Конспект "Исследование функции с помощью производной функции"

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ С ПРИМЕНЕНИЕМ ПРОИЗВОДНОЙ

1. Нахождение интервалов монотонности функции

Правило нахождения монотонности функции y=f(x)

1. Найти производную f’(x) функции, а затем определить точки, в которых f’(x) равна 0 или не существует (критические точки).

2. Исследовать знак f’(x) в промежутках, на которые критические точки делят область определения функции f’(x). В тех интервалах, где f’(x)0, функция возрастает, а тех интервалах, где f’(x)

НАПРИМЕР

Найти интервалы монотонности функции

Решение:

1. Найдем производную функции и приравняем ее к 0.

Затем находим корни, получившегося квадратного уравнения x₁=1 b x₂=3. Этими точками числовая прямая разбивается на интервалы:

1 интервал (-∞;1)

2 интервал (1;3)

3 интервал (3; +∞)

В каждом, из которых производная сохраняет свой знак.

2 Определим знаки производной на каждом интервале. Для этого необходимо на каждом интервале взять любую точку, которая входит в этот интервал.

На интервале (-∞;1) возьмем точку x=0, тогда f’(x)=0²-4*0+3=30

На интервале (1;3) возьмем точку x=2, тогда f’(x)=2²-4*2+3=-1

На интервале (3; +∞) возьмем точку x=4, тогда f’(x)=4²-4*4+3=30

О

+

-

+

Записываем ответ: Функция возрастает (-∞;1) (3; +∞)

Функция убывает (1;3).

2. Нахождение экстремумов функции

Правило нахождения экстремумов функции y=f(x) с помощью первой производной.

1. Найти производную f’(x) функции, а затем определить точки, в которых f’(x) равна 0 или не существует (критические точки).

2. Исследовать знак f’(x), в некоторой окрестности каждой из критических точек. Если производная f’(x) изменяет знак при переходе через такую точку, то функция в этой точке является экстремумом, а если знак f’(x) не изменяется, то функция в этой точке экстремума не имеет. При этом если при переходе через рассматриваемую точку слева направо знак f’(x) изменяется с «-» на «+», то в этой точке достигается min, а если с «+» на «-» то max.

НАПРИМЕР

Найти интервалы монотонности функции

Решение:

1. Найдем производную функции и приравняем ее к 0.

Затем находим корни, получившегося квадратного уравнения x₁=1 b x₂=3. Этими точками числовая прямая разбивается на интервалы:

1 интервал (-∞;1)

2 интервал (1;3)

3 интервал (3; +∞)

В каждом, из которых производная сохраняет свой знак.

2 Определим знаки производной на каждом интервале. Для этого необходимо на каждом интервале взять любую точку, которая входит в этот интервал.

На интервале (-∞;1) возьмем точку x=0, тогда f’(x)=0²-4*0+3=30

На интервале (1;3) возьмем точку x=2, тогда f’(x)=2²-4*2+3=-1

На интервале (3; +∞) возьмем точку x=4, тогда f’(x)=4²-4*4+3=30

Отсюда следует, что данная функция в интервале (-∞;1) возрастает, в интервале (1;3) убывает, в интервал (3; +∞) снова возрастает.

Производная при переходе через точку x=1 меняет знак с «+» на «-», то функция в этой точке max. При переходе через точку x= 3 меняет знак с «-» на «+», то функция в этой точке min.

Затем в каждой точке находим значение.

Подставим данные точки в изначальную функцию

f(1)= -1

f(3)=1

Записываем ответ: max(1)=-1

min(3)=1

3. Нахождение интервалов выпуклости и вогнутости графика функции

Правило нахождения интервалов выпуклости графика функции y=f(x) с помощью второй производной.

1. Найти вторую производную f″(x) функции, а затем определить точки, в которых f″(x) равна 0 или не существует (критические точки).

2. Исследовать знак f″(x) в интервалах, на которые найденные точки делят область определения функции f″(x). В тех интервалах, где f″(x)0 график функции является выпуклым вниз (вогнутым), а в тех интервалах где f″(x)

НАПРИМЕР

Найти интервалы выпуклости графика функции

Решение:

1. Найдем вторую производную функции и приравняем ее к 0.

Вторую производную приравняем к 0 и найдем критические точки.

Затем находим корни, получившегося квадратного уравнения x₁= -1 b x₂=2. Этими точками числовая прямая разбивается на интервалы:

1 интервал (-∞;-1)

2 интервал (-1;2)

3 интервал (2; +∞)

В каждом, из которых производная сохраняет свой знак.

