Конспект урока по математике по теме «Сумма углов треугольника»

Цель:

исследовать свойства треугольника, указать некоторые условия существования треугольника.

Задачи:

1. повторить с углублением изученного материала теоремы о свойствах параллельных прямых, о сумме углов треугольника и внешнем угле треугольника;

2. повторить ранее изученные приемы решения задач и познакомиться с новым приемом;

3. способствовать развитию комбинаторных способностей и пространственного воображения учащихся, умения анализировать, сравнивать, делать вы­воды;

4. содействовать выработке умения самоконтроля через умышлено допущены ошибки, которые учащиеся должны обнаружить;

5. создать условия для поддержания и развития интереса к предмету через представление исторических фактов;

6. способствовать формированию коммуникативной культуры через организацию работы в группах;

7. способствовать воспитанию чувства коллективизма, ответственности, активности, взаимопомощи.

Ход урока.

I. Организационный момент. Проверка готовности к уроку обучающихся, тестирование оборудования.

II. Целеполагание и мотивация учебной деятельности.

Учитель: Добрый день! Сегодня у нас последний урок по теме: «Сумма углов треугольника». Этот урок является мостиком между темами «Параллельность прямых» и «Прямоугольные треугольники».

Мы повторим признаки и свойства параллельных прямых, вспомним некоторые известные свойства треугольников и, может быть, сумеем открыть новые. Главное место в нашем разговоре займет, конечно же, теорема о сумме углов треугольника.

III. Актуализация и коррекция опорных знаний.

1. Фронтальная устная работа по решению опорных задач.

Обучающимся предложены 4 основные и 2 дополнительные задачи на готовых чертежах. Если группа справилась со своей задачей, можно подумать над дополнительными.

(На экране появляются чертежи, соответствующие задачам. Одна команда отвечает, другие комментируют ответ.)

Учитель: Что вы использовали при решении задач? 

После ответов учащихся на экране появляется вывод:

При решении задач «на треугольники» оказываются полезными:

Теорема о внешнем угле треугольника.

Прием «считаем парами».

2. Презентация домашней задачи.

Теорема о сумме углов треугольника была известна еще в Древней Греции. Геометрия получила широкое развитие, прежде всего, в связи с её практическим применением.

Обогащенные геометрическими знаниями, люди производили те или иные расчеты, изобретали приборы. Вот один из них (на экране появляется рисунок).

Для измерения величины угла между наклонной и горизонтальными прямыми на местности используют эклиметр, принцип действия которого ясен из рисунка. (ОР – нить с грузиком, отвес) Доказать, что нить ОР показывает на шкале величину искомого угла.

Эта дополнительная задача к домашней работе.

3. Проверка домашнего задания

Задача. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С, на стороне АВ выбрана точка М так, что МС=МВ. Установить вид треугольника ВСМ.

Решение: ∠А+∠В+∠С=180°, a + b + 90=180°, a + g =90°. Следовательно b = g. Треугольник ВСМ – равнобедренный.

Учитель: На основании рассмотренной задачи, сформулируем  свойство прямоугольного треугольника (на экране появляется текст с пропусками):

«Если точка М ... (гипотенузы) АВ такова, что МА=МС, то СМ - ... (медиана) треугольника АВС и равна ... (половине гипотенузы)».

Весь материал - в документе.

Урок геометрии в 7 классе

Тема: Сумма углов треугольника

Цель: исследовать свойства треугольника, указать некоторые условия существования треугольника.

Задачи:

1. повторить с углублением изученного материала теоремы о свойствах параллельных прямых, о сумме углов треугольника и внешнем угле треугольника;

2. повторить ранее изученные приемы решения задач и познакомиться с новым приемом;

3. способствовать развитию комбинаторных способностей и пространственного воображения учащихся, умения анализировать, сравнивать, делать вы­воды;

4. содействовать выработке умения самоконтроля через умышлено допущены ошибки, которые учащиеся должны обнаружить;

5. создать условия для поддержания и развития интереса к предмету через представление исторических фактов;

6. способствовать формированию коммуникативной культуры через организацию работы в группах;

7. способствовать воспитанию чувства коллективизма, ответственности, активности, взаимопомощи.

