Конспект урока по математике "Решение уравнений с параметром графическим методом"

Цель: - способствовать формированию умений решать уравнения с параметром;

 - способствовать развитию навыков исследовательской деятельности;

 - способствовать развитию навыков самоконтроля;

 - способствовать развитию поисковой и познавательной активности.

Средства: опорные схемы, мультимедиа, доска, мел.

Ход урока:

1. Организационный момент

Здравствуйте дети. Тема нашего сегодняшнего урока: Решение уравнений с параметром графическим методом.

2. Актуализация знаний

Давайте вспомним: Какое уравнение называется уравнением с параметром? (Уравнениями с параметром называются уравнения, у которых коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами. )

Что значит аналитически решить уравнение? (Это решение, представленное в виде формулы (и соответственно полученное тоже путем математических выкладок). )

Что значит графически решить уравнение? (Построить график левой части и график правой части. Абсцисса точки пересечения и будет решением. )

3. Историческая справка

Употребление букв и разных других математических знаков появилось не сразу, а в результате долгого развития математики. Оно началось по - настоящему лишь в XV веке. До этого все величины выражались только словами. Алгебру тех времен называли, поэтому риторической, то есть словесной.

Во второй половинеXV века в Италии, Германии и других странах Европы были введены некоторые алгебраические символы и положено начало употреблению букв.

Арифметика учит общаться с числами и числовыми (арифметическими) выражениями, алгебра же - с буквами и алгебраическими выражениями, составленными из цифр, букв и знаков действий. Арифметическое выражение есть частный случай алгебраического.

4. Постановка проблемы

Весь материал - смотрите документ.

Долгорукова Т.Ф.

Тема: Решение уравнений с параметром графическим методом.

Тип урока: урок повторения.

Цель: - способствовать формированию умений решать уравнения с параметром;

- способствовать развитию навыков исследовательской деятельности;

- способствовать развитию навыков самоконтроля;

- способствовать развитию поисковой и познавательной активности.

Средства: опорные схемы, мультимедиа, доска, мел.

План урока

Ход урока:

1. Организационный момент

Здравствуйте дети. Тема нашего сегодняшнего урока: Решение уравнений с параметром графическим методом.

1. Актуализация знаний

Давайте вспомним: Какое уравнение называется уравнением с параметром? (Уравнениями с параметром называются уравнения, у которых коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами.)

Что значит аналитически решить уравнение? (Это решение, представленное в виде формулы (и соответственно полученное тоже путем математических выкладок).)

Что значит графически решить уравнение? (Построить график левой части и график правой части. Абсцисса точки пересечения и будет решением.)

1. Историческая справка

Употребление букв и разных других математических знаков появилось не сразу, а в результате долгого развития математики. Оно началось по-настоящему лишь в XV веке. До этого все величины выражались только словами. Алгебру тех времен называли, поэтому риторической, то есть словесной.

Во второй половинеXV века в Италии, Германии и других странах Европы были введены некоторые алгебраические символы и положено начало употреблению букв.

Арифметика учит общаться с числами и числовыми (арифметическими) выражениями, алгебра же - с буквами и алгебраическими выражениями, составленными из цифр, букв и знаков действий. Арифметическое выражение есть частный случай алгебраического.

1. Постановка проблемы

Даем ученикам задание: При каких а уравнение имеет единственное решение?

Это задание вызовет у них затруднение, в плане того, каким способ решать его.

1. Рассмотрение способов решения задачи

Учащиеся рассматривают способы решения этого уравнения:

1. Обеспечим неотрицательность обеих частей,

возведем в квадрат обе части уравнения:

Найдем дискриминант квадратного уравнения:

1способ (Аналитический) По условию уравнение должно иметь один корень, значит,

D=0, 8а +49=0,

а = - 49/8; , но надо проверить, удовлетворяет ли это значение ОДЗ:

Если D0, то только один корень уравнения должен удовлетворять условию

а)

б)  Ø

Ответ:

2 способ) Решим это задание графическим способом.

Проведем графический анализ менее трудоемкий, чем построение графика - «полу» парабола с вершиной х = -3; у= 2х – а – множество параллельных прямых, с угловым коэффициентом 2.

Рассмотрим схему расположения графиков при различных значениях а, причем с ростом а прямая у=2х – а перемещается вправо.

у

Когда прямая является касательной к полупараболе и, начиная с положения, когда прямая проходит через вершину параболы (- 3; 0),мы имеем одну точку пересечения, т. е одно решение исходного уравнения. Напишем уравнение касательной в точке х

Угловой коэффициент равен 2, т. е.

- абсцисса точки касания

Тогда уравнение касательной , а =

При х = - 3, у=0 графики пересекаются в двух точках. При этом а= - 6.

А при а - 6 имеем одну точку пересечения.

Ответ:

После рассмотренных решений можно заметить, что графический метод более рационален и удобен в применении.

1. Решение заданий

Давайте рассмотрим еще один пример:

1. Найдите множество всех чисел , для каждого из которых уравнение имеет только два различных корня.

Решение. Перепишем данное уравнение в следующем виде:

Теперь важно не упустить, что , и – корни исходного уравнения лишь при условии . Обратим внимание на то, что график удобнее строить на координатной плоскости . На рисунке искомый график – объединение сплошных линий. Здесь ответ «считывается» вертикальными прямыми.

Ответ. При , или , или .

Как видим, и эту задачу рациональнее будет решать графическим методом.

Давайте рассмотрим еще одно уравнение с параметрами решаемое графическим методом:

1. Найти все значения параметра b, при которых уравнение

имеет единственное решение.

Решение. Для удобства обозначим . Запишем уравнение, равносильное исходному:

Переходим к равносильной системе

Строим график функции с областью определения х и . Полученный график семейство прямых у = а должно пересекать только в одной точке. Из рисунка видно, что это требование выполняется лишь при а 2, т. е.