Введение

Мы не можем представить себе вещь, существующую вне трёх пространственных измерений и одномерной временной протяжённости. Может быть после соответствующей тренировки, когда в результате эволюции ум человеческий превратится в более мощный инструмент, мы и смогли бы научиться мыслить в четырёх пространственных измерениях. Сейчас мы этого не умеем. Мы смотрим на мир сквозь пространственно-временные очки, одно стекло которых позволяет нам воспринять одномерное время, другое – трёхмерное пространство. Мы не можем представить себе мысленно образ гиперкуба или какой-нибудь другой четырёхмерной структуры. (М. Гарднер "Этот правый, левый мир")

Гиперкуб

Первый шаг в четвертое измерение

В первой работе И. Канта "Размышления об истинной оценке живых сил" (1747) можно найти замечательные мысли, предвосхитившие появление n-мерной геометрии.

"Почему, – спрашивает он, – наше пространство трёхмерно?" И заключает, что это должно быть как-то связано с тем, что такие силы, как тяготение, распространяются из начальной точки подобно расширяющимся сферам.

"Наука о всевозможных пространствах такого рода (пространствах с числом измерений больше трёх) будет, несомненно, высшим усилием, которое наш ограниченный разум может предпринять в области геометрии".

В "Истории Плэттнера" великий фантаст Герберт Уэллс таинственным образом

забрасывает учителя химии по имени Готтшок Плэттнер прямо в четырёхмерное пространство. После девяти дней пребывания в четырёхмерном мире Плэттнер возвращается в привычный евклидовый трёхмерный мир.

Учения о многомерных пространствах начали появляться в середине XIX века в работах Г. Грассмана, А. Кэли, Б. Римана, В. Клиффорда, Л. Шлефли и других математиков. В начале XX века с появлением теории относительности А. Эйнштейна и идей Г. Минковского в физике стали использовать четырехмерную пространственно-временную систему координат.

Потом идею четырехмерного пространства у ученых позаимствовали фантасты. В своих произведениях они поведали миру об удивительных чудесах четвертого измерения. Герои их произведений, используя свойства четырехмерного пространства, могли съесть содержимое яйца, не повредив скорлупы, выпить напиток, не вскрывая пробку бутылки. Похитители извлекали сокровища из сейфа через четвертое измерение. Звенья цепи легко можно рассоединить, а узел на веревке развязать, не прикасаясь к ее концам. Хирурги выполняли операции над внутренними органами, не разрезая ткани тела пациента. Мистики поместили души усопших в четвертое измерение. Для обычного человека идея четырехмерного пространства осталась непонятной и таинственной, а многие вообще считают четырехмерное пространство плодом воображения ученых и фантастов, не имеющего никакого отношения к реальности.

Цель: систематизировать теоретические знания о фигуре четырехмерного пространства и создать слайд-фильм.

Гипотеза: если четырехмерное пространство существует, то в этом пространстве можно представить геометрические фигуры и предположить их практическое применение.

Объект: теоретические знания научно-популярной литературы и материалы Интернета.

Предмет: фигура четырехмерного пространства.

Для реализации этой цели мы поставили себе следующие задачи:

1. Сбор и последующее изучение исторических сведений, материалов.

2. Изучение теоретических основ, определений и сопутствующих понятий по данной теме.

3. Поиск и изучение практического применения материалов темы.

4. Создание слайд-фильма.

и использовали методы:

1. Теоретический анализ источников.

2. Анализ и синтез.

3. Абстрагирование.

4. Обобщение.

В ходе нашей работы мы:

1. Изучили научно-популярную литературу и материалы Интернета по данной теме.

2. Осуществили обзорный анализ изученного материала.

3. На основе полученного материала создали слайд-фильм.

