Методическая разработка факультативного занятия по математике "Способы решения иррациональных уравнений"

 Цели и задачи: систематизировать, расширить и углубить знания и умения учащихся в применении различных методов при решении иррациональных уравнений; формировать навыки анализа полученной информации.

 Иррациональные уравнения часто встречаются в заданиях ЕГЭ по математике, т. к. с их помощью легко диагностируются знания выпускником таких понятий как область определения и равносильные преобразования.

 Определение: уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня, называются иррациональными.

 Решить уравнение – это значит найти все такие значения переменной, при подстановке которых в уравнение оно превращается в верное равенство, либо доказать, что таких значений переменной не существует.

Весь материал - смотрите документ.

Факультативное занятие по математике в 11 классе по теме

«Способы решения иррациональных уравнений»

Цели и задачи: систематизировать, расширить и углубить знания и умения учащихся в применении различных методов при решении иррациональных уравнений; формировать навыки анализа полученной информации.

Иррациональные уравнения часто встречаются в заданиях ЕГЭ по математике, т.к. с их помощью легко диагностируются знания выпускником таких понятий как область определения и равносильные преобразования.

Определение: уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня, называются иррациональными.

Решить уравнение – это значит найти все такие значения переменной, при подстановке которых в уравнение оно превращается в верное равенство, либо доказать, что таких значений переменной не существует.

1). Решите уравнения:

а) , х – 3 = 4, х = 7. Ответ: 7

б) , х + 2 = 25, х = 23. Ответ: 23

в) , 1 – х = 1, х = 0. Ответ: 0

Вывод 1. Решение иррациональных уравнений сводится к переходу от иррационального уравнения к рациональному путем возведения в степень обеих частей уравнения.

2). Решите уравнения:

а)

х – 2 = (х – 8)²

х – 2 = х² - 16х + 64

х² – 17х + 66 = 0

х₁ = 6

х₂ = 11

Рассмотрим верное равенство 16 – 36 = 25 – 45.

К обеим частям этого равенства прибавим дробь

16 – 36 + = 25 – 45 +.

Выполним преобразования

4² – 2 ∙ 4 ∙ + ()² = 5² – 2 ∙ 5 ∙ + ()²

(4 - )² = (5 - )²

Извлекая из обеих частей равенства квадратный корень, получим

4 - = 5 - , 4 = 5, т.е. 2 ∙ 2 = 5.

Найдите и объясните ошибку.

А ошибка заключается в том, что из того, что (4 - )² = (5 - )² был сделан вывод, что 4 - = 5 - .

Этот случай должен предостеречь учащихся от неосмотрительных операций с уравнениями, содержащими переменную под знаком корня.

Вывод 2. При возведении обеих частей уравнения в четную степень возможно появление посторонних корней. Поэтому, при и использовании указанного метода, следует проверить все найденные корни подстановкой в исходное уравнение.

Вернемся к уравнению 2а. Проверка:

если х = 6, то , (ложь).

если х = 11, то , (истина)

Ответ: х = 11.

б) ,

в) .

3).Решите уравнения:

а)

Возведя в квадрат обе части данного равенства и решив квадратное уравнение, имеем

х_{1 =}

х_{2 =} -

Проверка: если х = _, то

Справедливость этого равенства неочевидна.

Вывод 3.Уравнения вида можно решать, используя определение арифметического квадратного корня:

В(х) ≥ 0,

А(х) =( В(х))²

Вернемся к уравнению 3а:

х – 1 ≥ 0 х ≥ 1

7 – 2х – х² = (х – 1)² х_{1 =} х_{1 =}

х_{2 =} -

Ответ: .

б)

в)

4).Решите уравнения:

а) =

Иррациональные уравнения вида следует решать с помощью равносильного перехода

А(х) = В(х)

А(х) ≥ 0

Заметим, что в этой системе можно проверять любое из неравенств: А(х) ≥ 0 или В(х) ≥ 0, т.е. следует проверять то, которое в данной задаче проще.

Вернемся к уравнению 4а:

= х + 2 = 2х – 5 х = 7 х = 7

х + 2 ≥ 0 х ≥ - 2

Ответ: х = 7

б)

в)

5). Эффективным способом решения иррациональных уравнений является метод введения вспомогательного неизвестного или метод замены переменной. Метод применяется в случае, когда в уравнении неоднократно встречается некоторое выражение, зависящее от неизвестной величины. Тогда имеет смысл это выражение обозначить новой переменной и решить уравнение сначала относительно введенной переменной, а затем уж найти исходную неизвестную.

Решить уравнение:

2х² + 3х + .

При замене 2х²+3х на а уравнение упрощается, но остается иррациональным. Намного лучше в качестве новой переменной выбрать а = , а ≥ 0, тогда 2х² + 3х + 9 = а², 2х² + 3х = а² – 9.

По условию а² – 9 + а = 33

а² + а – 42 = 0

а₁ = - 7

а₂ = 6.

а = - 7 не удовлетворяет условию а ≥ 0,

если а = 6, то 2х² + 3х + 9 = 36

2х² + 3х - 27 = 0

х₁ = -

х₂ = 3.

Ответ: -; 3.

6). Если иррациональное уравнение не относится ни к одному из рассмотренных видов, то нужно с помощью различных алгебраических преобразований привести его к одному из этих видов. Обычно для этого используют метод «уединения радикалов» и возведение в степень.

а)

б)

в)