Математика 1 курс СПО "Одночлены, многочлены и арифметические действия над ними"

Одночлены и многочлены и алгебраические действия над ними

Перминова Е.В.

Преподаватель ГАПОУ СО «СОПК»

09/22/2021

Одночлены

Одночлен — это произведение чисел, переменных и степеней.

Приведём примеры одночленов:

09/22/2021

Одночлены

Одночленом также является любое отдельное число, любая переменная или любая степень.

Например, число 9 является одночленом, переменная  x  является одночленом, степень  5 2  является одночленом.

09/22/2021

Приведение одночлена к стандартному виду

• Приведём одночлен  3a 2 5a 3 b 2  к стандартному виду.
• В одночлене содержатся числа 3 и 5 . Перемножим их, получим число 15 .
• В одночлене  3a 2 5a 3 b 2  содержатся степени  a 2  и  a 3 , которые имеют одинаковое основание  a . Перемножение степеней  a 2  и  a 3  и в результате  a 5 . Записываем  15a 5
• Далее в одночлене  3a 2 5a 3 b 2  содержится степень  b 2 , она остаётся без изменений. Записываем 15a 5 b 2
• Мы привели одночлен  3a 2 5a 3 b 2  к стандартному виду.
• 3a 2 5a 3 b 2  = 15a 5 b 2

Правило

Приведение одночлена к стандартному виду заключается в перемножении однотипных сомножителей, входящих в этот одночлен.

То есть числа нужно перемножать с числами, переменные с переменными, степени со степенями. В результате этих действий получается упрощённый одночлен, который тождественно равен предыдущему.

09/22/2021

Сложение и вычитание одночленов

Чтобы сложить (вычесть) одночлены, нужно сложить (вычесть) их коэффициенты, а буквенную часть оставить без изменений.

Примеры

1.

Сложим коэффициенты 6 и 2 , а буквенную часть оставим без изменений

2. Из коэффициента первого одночлена вычесть коэффициент второго одночлена, а буквенную часть оставить без изменения:

09/22/2021

Умножение одночленов

Чтобы перемножить одночлены, нужно перемножить их числовые и буквенные части.

Примеры

• Перемножить одночлены 5x и 8y

Перемножим числовые и буквенные части по отдельности. Для удобства перемножаемые сомножители будем заключать в скобки:

• Перемножить одночлены −5a2bc и 2a2b4

09/22/2021

Деление одночленов

Для этого нужно коэффициент первого одночлена разделить на коэффициент второго одночлена, а буквенную часть первого одночлена разделить на буквенную часть второго одночлена. При этом используется правило деления степеней.

пример

• разделим одночлен на одночлен .

• Разделим коэффициент делимого на коэффициент делителя, получим 8 : 4 = 2.
• Теперь делим буквенную часть. В делимом содержится , в делителе — просто и получаем .
• Далее в делимом содержится , в делителе — просто и получаем b.

делимое

делитель

09/22/2021

Деление одночленов

В некоторых дробях, если невозможно выполнить деление, бывает возможным выполнить сокращение. Делается это с целью упростить выражение.

пример

• Напомним, что сокращение дроби это деление числителя и знаменателя на одно и то же число (в нашем случае на одночлен ). В результате сокращения дробь становится проще, но её значение не меняется:

Или

09/22/2021

Приведите одночлен к стандартному виду.

Домашнее задание

09/22/2021

Выполните умножение

Домашнее задание

09/22/2021

Выполните деление

Домашнее задание

09/22/2021

Определение многочлена

Многочлен — это сумма одночленов .

Примеры

• Одночлены, из которых состоит многочлен, называют  членами многочлена .
• Если многочлен состоит из двух членов, то такой многочлен называют  двучленом ..
• Если многочлен состоит из трёх членов, то такой многочлен называют  трехчленом .
• Если какой-нибудь многочлен содержит обычное число, то это число называют  свободным членом многочлена .

• Выражение  

является многочленом. Проще говоря, многочлен это несколько одночленов, соединенных знаком «плюс».

• Многочлен  является двучленом
• Многочлен  является трехчленом.
• Многочлене  член  является свободным членом. Свободный член многочлена не содержит буквенной части.

09/22/2021

Сложение многочленов

К многочлену можно прибавить другой многочлен. Например , прибавим к многочлену 2 x  +  y  многочлен 3 x  +  y .

Разрешается также сложение многочленов в столбик. Для этого их следует записать так, чтобы подобные слагаемые располагались друг под другом, затем выполнить самó сложение. Решим предыдущий пример в столбик:

Заключим в скобки каждый многочлен и соединим их знаком «плюс», указывая тем самым, что мы складываем многочлены:

(2 x  +  y ) + (3 x  +  y )

Теперь раскрываем скобки:

2 x  +  y  + 3 x  +  y

Далее приведём подобные слагаемые:

2 x  +  y  + 3 x  +  y  = 5 x  + 2 y

Таким образом, при сложении многочленов 2 x  +  y  и 3 x  +  y  получается многочлен 5 x +  2 y.

