y:=v0*sin(a)*t-g*t*t/2;

xe:=round(xc+m*x);

ye:=round(yc-m*y);

if (ye(yc-h)) and not(xes) then

setpixel(xe,ye,2);

if (ye

setpixel(xe,ye,2);

t:=t+step;

until (ts/(v0*cos(a))) or (yeyc);

end;

end.

3