Крамер ережелері арқылы сызықтық теңдеулер жүйесін шығару.

Сабақтың тақырыбы: Крамер ережелері арқылы сызықтық теңдеулер жүйесін шығару.

Сабақтың түрі: құрастырылған

Сабақтың мақсаты:

Білімділік: студенттерге сызықтық теңдеулер жүйесін Крамер және Гаусс әдістері оынша шешуге болатындығын түсіндіру, Крамер, Гаусс әдістерін нақты түсіндіру теоремасын беру.

Дамытушылық: сызықтық теңдеулер жүйесінің шешу әдістерінің түрлерімен байланыстырып, өздеріне жеңіл және шапшаң есептеу әдістерін дамыту.

Тәрбиелік: Крамер, Гаусс өмірбаяндарынан үзінді келтіріп ғылыми көзқараста тәрбиелеу. Студентерды ұйымшылдыққа, ұқыптылыққа тәрбиелеу, ойын дұрыс жеткізе білуге және кәсіби біліктілікке тәрбиелеу.

Сабақта қолданылатын көрнекіліктер мен әдебиеттер: слайдтар, интерактивті тақта;

Сабақтың барысы:

I. Ұйымдастыру кезені. Сәлемдесу. Студентерды түгендеу. Білімгерлерді сабаққа даярлау,сабаққа деген қызығушылықтарын ояту,сабаққа қажетті құрал-жабдықтарды әзірлеу,

II. Өткен тақырыптар бойынша білімдерді жан-жақты тексеру.

1. Сұрактар:
1. Матрица дегеніміз не?

2. Матрицалардың түрлері

3. Анықтауштар және оның қасиеттері

4. Анықтауыштарды есептеу схемасы

5. Матрицаға қолданылатын амалдар(қосу,азайту,санға көбейту)

6.Минор анықтамасы
7. Алгебралық толықтауыш формуласы
8. Кері матрица ұғымы
9.Алгебралық сызықтық теңдеулер жүйесін кері матрицалық әдіспен шешу формуласы
2. Үй тапсырмасын тексеру

III. Жаңа сабақты түсіндіру.

а-а: (Крамер теоремасы) Егер берілген сызықтық теңдеулер жүйесінің анықтауышы 0-ге тең емес болса, онда берілген жүйенің тек қана бір шешімі болады. Оларды мына формулалар арқылы табамыз

X = ∆x y = ∆y z = ∆z (1)

∆ ∆ ∆

Мұндағы: ∆ - берілген жүйенің анықтауышы

∆ = 0

∆x = , ∆y =

∆z =

Мысалы:

Крамер әдісі бойынша теңдеуді шешу керек.

∆ = = -2 + 2 – 24 + 3 – 8 + 4 = - 25

∆0, ендеше теңдеудің бір шешімі бар.

∆₁ = = -14 + 22 – 108 + 33 – 36 + 28 = - 75

∆ ₂ = = 18 + 7 + 66 – 27 – 28 – 11 = 25

∆ ₃ = = -11 + 18 – 56 + 7 – 44 + 36 = -50

X₁ X₂

X₃ = ж/бы: (3; -1; 2)

Гаусс әдісі бойынша берілген жүйенің матрицасын баспалдақ түрге келтіру немесе біртіндеп жою әдісі болып табылады.

Мысалы:

Матрица түріне келтіреміз және Гаусс әдісі бойынша шешеміз.

_-1

Сонымен z =2

x = 8 ж/бы: (8; 4; 2)

Мысалы:

x- 2y – z=2 шешімі көп

№ 129.

Матрица түрінде жазып Фаус әдісін қолдану және теңдеуді шешу.

:

Z = 1

x = -1

y = 0 ж/бы: (-1; 0; 1)

IV. Жаңа сабақты бекіту.

1. Теңдеулер жүйесін матрицалық әдіспен және Крамер әдісімен шешіңдер:
2x-y=37x+2y=16
Жауабы: (2;1)

Ой толғаныс
Студентер теңдеулер жүйесін матрицалық әдіспен және Крамер формуласын қолданып шығарғанда жауаптары бірдей сандар шықты. Осыдан олар қортындылай келе мынадай тұжырымға келді.
Венн диаграммасы

