Материал к уроку математики "Задачи на совместную работу"

При решении текстовых задач на совместную работу основными компонентами являются: а) работа; б) время; в) производительность труда (работа, выполненная в единицу времени). Обычно при решении задач этого типа всю работу, которую необходимо выполнить, принимают за 1. Далее находят производительность труда каждого рабочего в отдельности, т. е. 1/t, где t - время, за которое указанный рабочий может выполнить всю работу, работая отдельно.

При таком подходе к решению задач на совместную работу у учеников начинаются сложности, связанные с непониманием смысла обозначения всей работы единицей, так как в реальной жизненной ситуации любая работа имеет некоторый объем, выраженный конкретным числом, обычно отличным от единицы. Условное принятие всей работы за 1 не способствует глубокому пониманию практического смысла задачи. Сомнение у детей вызывает и тот факт, что при этом производительность труда оказывается в их представлении дробным числом, меньшим единицы, потому что, как правило, время больше 1.

Чтобы избежать таких проблем при решении задач такого рода, можно предложить обозначить всю работу какой - либо постоянной А, отличной от 1. Тогда производительность будет равна А/t. Этот путь немного длиннее, но ребятам он более понятен, потому что выражает реальный смысл задачи. А в конце задачи введенная вспомогательная величина для работы уничтожится.

Покажем это на примере одной задачи, приведенной в книге В. С. Крамора "Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа".

Задача 1. Две бригады, работая вместе, должны отремонтировать заданный участок шоссейной дороги за 18 дней. В действительности же получилось так, что сначала работала только одна бригада, а заканчивала ремонт участка дороги вторая, производительность которой более высокая, чем у первой бригады. В результате ремонт заданного участка дороги продолжался 40 дней, причем первая бригада в свое рабочее время выполнила 2/3 всей работы. За сколько дней был бы отремонтирован участок дороги каждой бригадой отдельно?

Решение.

1. Пусть вся работа может быть выполнена первой бригадой за х дней, а второй - за y дней.

2. Принимая работу за 1, ученики столкнутся со смысловой некорректностью, которая заключается в следующем: производительность труда первой бригады будет равна 1/х, а второй - 1/y. Возникает вопрос: в каких единицах измерить производительность? В дорогах на день? Очевидно нарушение физического смысла задачи.

3. Поэтому целесообразно обозначить всю работу (длину участка дороги) некоторой величиной А, измеряемой в километрах. Тогда производительность труда первой бригады равна А/х км/день, второй бригады - A/y км/день.

4. Составляем уравнение А/х. 18 + А/y. 18 = А. В дальнейшем введенная величина А, как видно, сокращается, но она несет при решении задачи важную смысловую нагрузку.

Окончательное решение задачи достаточно несложное, и приводить его нет необходимости.

Иногда такой же подход, то есть принятие чего - либо за единицу, используется для обозначения производительности труда.

Рассмотрим более подробно решение задачи, предложенной в учебном пособии для 10 - го класса И. Ф. Шарыгина "Факультативный курс по математике: Решение задач".

Задача 2. Две бригады землекопов вырыли по одинаковому котловану. Вторая бригада работала на полчаса больше первой. Если бы в первой бригаде было на 5 человек больше, то она могла бы закончить работу на 2 часа раньше. Определить число землекопов в каждой бригаде, если производительность у всех одинакова.

В указанном пособии предложено следующее решение задачи: неизвестные: х - количество землекопов первой бригады, y - второй бригады, t - время работы первой бригады. В этой задаче за 1 принимается производительность труда каждого землекопа.

Из условия задачи следует:

xt = y(t + 1/2),

xt = (x + 5)(t - 2).

Выражая t через x и y из одного уравнения и подставляя в другое, получим после упрощений:

4x2 - 4xy + 20x - 25y = 0.

При этом x и y - натуральные числа. Выразим y через x:

y = 4x2 + 20x/4x + 25 = x - 5/4 + 125/4(4x+25). Умножив последнее равенство на 4, получим: 4y = 4x - 5+ 125/(4x+25). Из того, что x и y - натуральные числа, следует, что 4x + 25 является делителем 125. Значит, 4x+25=125. Отсюда следует, что x=25, y=24.

