Конспект урока по математике "Решение показательных уравнений"

1. Организационный момент

Урок начинается с эпиграфа

Преподаватель: «Думаю, эти слова применимы к вашему как познавательному, так и нравственному развитию. И я желаю вам быть решительными в своих добрых начинаниях, никогда не суетиться, чувствовать вдохновение перед каждым важным делом и не бояться трудиться, стремясь совершенствовать мир и самих себя».

2. Сообщение темы и целей урока

3. Мотивация учебной деятельности

Чтобы вы не забыли, что несмотря на свою абстрактность, математика имеет прямое отношение к реальному миру, я приведу 2 примера. В каждом из них природные процессы моделируются с помощью показательной функции, точнее, экспоненты.

1. Радиоактивный распад (демонстрация плаката № 1)

Это пример из физики. Ядра атомов некоторых химических элементов способны распадаться, испуская , и - лучи. Такое свойство называется радиоактивностью. Закон радиоактивного распада выражается формулой , где N - начальное число атомных ядер, N(t) – число нераспавшихся ядер к моменту времени t,- постоянная радиоактивного распада.

2. Динамика численности популяции животных (демонстрация плаката №2)

Это пример из экологии, которую вы будете изучать в следующем семестре. Если популяция некоторого вида животных изолирована, ресурсы питания неограниченны, а прирост поголовья пропорционален числу взрослых особей, то численность популяции к моменту времени t вычисляется по формуле , где - первоначальное число особей,- постоянная. Это уравнение, правда, описывает динамику искусственно созданной и поддерживаемой популяции. В естественной среде такая математическая точность не обнаруживается.

Число e также применяется при математическом описании роста численности населения, размножения бактерий, роста кристаллов, а также в экономике (задача о росте денежных вкладов).

Итак, вы увидели, как используется показательная функция в других науках. Но прежде, чем перейти к изучению следующей темы, вам следует воспроизвести те знания, на которые вы будете опираться в понимании нового.

4. Актуализация опорных знаний

Студентам задаются вопросы:

1) Пусть . Как называется левая часть этого равенства? Как называют a? x? Как в этом равенстве выразить x через b и a?

2) Вспомним теперь свойства степеней (студенты по очереди выходят к доске, записывают свойства).

3) Запишите показательную функцию в общем виде. Какова ее область определения? Область значений?

4) Перейдем к понятию «уравнение с одной переменной». Что называют корнем такого уравнения? Что значит «решить уравнение»?

Чтобы подготовить себя к восприятию нового материала, мы сейчас совершим восхождение на пик наших имеющихся знаний, чтобы собрать их воедино (открывается рисунок лестницы на доске). Чтобы преодолеть очередную ступень лестницы, надо ответить на вопрос. Варианты правильных ответов и их коды записаны на ступенях:

Вопросы:

1) Как представить в виде произведения степеней?

2) Как представить в виде частного?

3) Укажите уравнения, имеющие корни.

4) Найдите корень уравнения e = .

5) Какие из функций являются показательными?

Последовательно, отвечая на вопросы, студенты выписывают на доске коды правильных ответов.

Зашифровано 2, 718… Какое это число? Верно, число «е» - одна из важнейших постоянных в математике. По определению, оно равно пределу последовательности

при .

Мнемотехника запоминания 16-ти цифр числа (2, 7, год рождения Л.Н. Толстого 2 раза, углы прямоугольного равнобедренного треугольника). Кстати, обозначение «е» ввел в 1736 году Леонард Эйлер (читайте статью о нем в методическом уголке кабинета). В 2007 году научная общественность отмечает 300-летие со дня рождения этого математика, физика, астронома, ученого необычайной широты интересов.

Теперь, совершив восхождение на вершину своих имеющихся знаний, мы готовы к изучению нового.

5. Изложение нового материала

Показательные уравнения – это уравнения, в которых неизвестное содержится в показателе степени.

Например, . Назовите корень уравнения. Существуют ли другие корни? Верно, нет, но как это объяснить? (демонстрация плаката № 3 «Показательная функция»). Показательная функция монотонна на R, потому всякое свое значение принимает только один раз.

А теперь решите уравнения:

, , .

Показательные уравнения чаще всего сводятся к одному или нескольким уравнениям вида

(1).

Если , элементарное уравнение (1) имеет единственный корень .

Если , элементарное уравнение (1) не имеет корней.

Пример. Решим показательное уравнение .

В этом уравнении степени встречаются два раза, причем основания степеней равны. С помощью свойств степеней представим степени в виде произведения или частного:

3*3 – 2*3:3 = 25.

Вынесем общий множитель 3левой части за скобку:

3(3 - ) = 25.

Произведем вычисление в скобке и выразим 3:

3 = 25:.

3 = 9.

x = 2.

ОТВЕТ: 2.

6. Первичное закрепление

Речь преподавателя: На сегодняшнем уроке, кроме достижения целей узнать и научиться, мы будем стремиться совершенствовать себя как личности. Подготовить этот урок мне помогли существа высших инопланетных миров, населенных очень развитыми, мудрыми существами. Эти существа наблюдают за нами и обеспокоены тем, что люди Земли часто враждуют, раздражаются, лгут, поддаются унынию, страху и не умерены в своих желаниях, так как им не хватает мудрости. Организация Спасения Инопланетных Миров призывает землян стать более добрыми, честными, более осторожными в своих желаниях, иначе планета не выдержит зла и случится беда. Эта организация передает вам свои мудрые пожелания и хочет набрать из вас 15 своих представителей на планете Земля, которые будут нести другим добро и радость, тем самым спасая планету. Поэтому сейчас мы устроим соревнование 2 команд по решению показательных уравнений, ведь математика проясняет и возвышает ум человека. 15 членов победившей команды получат удостоверение этой организации, им будет поручено передавать другим людям те пожелания, которые в ходе урока я буду зачитывать (плакат № 4 «Изображение Звездной Системы»).