Проблема восприятия

Знаменитый немецкий физик и физиолог Гельмгольц утверждал, что способность видеть четырехмерные фигуры присуща человеку. Необходимо лишь снабдить мозг надлежащими “входными данными”. К сожалению, наш повседневный опыт ограничен трехмерным пространством и в нашем распоряжении нет никаких научных данных, которые позволяли бы утверждать, что четырехмерное пространство действительно существует. (Четырехмерное евклидово пространство не следует смешивать с четырехмерным неевклидовым пространством-временем теории относительности, в котором роль четвертой координаты играет время.) Тем не менее при надлежащей тренировке человек мог бы развить в себе способность наглядно представлять четырехмерный гиперкуб (тессеракт). “Человеку, который посвятил бы этой задаче всю жизнь, — писал Анри Пуанкаре, — вероятно, удалось бы мысленно представить себе четвертое измерение”. Чарлз Говард Хинтон, эксцентричный американский математик, некогда преподававший в Принстонском университете и написавший популярную книгу “Четвертое измерение”, разработал особую систему, которая позволяет складывать из разноцветных кубиков трехмерные модели различных сечений четырехмерного гиперкуба. Хинтон полагал, что человек, достаточно долго игравший его “игрушкой”, в конце концов обретет интуитивное представление о четырехмерном пространстве “Я не могу утверждать этого со всей определенностью, — писал он, — ибо мне не хотелось бы быть причиной напрасной траты времени другими людьми в том случае, если я ошибаюсь (что отнюдь не исключено). Что же касается меня лично, то я считаю, что мне удалось развить зачатки четырехмерной интуиции…”

Разноцветные кубики Хинтона слишком сложны, чтобы их можно было описать или объяснить их устройство здесь (свою систему тренировки четырехмерной интуиции Хинтон подробно изложил в специальной книге, вышедшей в 1910 г. под названием “Новая эра мышления”). Однако ничто не мешает нам, изучая простейшие свойства четырехмерного гиперкуба, сделать первые шаги к той чудесной способности видения четырехмерных фигур, которую начал ощущать в себе Хинтон.

Определение гиперкуба

Гиперкубом называется правильный политоп, ячейкой которого является куб.

Политоп – это четырехмерная фигура, граница которой состоит из многогранников. Аналогом ячейки политопа является грань многогранника. Гиперкуб является аналогом трехмерного куба. Эта фигура также известная под названием тессеракт (tesseract).

Согласно Окфордскому словарю английского языка, слово "tesseract" было придумано в 1888 Чарльзом Говардом Хинтоном (Charles Howard Hinton) и использовано в его книге "Новая эра мысли" ("A New Era of Thought"). Слово было образовано от греческого "τεσσερες ακτινες" ("четыре луча"), имеется в виде четыре оси координат. Кроме этого, в некоторых источниках, эту же фигуру называли тетракубом (tetracube).

Построение гиперкуба

Возьмем точку и сдвинем ее вдоль прямой на расстояние, равное единице Каждую точку единичного отрезка можно “занумеровать”, поставив ей в соответствие число, заключенное между 0 и 1. Сдвинем теперь единичный отрезок на единичное расстояние в направлении, перпендикулярном прямой, на которой лежит сам отрезок Единичный отрезок опишет при этом (“заметет”) единичный квадрат. Обозначим одну из вершин квадрата 0, а концы его сторон, пересекающихся в “нулевой” вершине, — 1. Введя таким образом систему координат х и у, мы можем поставить в соответствие каждой точке квадрата упорядоченную пару чисел — ее координаты. Следующий этап построения гиперкуба так же ясен, как и предыдущие: сдвинем единичный квадрат на расстояние, равное единице, в направлении, перпендикулярном осям х и у), и получим единичный куб. Выбрав за оси х, у и z три ребра, сходящихся в одной из вершин куба, поставим в соответствие точкам куба упорядоченные тройки чисел — координаты х, у, z точек.

Хотя наше геометрическое воображение на следующем этапе построения гиперкуба становится бессильным, логически ничто не мешает нам сдвинуть единичный куб на расстояние, равное единице, в направлении, перпендикулярном всем трем осям: х, у и z. Фигура, которая получится в результате сдвига, и будет единичным гиперкубом. В каждой из вершин гиперкуба сходятся по 4 взаимно перпендикулярных ребра. Выбрав любую из вершин гиперкуба за начало координат, а сходящиеся в ней ребра — за оси координат w, х, у, z, мы сможем поставить в соответствие каждой точке гиперкуба упорядоченную четверку чисел. Аналитическая геометрия позволяет обращаться с этими упорядоченными четверками чисел так же, как обращаются с упорядоченными парами чисел в планиметрии или с упорядоченными тройками чисел в геометрии трехмерного пространства. Более того, евклидову геометрию точно таким же образом можно обобщить на случай пространства любого целого и положительного числа измерений. При каждом п пространство будет евклидовым, хотя его топологические свойства при переходе от одного п к другому будут изменяться.