Конспект урока по математике "Уравнения, приводимые к квадратным"

Цели урока:

1. Выработать умение решать уравнения третьей и четвертой степеней с помощью разложения на множители и введения вспомогательной переменной.

2. В ходе урока содействовать развитию технологического мышления.

3. Воспитание самостоятельности, активности, необходимых навыков культуры труда.

4. Коррекция и развитие активного произвольного запоминания путем постепенного увеличения объема заданий.

Тип урока: Комбинированный (урок контроля и оценки ранее усвоенного материала и усвоения новых знания).

Ход урока.

I. Организационный момент.

Сдача тетрадей с домашним заданием. Взаимное приветствие. Проверка подготовки и организация внимания учащихся.

II. Вступительное слово.

Цель: Организовать познавательную деятельность учащихся.

Сегодня мы продолжаем решать уравнения третьей и четвертой степеней. В их решение большой вклад внесли итальянские математики XVI века (на доске записаны имена математиков и их портреты).

Сципион Даль Ферро (1465 - 1526) и его ученик Фиори.

Н. Тарталья (ок. 1499 - 1557).

Дж. Кардано (1501 - 1576) и его ученик Л. Феррари.

Бомбелли (ок. 1530 - 1572).

12 февраля 1535 г. между Фиори и Н. Тартальей состоялся научный поединок, на котором Тарталья одержал блестящую победу. Он за 2 часа решил 30 уравнений, предложенных Фиори, а сам Фиори не решил ни одного.

Мы не итальянские математики, но посмотрим, сколько уравнений сможем решить.

III. Устная работа.

Цель: Контроль ранее изученного материала и подготовка к восприятию нового материала.

А начнем мы с устной работы (у каждого ученика на парте лежат задания для устной работы).

1. Какие из чисел -1, 0, 1 являются корнями уравнений:

а) y² - y = 0;         б) y⁴ - 4y² = 0;            в) y³ + 9y = 0.

 (-1, 0, 1)                       (0)                                  (0)

2. Сколько решений может уметь уравнение третьей степени? (не более трех) Уравнение четвертой степени? (не более четырех).

3. Каким способом вы решали бы уравнения первого задания? (разложением на множители).

4. Проверьте решение уравнения: х³ - 5х² + 16х - 80 = 0

х²(х - 5) + 16(х - 5) = 0

(х - 5) (х² + 16) = 0

(х - 5) (х - 4) (х + 4) = 0

Ответ: 5. -4. 4. (Ошибка: сумма квадратов не раскладывается на множители). Зачеркните неправильную запись (зачеркивают последнюю строчку).

Итак, мы нашли ошибку в решении уравнения, вспомнили способ решения уравнения разложением на множители.

VI. Практическая часть урока.

Цель: Закрепление ранее изученного материала. Установление степени осмысления учащимися нового материала.

Открыли тетради. Записали число, классная работа.

1. Используя этот способ, решите уравнение: х³ - х + 3х² - 3 = 0

х(х² - 1) + 3(х² - 1) = 0

(х² - 1) (х + 3) = 0

(х - 1) (х + 1) (х + 3) = 0

Ответ: 1. -1. -3.

Весь материал - в документе.

Тема урока: Уравнения, приводимые к квадратным.

Цели урока: 1. Выработать умение решать уравнения третьей и четвертой степеней с помощью разложения на множители и введения вспомогательной переменной.

2. В ходе урока содействовать развитию технологического мышления.

3. Воспитание самостоятельности, активности, необходимых навыков культуры труда.

4. Коррекция и развитие активного произвольного запоминания путем постепенного увеличения объема заданий.

Тип урока: Комбинированный (урок контроля и оценки ранее усвоенного материала и усвоения новых знания).

Ход урока:

I. Организационный момент.

Сдача тетрадей с домашним заданием. Взаимное приветствие. Проверка подготовки и организация внимания учащихся.

II. Вступительное слово.

Цель: Организовать познавательную деятельность учащихся.

Сегодня мы продолжаем решать уравнения третьей и четвертой степеней. В их решение большой вклад внесли итальянские математики XVI века (на доске записаны имена математиков и их портреты).

Сципион Даль Ферро (1465 - 1526) и его ученик Фиори.

Н. Тарталья (ок. 1499 - 1557).

Дж. Кардано (1501 - 1576) и его ученик Л. Феррари.

Бомбелли (ок. 1530 - 1572).

12 февраля 1535 г. между Фиори и Н. Тартальей состоялся научный поединок, на котором Тарталья одержал блестящую победу. Он за 2 часа решил 30 уравнений, предложенных Фиори, а сам Фиори не решил ни одного.

Мы не итальянские математики, но посмотрим, сколько уравнений сможем решить.

III. Устная работа.

Цель: Контроль ранее изученного материала и подготовка к восприятию нового материала.

А начнем мы с устной работы (у каждого ученика на парте лежат задания для устной работы).

1. Какие из чисел -1, 0, 1 являются корнями уравнений:

а) y² - y = 0; б) y⁴ - 4y² = 0; в) y³ + 9y = 0.

(-1, 0, 1) ( 0 ) ( 0 )

2. Сколько решений может уметь уравнение третьей степени? (не более трех) Уравнение четвертой степени? (не более четырех).

3. Каким способом вы решали бы уравнения первого задания? (разложением на множители).