09/22/2021

Сложение многочленов

Если в одном из многочленов окажется слагаемое, которое не имеет подобного слагаемого в другом многочлене, оно переносится к результату без изменений. Как говорят при сложении обычных чисел — «сносится».

Пример

09/22/2021

Вычитание многочленов

Из многочлена можно вычесть другой многочлен.

Например, вычтем из многочлена 

  многочлен .

Заключим в скобки каждый многочлен и соединим их знаком «минус», указывая тем самым, что мы выполняем вычитание:

Теперь раскроем скобки:

Приведём подобные слагаемые

Вычеркнем члены и :

Или без сложения, записав члены друг за другом:

09/22/2021

Вычитание многочленов

Вычесть из многочлена  

многочлен 

Решим этот пример с помощью вычисления в столбик:

Следует быть внимательным при вычитании в столбик. Если не следить за знаками, вероятность допустить ошибку очень высокá. Нужно учитывать не только знак операции вычитания, но и знак располагающийся перед слагаемым.

09/22/2021

Представление многочлена в виде суммы или разности

Многочлен можно представить в виде суммы или разности многочленов. По сути это обратное действие раскрытию скобок, поскольку идея подразумевает, что имеется некий многочлен, и из него можно образовать сумму или разность многочленов, заключив в скобки некоторые из членов исходного многочлена.

Пример

заключим в скобки члены и , а также члены и

В скобки также можно было бы заключить члены , , и прибавить это выражение в скобках к члену

09/22/2021

Представление многочлена в виде суммы или разности

• Если перед скобками ставится знак «плюс», то все члены внутри скобок записываются со своими же знаками.

• Если перед скобками ставится знак «минус», то все члены внутри скобок записываются с противоположными знаками.

09/22/2021

Многочлен и его стандартный вид

• Чтобы привести многочлен к стандартному виду, нужно привести подобные слагаемые в этом многочлене. Подобные слагаемые в многочлене называют  подобными членами многочлена , а приведение подобных слагаемых в многочлене —  приведением его подобных членов .

• Подобные члены многочлена это члены, имеющие одинаковую буквенную часть .

В результате получили многочлен , который не имеет подобных членов. Такой вид многочлена называют  многочленом стандартного вида .

09/22/2021

Многочлен и его стандартный вид

Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней, входящих в него одночленов.

Пример

В некоторых многочленах прежде всего требуется привести к стандартному виду одночлены, входящие в него, и только потом приводить сам многочлен к стандартному виду.

09/22/2021

Умножение одночлена на многочлен

Пример

Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно этот одночлен умножить на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

Умножение одночлена на многочлен (или умножение многочлена на одночлен) основано на распределительном законе умножения.

09/22/2021

Умножение многочлена на многочлен

Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена и полученные произведения сложить.

Пример

09/22/2021

Вынесение общего множителя за скобки

Вынесение общего числового множителя за скобки можно выполнить, если найти  наибольший общий делитель  (НОД) модулей коэффициентов исходных членов

Пример

А буквенную часть общего множителя выбирают так, чтобы члены в скобках не имели общих буквенных множителей

09/22/2021

Выполнить сложение

• 8 a  + (3 b  + 5 a )
• (8 x  + 11) + (7 x  + 5)

Домашнее задание

09/22/2021

Выполнить вычитание

• 8 a  - (3 b  + 5 a )
• -
• (8 x  + 11) - (7 x  + 5)

Домашнее задание

• -
• -

09/22/2021

Приведите многочлен к стандартному виду

Домашнее задание

09/22/2021

Упростите следующее выражение

Домашнее задание

09/22/2021

Выполнить задание

• Представьте многочлен 

Домашнее задание

5 a 2  − 2 a  − 3 ab + b 2  в виде суммы двух слагаемых, одно из которых 5 a² −  2 a

• Не изменяя значения выражения 2 a 3   − 3 a 2 b  + 3 ab 2  − b 3 , заключите его в скобки, поставив перед скобками знак (−)

• В многочлене 

2 x 3  + 5 x 2 y  − 4 xy 2  − y 3  заключить крайние члены в скобки со знаком плюс (+) перед ними, а средние члены заключить в скобки со знаком минус (−) перед ними.

• Представьте трёхчлен 2 a − b  + 4 в виде разности двух выражений с уменьшаемым 2 a

09/22/2021

Выполните умножение одночлена на многочлен

Домашнее задание

09/22/2021

Выполните умножение многочлена на многочлен

Домашнее задание

09/22/2021

В вынесите общий множитель за скобки

• 6 a  + 12
• x 3  − x 2
•   x 4  −  x 2  
• a 3 b 2  + a 2 b 3

Домашнее задание

• 5 mn  − 5 m
• 3 x 2  − 6 x 3
•   x 2 y − xy 2
• a 8 b 2  + ab 4