Материал по математике "Окружность, опи­сан­ная вокруг треугольника"

Существует теорема о том, что около каждого треугольника можно описать окружность, притом только одну. Докажем ее.

Пусть дан треугольник, к сторонам которого проведены срединные перпендикуляры.

Как известно, срединные перпендикуляры треугольника всегда пересекаются в одной точке, и эта точка равноудалена от вершин треугольника.

Значит, расстояние от точки пересечения срединных перпендикуляров до любой из вершин треугольника одно и то же, что может послужить радиусом одной окружности.

И на этой окружности будут лежать вершины треугольника. Таким образом, она окажется описанной около него.

1. В тре­уголь­ни­ке ABC AC=4, BC=3, угол С=90^o

Най­ди­те ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти этого тре­уголь­ни­ка.

2. Точки A, B, C рас­по­ло­жен­ные на окруж­но­сти, делят ее на три дуги, гра­дус­ные ве­ли­чи­ны ко­то­рых от­но­сят­ся как 1:3:5. Най­ди­те боль­ший угол тре­уголь­ни­ка ABC. Ответ дайте в гра­ду­сах.

3. Сто­ро­на пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка равна (3)^1/2. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около этого тре­уголь­ни­ка.

4. Ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка, равен (3)^1/2. Най­ди­те сто­ро­ну этого тре­уголь­ни­ка.

Весь материал - в документе.

Окружность, опи­сан­ная вокруг треугольника

1. В тре­уголь­ни­ке ABC , , угол C равен . Най­ди­те ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти этого тре­уголь­ни­ка.

2. Точки , , , рас­по­ло­жен­ные на окруж­но­сти, делят ее на три дуги, гра­дус­ные ве­ли­чи­ны ко­то­рых от­но­сят­ся как . Най­ди­те боль­ший угол тре­уголь­ни­ка . Ответ дайте в гра­ду­сах.

3. Сто­ро­на пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка равна . Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около этого тре­уголь­ни­ка.

4. Ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка, равен . Най­ди­те сто­ро­ну этого тре­уголь­ни­ка.

5. В тре­уголь­ни­ке , , угол равен 90°. Най­ди­те ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти этого тре­уголь­ни­ка.

6. В тре­уголь­ни­ке , угол равен 90°. Ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти этого тре­уголь­ни­ка равен 5. Най­ди­те .

7. Бо­ко­вая сто­ро­на рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равна 1, угол при вер­ши­не, про­ти­во­ле­жа­щей ос­но­ва­нию, равен . Най­ди­те диа­метр опи­сан­ной окруж­но­сти этого тре­уголь­ни­ка.

8. Сто­ро­на тре­уголь­ни­ка равна 1. Про­ти­во­ле­жа­щий ей угол равен . Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около этого тре­уголь­ни­ка.

9. Одна сто­ро­на тре­уголь­ни­ка равна ра­ди­у­су опи­сан­ной окруж­но­сти. Най­ди­те угол тре­уголь­ни­ка, про­ти­во­ле­жа­щий этой сто­ро­не. Ответ дайте в гра­ду­сах

10. Угол тре­уголь­ни­ка , впи­сан­но­го в окруж­ность ра­ди­у­са 3, равен . Най­ди­те сто­ро­ну этого тре­уголь­ни­ка.

11. Сто­ро­на тре­уголь­ни­ка равна 1. Про­ти­во­ле­жа­щий ей угол равен . Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около этого тре­уголь­ни­ка.

12. Пусть тупым яв­ля­ет­ся угол C, тогда сто­ро­на AB ту­по­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC равна ра­ди­у­су опи­сан­ной около него окруж­но­сти. Най­ди­те угол C. Ответ дайте в гра­ду­сах.

13. Бо­ко­вые сто­ро­ны рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равны 40, ос­но­ва­ние равно 48. Най­ди­те ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти этого тре­уголь­ни­ка.

14. Точки A, B, C, рас­по­ло­жен­ные на окруж­но­сти, делят ее на три дуги, гра­дус­ные ве­ли­чи­ны ко­то­рых от­но­сят­ся как . Най­ди­те боль­ший угол тре­уголь­ни­ка ABC. Ответ дайте в гра­ду­сах.

15. Точки A, B, C, рас­по­ло­жен­ные на окруж­но­сти, делят ее на три дуги, гра­дус­ные ве­ли­чи­ны ко­то­рых от­но­сят­ся как . Най­ди­те боль­ший угол тре­уголь­ни­ка ABC. Ответ дайте в гра­ду­сах.

16. Сто­ро­на пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка равна . Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около этого тре­уголь­ни­ка.

17. Сто­ро­на пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка равна . Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около этого тре­уголь­ни­ка.

18. Ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка, равен . Най­ди­те сто­ро­ну этого тре­уголь­ни­ка.

19. Ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка, равен . Най­ди­те сто­ро­ну этого тре­уголь­ни­ка.

20. В тре­уголь­ни­ке ABC , угол C равен 90°. Ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти этого тре­уголь­ни­ка равен 20. Най­ди­те AC.

21. Бо­ко­вая сто­ро­на рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равна 7, угол при вер­ши­не, про­ти­во­ле­жа­щей ос­но­ва­нию, равен . Най­ди­те диа­метр опи­сан­ной окруж­но­сти этого тре­уголь­ни­ка.

22. Сто­ро­на AB тре­уголь­ни­ка ABC равна 40. Про­ти­во­ле­жа­щий ей угол C равен . Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около этого тре­уголь­ни­ка.

23. Угол C тре­уголь­ни­ка ABC, впи­сан­но­го в окруж­ность ра­ди­у­са 36, равен . Най­ди­те сто­ро­ну AB этого тре­уголь­ни­ка.

24. Сто­ро­на AB тре­уголь­ни­ка ABC равна 7. Про­ти­во­ле­жа­щий ей угол C равен . Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около этого тре­уголь­ни­ка.

25. Бо­ко­вые сто­ро­ны рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равны 104, ос­но­ва­ние равно 192. Най­ди­те ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти этого тре­уголь­ни­ка.

26. Цен­траль­ный угол окруж­но­сти на боль­ше впи­сан­но­го угла, опи­ра­ю­ще­го­ся на ту же дугу дан­ной окруж­но­сти. Най­ди­те цен­траль­ный угол. Ответ дайте в гра­ду­сах.

27. Впи­сан­ный угол окруж­но­сти на мень­ше цен­траль­но­го угла, опи­ра­ю­ще­го­ся на ту же дугу дан­ной окруж­но­сти. Най­ди­те впи­сан­ный угол. Ответ дайте в гра­ду­сах.

28. Впи­сан­ный угол окруж­но­сти на 42° мень­ше цен­траль­но­го угла, опи­ра­ю­ще­го­ся на ту же дугу дан­ной окруж­но­сти. Най­ди­те впи­сан­ный угол. Ответ дайте в гра­ду­сах.

29. На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 × 1 изоб­ражён впи­сан­ный в окруж­ность угол ABC. Най­ди­те его гра­дус­ную ве­ли­чи­ну.

30. Най­ди­те впи­сан­ный угол ABC, опи­ра­ю­щий­ся на дугу AC, длина ко­то­рой равна длины окруж­но­сти. Ответ дайте в гра­ду­сах.