4. Проверьте решение уравнения: х³ - 5х² + 16х - 80 = 0

х²(х - 5) + 16(х - 5) = 0

(х - 5)(х² + 16) = 0

(х - 5)(х - 4)(х + 4) = 0

Ответ: 5. -4. 4. (Ошибка: сумма квадратов не раскладывается на множители). Зачеркните неправильную запись (зачеркивают последнюю строчку).

Итак, мы нашли ошибку в решении уравнения, вспомнили способ решения уравнения разложением на множители.

VI. Практическая часть урока.

Цель: Закрепление ранее изученного материала. Установление степени осмысления учащимися нового материала.

Открыли тетради. Записали число, классная работа.

1. Используя этот способ, решите уравнение: х³ - х + 3х² - 3 = 0

х(х² - 1) + 3(х² - 1) = 0

(х² - 1)(х + 3) = 0

(х - 1)(х + 1)(х + 3) = 0

Ответ: 1. -1. -3.

Решают самостоятельно. Вслух проверить ответ.

2. А теперь рассмотрим следующее уравнение: (х² + 2х)² - 2(х² + 2х) - 3 = 0.

Кто заметил одну важную особенность этого уравнения? Правильно! Его левая часть содержит выражение (х² + 2х), входящее в нее дважды (один раз в квадрате, другой - в первой степени). Это позволяет использовать другой способ решения уравнений, называемый способом введения новой переменной.

Запишем в тетрадях тему урока: Уравнения, приводимые к квадратным. Уравнение переписали в тетрадь.

(Используются карточки, у которых с одной стороны у, а с другой стороны выражение (х² + 2х)).

Итак, выражение можно обозначить через у.

Запишем у = х² + 2х.

Тогда уравнение принимает вид: у² - 2у - 3 = 0.

Решите квадратное уравнение. D = 16, у₁ = 3, у₂ = -1.

Имеем х² + 2х = 3 х² + 2х = -1

х² +2х - 3 = 0 х² + 2х + 1 = 0

Решаем квадратные уравнения.

D = 16, х₁ = 1, х₂ = -3 D = 0, х₃ = -1

Ответ: 1, -1, -3.

Открыли учебник на странице 77, какие из уравнений №276 аналогичны данному? Хорошо а) и б). (Алгебра: учеб.9 кл. общеобразоват. учреждений/[Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк и др.]; под ред.С.А.Теляковского. – 15-е изд., дораб. – М.: Просвещение, 2008. )

3. А это уравнение итальянских математиков: (3х² + х - 4)² + 3х² + х = 4.

Ваши предложения по решению. Вызвать ученика решить это уравнение.

(3х² + х - 4)² + 3х² + х - 4 = 0

3х² + х - 4 = у

у² + у = 0

у (у + 1) = 0

у₁ = 0 у₂ = -1

Имеем: 3х² + х - 4 = 0 3х² + х - 4 = -1

Эти квадратные уравнения мы уже с вами решали на прошлом уроке.

Откройте классную работу и найдите корни этих уравнений.

х₁ = 1, х₂ = , х₃ = , х₄ = .

Ответ: 1, , , .

V. Самостоятельная работа.

Цель: Проверка того, как учащиеся поняли новый материал.

У каждого учащегося на парте самостоятельная работа, которая выполняется дифференцированно.

Решить уравнение: (х² - 3х)² - 2(х² - 2х) - 8 = 0

На доске проверить решение этого уравнения.

х² - 3х = у

у² - 2у - 8 = 0

D = 36, у₁ = 4, у₂ = -2

Имеем: х² - 3х = 4, х² - 3х = -2

х² - 3х - 4 = 0 х² - 3х + 2 = 0

D = 25, х₁ = 4, х₂ = -1 D = 1, х₃ = 2, х₄ = 1.

Ответ: 4, -1, 2, 1.

VI. Итог урока.

Вы решали уравнения, приводимые к квадратным, способом введения новой переменной. Этот метод решения уравнений будет широко использоваться в дальнейшем при решении тригонометрических, логарифмических и других видов уравнений. Итак, мы прорешали с вами четыре уравнения.

VII. Домашнее задание.

Цель: Отработка полученных знаний и умений.

п.12 (пример 2), № 277 а), б); № 273 а), б).

Разобрать какими способами можно решить данные уравнения.

Дополнительно, если останется время подготовить уравнения, решаемые различными способами. Выбрать устно те уравнения, которые решаются способом замены переменой:

х³ - 6х² + 11х - 50 = 0;

(х² - 5х)² - 7(х² - 5х) - 1 = 0;

х² + 8х - 14 = 0;

1,7х - 4 = 0;

(х² - 2х)² - 4(х² - 2х) = 16;

х² + х = 0

(х² - 5)² = 4(х² - 5) + 6;

Карта для устного счета:

УСТНО:

1. Какие из чисел –1, 0, 1 являются корнями уравнений:

а) y² – y = 0; б) y⁴ – 4y² = 0; в) y³ + 9y = 0.

2. Сколько решений может иметь уравнение третьей степени?

Уравнение четвертой степени?

3. Каким способом вы решали бы уравнения первого задания?

4. Проверьте решение уравнения:

х³ – 5х² + 16х – 80 = 0

х² (х – 5) + 16(х – 5) = 0

(х – 5)(х² + 16) = 0

(х – 5)(х – 4)(х + 4) = 0

Ответ: 5, –4, 4.