Методикам перпендикулярность плоскостей

Методика работы над теоремой: «Признак перпендикулярности плоскостей»

1. Мотивация.

-Сформулируйте определение, какие плоскости называются перпендикулярными?

-две пересекающие плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусов.

-А когда 2 плоскости перпендикулярные?

-когда они пересекаются и при пересечении образуется 4 двугранных угла и каждый двугранный угол равен 90 градусов.

-Как вы считаете, будет ли плоскость потолка перпендикулярна плоскости стены? Будет ли плоскость стены перпендикулярна плоскости пола? (не знают, но предположат, что да)

-Будет ли основание куба перпендикулярно какой-либо грани? Будет ли грань перпендикулярна основанию куба?

-наверное, да.

-Можете ли вы быть уверены в том, что, потолок перпендикулярен стене? Что грань куба пересекает основание под прямым углом? И т.д.

-нет.

-Значит, нам нужно каким-то образом выяснить это, узнать новую теорему или признак, по которому мы сможем точно ответить на данные вопросы. А еще это нам понадобится при решении задач, где надо установить перпендикулярность плоскостей.

2. Раскрытие содержания теоремы.

Давайте рассмотрим 3 примера.

1. Возьмем книгу и развернем ее так, чтобы получились 2 пересекающиеся плоскости под углом больше 90 градусов и поставим ручку так, чтобы она была перпендикулярна, например, нижней плоскости.

- Проходит ли верхняя плоскость книги через ручку?

-нет.

-Как при этом были расположены плоскости?

-под углом больше 90 градусов.

2) смоделируем 2 ситуацию. Возьмем книгу и развернем так, чтобы получились 2 пересекающиеся плоскости под углом меньше 90 градусов и поставим опять ручку перпендикулярно нижней плоскости.

-Проходит ли верхняя плоскость книги через ручку, принадлежит ли ручка верхней плоскости?

-нет, ручка как бы проткнет верхнюю плоскость или, как мы говорим, пересечет ее.

-Как при этом расположены плоскости?

-под углом меньше 90 градусов.

3) смоделируем последнюю ситуацию. Возьмем книгу и развернем ее так, чтобы получились 2 пересекающиеся плоскости под углом равным 90 градусов и ручку поставим также перпендикулярно нижней плоскости.

-Проходит ли верхняя плоскость через ручку, принадлежит ли ручка в данном случае верхней плоскости?

-да.

- Как при этом расположены плоскости?

-перпендикулярно, т.е. под углом равным 90 градусов.

-Выдвинете свою гипотезу, когда же плоскости будут перпендикулярными?

- если одна из 2 плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

3. Мотивация необходимости доказательства теоремы.

- Ребята, мы с вами предположили, что, если 2 пересекающиеся прямые, лежащая в плоскости параллельна двум пересекающимся прямым, другой плоскости, то они параллельны только на основе опыта. А вдруг мы не рассмотрели случай, когда параллельности плоскостей не будет? Чтобы убрать все сомнения докажем нашу гипотезу.

4. Формулировка теоремы, работа над ее структурой.

Гипотеза, которую вы выдвинули, является признаком перпендикулярности плоскостей. Сформулируем его: Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

- Выделите условие и заключение теоремы.

- условие: одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости.

- заключение: такие плоскости перпендикулярны.

5. Поиск доказательства теоремы.

-Как вы считаете, с чего нужно начать доказательство? (с чертежа, записи того, что дано и что нужно доказать)

- Что дано в теореме? (2 плоскости, причем одна из них проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости.)

- Что нужно доказать? (что плоскости перпендикулярны).

-Рассмотрим плоскости альфа и бетта, такие, что плоскость альфа проходит через прямую АВ, перпендикулярную к плоскости бетта. Точка А – точка пересечения прямой АВ и плоскости бетта.

- Обратимся к чертежу, как расположены эти плоскости относительно друг друга?

- они пересекаются по некоторой прямой А*.

-Верно, обозначим эту прямую АС. Значит плоскости альфа и бетта пересекаются по прямой АС.

- Значит, какой вывод мы можем сделать о прямой АС?

- прямая АС одновременно принадлежит и прямой альфа и прямой бетта.

-Как расположена прямая АВ по отношению к плоскости бетта?

- прямая АВ перпендикулярна этой плоскости, это следует из дано.

- А если какая-то прямая перпендикулярна какой-то плоскости, то что из этого следует?

-что прямая, перпендикулярна любой прямой лежащей в этой плоскости. В нашем случае, если прямая АС лежит в плоскости бетта, то прямая АВ перпендикулярна прямой АС.

- Нам нужно доказать, что плоскости альфа и бетта перпендикулярны. Т.е. что это значит?

-из определения, это значит, что угол между плоскостями должен быть равен 90 градусов.

-А как найти угол между плоскостями?

- нужно определить градусную меру двугранного угла (фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащими одной плоскости).

- Как вы заметили при пересечении плоскостей образовалось 4 двугранных угла. А как найти градусную меру двугранного угла?

-нужно определить градусную меру линейного угла, так как градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла.

-Т.е. нам нужно на чертеже получить линейный угол, который будет равен 90 градусов. Давайте проведем дополнительное построение и построим прямую АД перпендикулярную прямой АС.

-Что вы можете сказать об угле ВАД?

-это линейный угол двугранного угла, образованного пересечением двух плоскостей и будет равен 90 градусов.

- Почему угол ВАД = 90 градусов?

- АД перпендикулярно АС, а АВ перпендикулярна плоскости бетта, или как мы сказали АВ также перпендикулярна АС, а из этого следует, что АД перпендикулярна АВ.

-Верно. А что из этого следует?

-плоскости альфа и бетта перпендикулярны.

6. Оформление доказательства теоремы.

7. Усвоение формулировки теоремы.

1. Сформулируйте еще раз признак, по которому можно сделать вывод о перпендикулярности плоскостей:

Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

2. Переформулируйте признак, но чтобы смысл не менялся:

Если даны две плоскости, и одна из них проходит через прямую, перпендикулярную ко второй плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

8. Усвоение доказательства теоремы.

Как мы доказывали данный признак?

На какие понятия опирались?

Использовали ли дополнительные построения?

Докажите данный признак, если даны плоскости бетта и гамма, причем прямая МN, принадлежащая плоскости бетта, перпендикулярна плоскости гамма, а МN пересекает плоскость гамма в точке N.

9. Решение задач по применению теоремы.

Первичное осмысление и закрепление новых знаний.

1. В классной комнате, используя признак перпендикулярности плоскостей, укажите перпендикулярные плоскости.

2. Работа в парах. Использую признак перпендикулярности плоскостей, укажите перпендикулярные плоскости на модели куба.

3. Укажите плоскости, которым перпендикулярна плоскость АВСД? Перпендикулярна ли плоскость АА1В1В плоскости ДД1С1С?

1 решение:

( п.23 и есть «Признак перпендикулярности плоскостей»)

2 решение:

10. Контроль и оценка усвоения теоремы.

Ответить да/нет:

Знаете ли вы формулировку теоремы?

Умеете ли выделять условие и заключение теоремы?

Умеете строить чертеж?

Можете доказывать теорему?

Можете пользоваться этим признаком при решении задач.