6.1. Конкурс 1. Эстафета (решение уравнений с одним видом основания степени)

По 4 активных участника из каждой команды поочередно выходят к доске, чтобы решить очередное уравнение. Каждая команда работает кусочком мела определенного цвета, который передается как эстафетная палочка. Остальные студенты предупреждаются о важности быстрого получения ответов всех четырех задач. В завершение эстафеты студенты отыскивают и исправляют белым мелом ошибки команд соперников.

Пока стирается доска, проводится опрос по первому конкурсу:

1) Какой из рациональных корней ваших уравнений является:

неположительным? - 1 команда;

наименьшим? - 2 команда.

2) Найдите:

квадрат разности наибольшего и наименьшего корня - 1 команда;

среднее арифметическое рациональных корней - 2 команда.

Баллы начисляются за скорость, за каждое верно решенное уравнение, за каждую обнаруженную ошибку, за верные ответы блиц-опроса.

Объявляется команда – победитель 1 конкурса, зачитывается послание жителей Зеленой Планеты:

Любите свою Землю и заботьтесь о ней, как она заботится о вас. Желайте своей планете добра и благодарите ее, мудро, экономно используя ее дары. Любите и оберегайте все живое на планете.

6.2. Конкурс 2. Теоретики и практики (решение уравнений, содержащих степени с разными основаниями).

Поочередно на доске решаются уравнения:

Игроки первой команды выступают в роли «практиков», а второй команды – в роли «теоретиков». Игрок первой команды выходит к доске решать уравнение, его задача - решать быстро и правильно, на каждом шаге решения зарабатывая 1 балл. В это время с ним соревнуются «теоретики», задача которых – формулировать грамотно, не называя чисел и переменных, каждый этап решения еще до того, как «практик» у доски осуществит этот этап. Если формулировка «теоретика» предшествует окончанию действия «практиком», то тем самым «теоретик» перехватывает у «практиков» балл своей команде.

У доски решаются уравнения

1 команда: (потом происходит обмен ролями);

2 команда: .

Остальные игроки команды «практиков» решают подобные задачи у себя в тетрадях:

По окончании конкурса преподаватель интересуется, какие ответы получили «практики» при решении подобных уравнений. «Практики» поднимают карточки со своими ответами, преподаватель подсчитывает число верных результатов, начисляя командам баллы.

В завершение 2-го конкурса зачитывается послание Красной Планеты:

Помните, что вы получаете в жизни то, что отдаете. Избегайте лжи, не берите чужого, не желайте зла, иначе такое поведение обернется против вас. Дарите людям свою радость и любовь, тем самым наполняя свою жизнь светом.

6.3. Защита учебных работ (графическое решение показательных уравнений)

Под руководством преподавателя студент у доски решает уравнение графическим методом.

Далее – работа в парах над уравнениями:

Каждая пара студентов оформляет свое решение на листе формата А-3 маркерами. Избранные пары студентов от каждой команды поочередно представляют свои работы аудитории, отвечают на вопросы (процедура защиты). Преподавателем оценивается правильность решения, грамотность изложения мыслей, ответов на них.

Далее зачитывается послание Синей Планеты:

Осознавайте каждое мгновение своей жизни. Учитесь понимать самих себя, а для этого делайте свой ум спокойным и сосредоточенным. Математика – это средство развития и успокоения ума.

Объявляется команда – победитель.

Преподаватель: «Я поздравляю победителей, на перемене им будут вручены удостоверения сотрудников Организации Спасения Инопланетных Миров, ее представителей на планете Земля. С одной стороны, это шутка, но надо помнить о том, что все мы (а не только победители) ответственны за судьбу нашей Планеты. Я надеюсь, что теперь вы станете еще более добрыми, честными, заботливыми по отношению к другим людям, всему живому на Земле».

7. Подведение итогов, выставление оценок

Преподаватель оглашает оценки за урок, помогает студентам обобщить полученные знания, выделив самое существенное (используется плакат № 5 «Методы решения показательных уравнений»).

Урок проведен методом дидактической игры, что способствовало раскрепощению, организации послепроизвольного внимания, активизации умственной деятельности студентов. На протяжении всего урока студенты демонстрировали отличную дисциплину, высокий уровень активности, заинтересованности содержанием урока. Хорошо представленные наглядные средства обучения, содержательные примеры применения учебного материала в других дисциплинах и игровая форма проведения урока способствовали развитию интереса к математике, стремлению к активной познавательной и творческой деятельности и проявлению инициативы. Увлекательная сюжетно-ролевая основа и использование элементов групповой работы позволили достичь всех намеченных воспитательных целей урока. На данном уроке студенты продемонстрировали высокое качество усвоения знаний («отлично» - 6 студентов, «хорошо» - 5 студентов; «удовлетворительно» - 1 студент).

8. Домашнее задание

Алгебра и начала анализа /под ред. Г. Н. Яковлева, ч.1, с. 166-169, упр.11 (а, б, д, ж).