Нужно заметить, что данная задача является нестандартной, и поэтому предложенный способ решения достаточно сложный для понимания всех школьников. Составленные уравнения, в которых количество землекопов умножается с временем, вызывают некоторое недоумение у детей, и учителю необходимо приложить большое усилие, чтобы объяснить им целесообразность таких действий.

Предложим другой способ решения этой задачи.

1. Пусть объем всей работы (объем котлована) равен А куб. м.

2. Количество землекопов в первой бригаде - x человек, во второй бригаде - y человек.

3. Производительность труда одного землекопа равна B.

4. Первая бригада за час выполнит Bx часть всей работы, а вторая бригада - By.

5. Первая бригада потратит на всю работу A/Bx часов, вторая бригада - A/By часов.

По условию A/By - A/Bx = 1/2. (1)

6. Если бы в первой бригаде было на 5 человек больше, то она на всю работу потратила бы A/B(x+5) часов. Получаем еще одно уравнение A/Bx - A/B(x+5) = 2. (2) Умножив обе части уравнения (1) на 4, приравняем левые части уравнений (1) и (2). Получим равенство 4A/By - 4A/Bx = A/Bx - A/B(x+5). Вспомогательные переменные A и B в этом уравнении сокращаются, и получим уравнение 4/y = 5/x - 1/x + 5, которое решим способом выделения целой части дроби и учитывая, что x и y натуральные числа.

4/y = 5x + 25 - x/x(x + 5), 4/y = 4x + 25/x2 + 5x, y/4=x2 + 5x/4x + 25, y = 4(x2 + 5x)/4x + 25, y=4x2 + 25x - 5x/4x + 25, y=x - 5x/4x + 25. Отсюда следует, что x=25, y=24.

При таком способе решения ученикам легко следить за ходом рассуждений, за составлением уравнений. Понятен им и физический смысл задачи, а это является важным моментом обучения детей решению задач, потому что если учащийся не поймет реальный смысл задачи, связь ее с практикой, то ему будет трудно понять и решение.

Как решать задачи на совместную работу

При решении текстовых задач на совместную работу основными компонентами являются: а) работа; б) время; в) производительность труда (работа, выполненная в единицу времени). Обычно при решении задач этого типа всю работу, которую необходимо выполнить, принимают за 1. Далее находят производительность труда каждого рабочего в отдельности, т.е. 1/t, где t - время, за которое указанный рабочий может выполнить всю работу, работая отдельно.

При таком подходе к решению задач на совместную работу у учеников начинаются сложности, связанные с непониманием смысла обозначения всей работы единицей, так как в реальной жизненной ситуации любая работа имеет некоторый объем, выраженный конкретным числом, обычно отличным от единицы. Условное принятие всей работы за 1 не способствует глубокому пониманию практического смысла задачи. Сомнение у детей вызывает и тот факт, что при этом производительность труда оказывается в их представлении дробным числом, меньшим единицы, потому что, как правило, время больше 1.

Чтобы избежать таких проблем при решении задач такого рода, можно предложить обозначить всю работу какой-либо постоянной А, отличной от 1. Тогда производительность будет равна А/t. Этот путь немного длиннее, но ребятам он более понятен, потому что выражает реальный смысл задачи. А в конце задачи введенная вспомогательная величина для работы уничтожится.

Покажем это на примере одной задачи, приведенной в книге В.С.Крамора "Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа".

Задача 1. Две бригады, работая вместе, должны отремонтировать заданный участок шоссейной дороги за 18 дней. В действительности же получилось так, что сначала работала только одна бригада, а заканчивала ремонт участка дороги вторая, производительность которой более высокая, чем у первой бригады. В результате ремонт заданного участка дороги продолжался 40 дней, причем первая бригада в свое рабочее время выполнила 2/3 всей работы. За сколько дней был бы отремонтирован участок дороги каждой бригадой отдельно?

Решение. 1. Пусть вся работа может быть выполнена первой бригадой за х дней, а второй - за y дней.

