Методика работы над аксиомой

Методика работы над аксиомой

1. Мотивация

Планиметрия – это раздел геометрии, который изучает геометрические фигуры на плоскости.

С помощью чего в планиметрии мы связывали основные свойства точек и прямых?

Ответ: с помощью аксиом

В стереометрии тоже с помощью аксиом мы свяжем свойства точек, прямых и плоскостей. Для того, чтобы познакомится с первой аксиомой стереометрии, выполним ряд заданий.

1. Раскрытие содержания аксиомы

1Вариант: Задание:

1)Если мы возьмем две точки, сколько плоскостей мы можем провести?(для наглядности на доску

прикрепить 2 магнитика)

Ответ: бесконечное множество плоскостей можно провести через две точки.

2)Если точек будет 4, всегда ли через них будет проходить одна плоскость?

(если затрудняются ответить можно привести пример со столом: если ножки стола не одинаковые по длине, то стол будет опираться на 3 ножки, а четвертая будет висеть в воздухе. Тогда можно ли будет провести через эти 4 точки одну плоскость?)

Ответ: нет, нам понадобится две плоскости.

3)А если мы возьмем 3 точки? (прикрепить 3 магнита на доску и продемонстрировать их различные расположения в плоскости доски)

Ответ: через любые 3 точки проходит одна плоскость.

Если наши точки будут лежать на одной прямой, сколько плоскостей через них можно будет провести?

Ответ: бесконечное множество.

Поэтому точки обязательно не должны лежать на одной прямой.

2 Вариант: Практическая работа.

Цель: Установить соотношения, определяющие взаимное расположение точек, прямых и плоскостей в пространстве.

Инструктаж: Работа будет выполняться в тройках. На каждый стол выдаются карточки с заданиями. На выполнение заданий отводится 7-10 минут. В результате выполнения задания вам нужно сформулировать ваше предположение о том, каким должен быть ответ на поставленный в карточке вопрос.

Задание:

Карточка 1. (аксиома 1)

Исследовательская задача: С помощью моделей исследовать взаимное расположение точек и плоскости, выявить условие задания плоскости с помощью точек.

1. Сконструируйте модель (плоскость, точки). С помощью модели проверьте, каким может быть взаимное расположение точек и плоскости?

2. Используя модель, выясните, сколько точек достаточно выбрать, чтобы единственным образом задать плоскость? Каким должно быть их взаимное расположение?

3. Сделайте вывод о том, сколько, по вашему мнению точек нужно выбрать и как их расположить, чтобы через эти точки проходила единственная плоскость.

Учитель: Каким же может быть взаимное расположение точек и плоскости?

Ученики: точки могут лежать в плоскости, а могут и не лежать в плоскости.

Учитель: сколько точек достаточно выбрать, чтобы единственным образом задать плоскость?

Ученики: достаточно выбрать 3 точки.

Учитель: Каким должно быть их взаимное расположение?

Ученики: они не должны лежать на одной прямой.

Учитель: Верно, какой же вывод вы сделали, сколько, по вашему мнению точек нужно выбрать и как их расположить, чтобы через эти точки проходила единственная плоскость.

Ученики: Через любые 3 точки, не лежащие на 1 прямой, проходит плоскость и при том только одна.

Учитель: верно. Запишем полученную аксиому.

1. Формулировка аксиомы, работа над ее структурой

Записываем аксиому и делаем рисунок:

А1: «через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость и притом только одна».

1. Усвоение формулировки аксиомы

Сформулируем аксиому в виде «если..,то»:

Если даны любые три точки, не лежащие на одной прямой, то через них можно провести плоскость и притом только одну.

Если проведена единственная плоскость через 3 точки, то эти точки не лежат на одной прямой.

1. Решение задач по применению аксиомы

1. Три данные точки соединены попарно отрезками. Докажите, что все отрезки лежат в одной плоскости.

Решение:

Пусть нам даны три точки: А, В, и С. Нужно доказать, что отрезки АВ, ВС, СА лежат в одной плоскости (Рис. 7.).

Рис. 7.

Если точка С лежит на прямой АВ, то ответ очевиден. Предположим, что точка С не принадлежит прямой АВ. Тогда через три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна, в силу аксиомы 1. Обозначим эту плоскость 

Прямая АВ целиком лежит в плоскости  , потому что две ее точки лежат в этой плоскости. Но, значит, и отрезок АВ лежит в плоскости  .

Аналогично и с другими отрезками. Прямая ВС лежит в плоскости  , потому что две ее точки В и С лежат в плоскости , значит, и отрезок ВС лежит в плоскости  .

И аналогично, отрезок АС лежит в плоскости  . Что и требовалось доказать.