2 Определим знаки второй производной на каждом интервале. Для этого необходимо на каждом интервале взять любую точку, которая входит в этот интервал.

На интервале (-∞;-1) возьмем точку x=-2, тогда f″(x)=-2²+2-2=40

На интервале (-1;2) возьмем точку x=0, тогда f″(x)=0²-0-2=-2

На интервале (2; +∞) возьмем точку x=3, тогда f″(x)=3²-3-2=40

Отсюда следует, что данная функция в интервале (-∞;-1) выпуклая вниз (вогнутая), в интервале (-1;2) функция выпуклая вверх, в интервал (2; +∞) функция вогнутая.

Записываем ответ: Функция выпуклая вниз (вогнутая) (-∞;-1) (2; +∞)

Функция выпуклая вверх (-1;2).

4. Нахождение точек перегиба графика функции.

Правило нахождения точек перегиба графика функции

Правило нахождения интервалов выпуклости графика функции y=f(x) с помощью второй производной.

1. Найти вторую производную f″(x) функции, а затем определить точки, в которых f″(x) равна 0 или не существует (критические точки).

2. Исследовать знак f″(x) в интервалах, на которые найденные точки делят область определения функции f″(x). В тех интервалах, где f″(x)0 график функции является выпуклым вниз (вогнутым), а в тех интервалах где f″(x)

Точка перегиба. Точки, в которых выпуклость вверх меняется на выпуклость вниз или наоборот, называются точками перегиба.

Для нахождения точек перегиба если их несколько или одна, необходимо найденные критические точки подставить в изначальную функцию (найденные точки будет являться координатой y).

НАПРИМЕР

Найти точки перегиба графика функции

Решение:

1. Найдем вторую производную функции и приравняем ее к 0.

Вторую производную приравняем к 0 и найдем критические точки.

Затем находим корни, получившегося квадратного уравнения x₁= -1 b x₂=2. Этими точками числовая прямая разбивается на интервалы:

1 интервал (-∞;-1)

2 интервал (-1;2)

3 интервал (2; +∞)

В каждом, из которых производная сохраняет свой знак.

2 Определим знаки второй производной на каждом интервале. Для этого необходимо на каждом интервале взять любую точку, которая входит в этот интервал.

На интервале (-∞;-1) возьмем точку x=-2, тогда f″(x)=-2²+2-2=40

На интервале (-1;2) возьмем точку x=0, тогда f″(x)=0²-0-2=-2

На интервале (2; +∞) возьмем точку x=3, тогда f″(x)=3²-3-2=40

Отсюда следует, что данная функция в интервале (-∞;-1) выпуклая вниз (вогнутая), в интервале (-1;2) функция выпуклая вверх, в интервал (2; +∞) функция вогнутая.

Так как при прохождении через данные точки выпуклость вниз меняется на выпуклость вверх и обратно, следовательно, эти точки являются точками перегиба. Для этого необходимо точки -1 и 2 подставить в изначальную функцию.

Записываем ответ: Точки перегиба (-1;-3/4), (2;-2)

5. Нахождение минимального и максимального значения функции на отрезке [a,b]

Правило нахождения минимального и максимального значения функции на отрезке [a,b].

1. Найти производную f′(x) функции, а затем определить точки, в которых f’(x) равна 0 или не существует (критические точки, принадлежащие данному отрезку).

2. Определить входят ли данные точки в отрезок. Если точки принадлежат отрезку, необходимо найти значение в этих точках, а также на концах отрезка, то есть в x=a и x=b. Сравнить все полученные значения и выбрать самое наименьшее и самое наибольшее значения.

ПРИМЕР

Найти наименьшее значение функции
[-2;0]

Найдем производную функции и приравняем к 0.

Затем находим корни, получившегося квадратного уравнения x₁= 2 b x₂=-1.

Значение x=2 не принадлежит отрезку [-2;0].

Значение x= -1 принадлежит отрезку.

Затем найдем значение функции при x= -2; x= -1; x=0

f (-2)=(-2)³-1,5*(-2)²-6*(-2)+1= -1

f (0)=(0)³-1,5*(0)-6*(0)+1=1

f (-1)=(-1)³-1,5*(-1)-6*(-1)+1=4,5

Сравнив все найденные значения min= -1; max=4,5

Записываем ответ: min= -1; max=4,5