2. Принимая работу за 1, ученики столкнутся со смысловой некорректностью, которая заключается в следующем: производительность труда первой бригады будет равна 1/х, а второй - 1/y. Возникает вопрос: в каких единицах измерить производительность? В дорогах на день? Очевидно нарушение физического смысла задачи.

3. Поэтому целесообразно обозначить всю работу (длину участка дороги) некоторой величиной А, измеряемой в километрах. Тогда производительность труда первой бригады равна А/х км/день, второй бригады - A/y км/день.

4. Составляем уравнение А/х. 18 + А/y. 18 = А. В дальнейшем введенная величина А, как видно, сокращается, но она несет при решении задачи важную смысловую нагрузку.

Окончательное решение задачи достаточно несложное, и приводить его нет необходимости.

Иногда такой же подход, то есть принятие чего-либо за единицу, используется для обозначения производительности труда.

Рассмотрим более подробно решение задачи, предложенной в учебном пособии для 10-го класса И.Ф.Шарыгина "Факультативный курс по математике: Решение задач".

Задача 2. Две бригады землекопов вырыли по одинаковому котловану. Вторая бригада работала на полчаса больше первой. Если бы в первой бригаде было на 5 человек больше, то она могла бы закончить работу на 2 часа раньше. Определить число землекопов в каждой бригаде, если производительность у всех одинакова.

В указанном пособии предложено следующее решение задачи: неизвестные: х - количество землекопов первой бригады, y - второй бригады, t - время работы первой бригады. В этой задаче за 1 принимается производительность труда каждого землекопа.

Из условия задачи следует:

xt = y(t + 1/2),

xt = (x + 5)(t - 2).

Выражая t через x и y из одного уравнения и подставляя в другое, получим после упрощений:

4x2 - 4xy + 20x - 25y = 0.

При этом x и y - натуральные числа. Выразим y через x:

y = 4x2 + 20x/4x + 25 = x - 5/4 + 125/4(4x+25). Умножив последнее равенство на 4, получим: 4y = 4x - 5+ 125/(4x+25). Из того, что x и y - натуральные числа, следует, что 4x + 25 является делителем 125. Значит, 4x+25=125. Отсюда следует, что x=25, y=24.

Нужно заметить, что данная задача является нестандартной, и поэтому предложенный способ решения достаточно сложный для понимания всех школьников. Составленные уравнения, в которых количество землекопов умножается с временем, вызывают некоторое недоумение у детей, и учителю необходимо приложить большое усилие, чтобы объяснить им целесообразность таких действий.

Предложим другой способ решения этой задачи.

1. Пусть объем всей работы (объем котлована) равен А куб.м.

2. Количество землекопов в первой бригаде - x человек, во второй бригаде - y человек.

3. Производительность труда одного землекопа равна B.

4. Первая бригада за час выполнит Bx часть всей работы, а вторая бригада - By.

5. Первая бригада потратит на всю работу A/Bx часов, вторая бригада - A/By часов.

По условию A/By - A/Bx = 1/2. (1)

6. Если бы в первой бригаде было на 5 человек больше, то она на всю работу потратила бы A/B(x+5) часов. Получаем еще одно уравнение A/Bx - A/B(x+5) = 2. (2) Умножив обе части уравнения (1) на 4, приравняем левые части уравнений (1) и (2). Получим равенство 4A/By - 4A/Bx = A/Bx - A/B(x+5). Вспомогательные переменные A и B в этом уравнении сокращаются, и получим уравнение 4/y = 5/x - 1/x + 5, которое решим способом выделения целой части дроби и учитывая, что x и y натуральные числа.

4/y = 5x + 25 - x/x(x + 5), 4/y = 4x + 25/x2 + 5x, y/4=x2 + 5x/4x + 25, y = 4(x2 + 5x)/4x + 25, y=4x2 + 25x-5x/4x + 25, y=x - 5x/4x + 25. Отсюда следует, что x=25, y=24.

При таком способе решения ученикам легко следить за ходом рассуждений, за составлением уравнений. Понятен им и физический смысл задачи, а это является важным моментом обучения детей решению задач, потому что если учащийся не поймет реальный смысл задачи, связь ее с практикой, то ему будет трудно понять и решение.