Оборудование:

1. интерактивная доска;

2. презентация в Power Point;

3. плакаты с высказываниями ученых, содержащие исторические сведения и познавательную информацию;

4. раздаточный материал – карточки.

Класс разделен на четыре равные по силе группы. У каждой группы есть ассистент (старшеклассник). На перемене производится жеребьевка. Капитаны случайным образом берут карточки, в которых указаны очередность ответов, номера задач.

Ход урока.

1. Организационный момент. Проверка готовности к уроку обучающихся, тестирование оборудования

1. Целеполагание и мотивация учебной деятельности

Учитель: Добрый день! Сегодня у нас последний урок по теме: «Сумма углов треугольника». Этот урок является мостиком между темами «Параллельность прямых» и «Прямоугольные треугольники». Мы повторим признаки и свойства параллельных прямых, вспомним некоторые известные свойства треугольников и, может быть, сумеем открыть новые. Главное место в нашем разговоре займет, конечно же, теорема о сумме углов треугольника.

1. Актуализация и коррекция опорных знаний

1. Фронтальная устная работа по решению опорных задач

Обучающимся предложены 4 основные и 2 дополнительные задачи на готовых чертежах. Если группа справилась со своей задачей, можно подумать над дополнительными.

(На экране появляются чертежи, соответствующие задачам. Одна команда отвечает, другие комментируют ответ.)

Учитель: Что вы использовали при решении задач?

После ответов учащихся на экране появляется вывод:

При решении задач «на треугольники» оказываются полезными:

Теорема о внешнем угле треугольника.

Прием «считаем парами».

1. Презентация домашней задачи.

Теорема о сумме углов треугольника была известна еще в Древней Греции. Геометрия получила широкое развитие, прежде всего, в связи с её практическим применением. Обогащенные геометрическими знаниями, люди производили те или иные расчеты, изобретали приборы. Вот один из них (на экране появляется рисунок). Для измерения величины угла между наклонной и горизонтальными прямыми на местности используют эклиметр, принцип действия которого ясен из рисунка. (ОР – нить с грузиком, отвес) Доказать, что нить ОР показывает на шкале величину искомого угла. Эта дополнительная задача к домашней работе.

3.Проверка домашнего задания

Задача. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С, на стороне АВ выбрана точка М так, что МС=МВ. Установить вид треугольника ВСМ.

Решение: А+В+С=180,  +  + 90=180,  +  =90. Следовательно  = . Треугольник ВСМ – равнобедренный.

Учитель: На основании рассмотренной задачи, сформулируем свойство прямоугольного треугольника (на экране появляется текст с пропусками):

«Если точка М ... (гипотенузы) АВ такова, что МА=МС, то СМ - ... (медиана) треугольника АВС и равна ... (половине гипотенузы)».

Используем этот важный вывод для обоснования самого наглядного доказательства теоремы о сумме углов треугольника с помощью бумажного треугольника.

4.Презентация по теме: «Обоснование «доказательства» теоремы о сумме углов треугольника с помощью листа бумаги» (индивидуальное домашнее задание)

5. Оценка готовности к восприятию нового материала.

Командиры групп подводят промежуточные результаты, отмечают вклад каждого обучающегося в работу на данном этапе.

Учитель: в результате рассмотрения домашней задачи мы установили некоторые свойства прямоугольного треугольника. Подробнее о прямоугольных треугольниках мы поговорим на будущих уроках. А пока еще раз обратимся к теме: «Равнобедренный треугольник».

1. Решение задач

1. Работа в группах с представлением результатов у доски и оцениванием решения представителями команд-соперников.

Задача №1. В равнобедренном треугольнике АВС (АВ=ВС) на стороне ВС выбрана такая точка D, что ВАD = 2DАС. Чему может равняться угол В этого треугольника, если известно, что треугольник АВD тоже равнобедренный?

Представитель одной из команд решает задачу на доске. Представители других команд комментируют ответ.