X1=∆1∆
X2=∆2∆
X3=∆3∆

X=А[-1]В

X1=X1
X2=X2
X3=X3

2. Жаңа білімді меңгеруін тексеру(оқушылар өз бетімен орындайтың тест жұмысы)
1.5х+2у=28х+3у=2
А) (-2; 6) В) (3; 6) С) (2; 4) Д) (-2; -6) Е) (3; 2)
2. х+2у=53х-2у=7
А) (1; 3) В) (-1;2) С) (3; 1) Д) (-3; -1) Е) (2; 1)
3. 2х+у=33х-у=7
А) (-1; 2) В) (2; -1) С) (3; -1) Д) (1; 3) Е) (2;3)
4.5х+у=19х+2у=1
А) (4; 1) В) (-1; 2) С) (3; -2) Д) (-2;1) Е) (1;-4)
5.х+у-z=22x-y+z=1-x+6y+z=5
А) ( -1; -1; 0) В) (2; 2; 1) С) (1;1;0) Д) (1; -1; 1) Е) (0;1; -1)
6.3x-y+2z=0x +3z=22x +z=-1
А) (-1; -1; 1) В) (1;1:0) С) (1: 2; 3) Д) (0; 1; 1) Е) (2; 2; 0)

Тест жұмысының дұрыс жауаптарын шешкенде Крамер сөзі шағады.
Крамердің өмірбаяны баяндалады
Габриэль Крамер
31.07.1704 Женева қ Швецарияда дүниеге келген 
Крамер дәрігер отбасында дүниеге келген. Кішкентай кезінен өзінің математикаға бейімділігін көрсетті. 18 жасынд а диссертация қорғады. 20 жасында Крамер өзін Женева университетіне философия кафедрасына ваканттық оқытушылық орынға ұсынды. 
Кандидаттар саны 3-еу болды, университетте математика кафедрасын ашу мақсатында кандитаттарды өз қаражатымен саяхаттауға Еурапаға жіберді . 
1727: Крамер осы сәтті пайдаланып, 2 жылға Европаға саяхатқа шықты., сонымен қоса математик- Иоганн Бернулли, Эйлер, Муавр,Клеро, сияқты атақты математиктермен танысып, тәжірбиесін бөлісті. Келгеннен кейін де, олармен хат жазысып тұрды. 
1728: Крамер Санк-Петербург парадоксының шешімін тапты, бұл шешімді 10 жылдан кейін Даниэль Бернулли жарыққа шығарды. 
1729: Крамер Женеваға оралғанна н кейін өзінің ұстаздық жұмысын қайта қолға алды. Париж академиясы жариялаған конкурсқа қатысып 2-ші орын алды (1 орынды Иоганн Бернулли иеленді).
Бос уақытында Крамер әртүрлі тапықтарда мақалалар жазған, олардың ішінде геометрия, математика тарихы, философия да болған . Крамер механика салаларында Ньютондық классификацияларды 3 ретті қисықтар саласында еңбегін жариялайды. 1740 жылдарда И.Бернулли өзінің еңбектерін бір жинаққа жинауын Крамерге тапсырады. 
1742 жылы Крамер 4 томдық жинағын шығарды, ал 1744 ж. Я.Бернулли және Лейбництің жазған хаттарының негізінде 2 томдық жинағын шығарды. 1747 жылы: Парижге 2-ші саяхатында Даламбермен танысады. 
1751 жылы Крамер апатқа ұшырап, қатты зақым алады. Дәрігер француз курортында демалуды ұсынады, бірақ ол жақта оның жағдайы нашарлайды да және 1752 жылы 4 ақпанда Крамер қайтыс болады. 
Крамердің ең үздік жұмысының бірі қайтыс болар алдында шығарған 1750 жылы француз тілінде жорық көрді.
Крамердің осы еңбегінде сызықтық теңдеулер жүйесін шеш у жолдарын көрсеткен, кейінірек оны Крамер әдісі деп атаған.
Сызықтық тңедеулер жйесін квадраттық матрицада көп, әртүрлі жағдайларын қарастырған. Крамер мұның шешімін кесте түрінде жасады. Детерминанд термині ол кезде болмаған (бұл терминде Гаусс 1801 жылы кіргізді ), анықтауышты есептеу алгоритмін дәл берген Крамер болған. Анықтауыштар теориясы астрономияда, механика қолданылды.
Крамер әдістерін сызықтық алгебраның негізін салушы Безу, Вандемонд, Кэли е ңбектерін ары қарай дамытты. 
Осы өмірбаян бойынша қойылатын сұрақтар:
1.Крамер қанша жасында диссертация қорғады?
2.Оқытушылық қызметін қанша жасында бастады?
3.Қандай еңбектерін білесіңдер?
4.Осы өмірбаяннан қандай әсер алдындар?

V. Қорытындылау.

Не білдім? Не үйрендім? Нені білуім керек?
(Студентер өткен тақырыптар бойынша нені білгендерін, жаңа тақырып бойынша нені үйренгендерін алдағы сабақтарда нені білу керек екенін өздері қорытындылайды.) 

VI. Бағалау. (студентердың жауап беруіне қарай тиісті балл есебімен бағаланады)

VII. Үйге тапсырма. бет 115