Решение:

а) По теореме о сумме углов треугольника ABD,  ADB = 180-4x. ADB – внешний угол треугольника ADC, следовательно  ADB = 4x. Составив и решив уравнение, найдем, что B = 45

б) Так как треугольник ADB - равнобедренный, то ABD = ADB = (180-2х):2=90-х. ADB – внешний угол треугольника ADC, следовательно ADB=4x. Составив и решив уравнение, получим что B = 72

в) Рассматривая полученное аналогичным образом уравнение, приходим к выводу, что такой случай невозможен.

Отв. 72° или 45°.

Учитель: Какие выводы можно сделать на основании решения данной задачи?

(После ответов учащихся на экране появляется вывод)

Если в условии задачи присутствует неопределенность, то необходимо рассматривать все возможные случаи.

Прием «вычисление суммы двумя способами» помогает связать неизвестные величины уравнением

Задача №2. Отрезок AL делит треугольник АВС на два равнобедренных треугольника. Чему может быть равен наибольший угол исходного треугольника, если ВАС=48°?

Учитель: Некто решил эту задачу. Разберитесь в чертежах и закончите решение.

(На экране появляются чертежи)

Решение: а) ALC и ALB смежные, однако  +  = 180º невозможно, т.к. В и С односторонние  было бы АВАС

б) ALB – внешний угол треугольника ALC   = 2. Сумма углов треугольника ALB равна 180º , поэтому ВАL = 180º - 2. Зная, что ВАС = 48°, составляем уравнение: 180 - 4 +  = 48, =44. А=48º, В=44º, С=88º. Проверка: 48+44+88=180. Наибольший угол равен 88º.

Учитель: Я предлагаю вам ознакомиться с третьим случаем, и сделать вывод, который пригодится нам при решении следующей задачи.

в) Так как ∆АСL – равнобедренный, то углы при основании равны. Пусть АСL= АLС=. Так как ∆АВL – равнобедренный, то углы при основании равны. Пусть LАВ= АLВ=.

АLВ – внешний угол ∆АСL, следовательно, CAL=-. АLС – внешний угол ∆АВL, следовательно, ABL=-.

Зная, что ВАС=48°, составляем уравнение: 2--48. Зная, что АLС и АLВ смежные, составляем уравнение: +=180

Решаем систему уравнений. Окончательно имеем: А=48º (по условию), В=-=28º, С==104º

Проверка: 48+28+104=180º

Все ли верно?

Обучающиеся, многократно читая предложенный текст, проверяя и перепроверяя себя и товарищей, чувствуют что «что-то здесь не так», хотя ошибку не находят.

На экране возникает чертеж с числовыми даными.

После ответов учащихся на экране появляется вывод:

в равнобедренном треугольнике углы при основании могут быть только острыми.

Замечание. Система должна была иметь вид: . Дальнейшее решение этой задачи будет рассмотрено на факультативе.

Задача №3. (Закрепление сделанного вывода.) Существует ли выпуклый четырехугольник АВСD и точка М внутри него такие, что МА=АВ, МВ=ВС, МС=СD, МD=АD?

Решение. Так как ∆АВМ, ∆ВСМ, ∆МСD, ∆АМD – равнобедренные, то углы при основании острые. , , , . +++,

С другой стороны, сумма углов при вершине М равна 360º. Пришли к противоречию.

Ответ: Такого четырехугольника не существует.

После ответов учащихся на экране появляется вывод:

Оценка суммы помогает решить задачу.

1. Индивидуальная работа с самопроверкой решения

Задача-аукцион. К треугольнику АВС (А=20º, В=50º, С=110º) пристроили равнобедренный треугольник так, что получился новый треугольник. Сколькими способами это можно сделать? Вычислите углы нового треугольника.

Решение задачи каждый ученик выполняет на выданном ему листе с таблицей, в каждой ячейке которой изображен один и тот же треугольник. Постепенно на экране появляются карточки с ответами.

Ответы:

1. Рефлексия. Группы используют методику «Я, мы, дело» для характеристики учебной деятельности каждого обучающегося, группы, класса в целом. Учитель оценивает работу на уроке, выставляет оценки.