Конспект урока по информатике «Системы счисления. Непозиционные и позиционные системы счисления. Перевод целых и дробных чисел из n-ой в 10-ую СС»

Цели урока:

- Образовательная:

рассмотреть историю систем счисления, деление на позиционные и непозиционные, дать понятие системы счисления, ее алфавита и основания, дать формулу развернутой записи числа, научить переводить целые и дробные числа из n-ой системы счисления в десятичную;

- Воспитательная:

способствовать воспитанию понимания значения чисел в истории человечества;

- Развивающая:

способствовать развитию кругозора, развитию аналитического мышления и навыков обработки информации.

План урока:

1. Организация начала урока.

2. Изучение нового материала.

3. Закрепление знаний.

4. Подведение итогов урока.

5. Домашнее задание.

Ход урока.

1. Организация начала урока.

Организационный момент. Приветствие. Сообщение темы, цели и плана урока.

2. Изучение нового материала.

Мы с вами сегодня попытаемся раскрыть историю возникновения чисел и углубиться в мир систем счисления.

Давайте проанализируем запись числа с использованием арабских цифр, например, 111 и запись числа с использованием римских цифр, например III. «Чем отличается принцип получения значения многоразрядных чисел, записанных арабскими и римскими цифрами?»

Итак, и в том и в другом способе записи числа используют определенные цифры и имеются правила, которые позволяют понять значение числа по их записи, позволяют выполнять операции с числами.

Давайте запишем определение:

Система счисления – это способ представления чисел с помощью цифр и соответствующие правила действия над числами.

Однако в римском способе записи чисел значение цифры не зависит от ее позиции, а в арабском - зависит. Вспоминаем, что же такое непозиционная и позиционная системы счисления? В непозиционной системе счисления значение цифры не зависит от ее позиции. В позиционной системе счисления значение цифры зависит от ее позиции.

Самой распространенной из непозиционных систем счисления является римская. В качестве цифр используются буквы…

Значение цифры не зависит от ее положения в числе. Величина числа в римской системе счисления определяется как сумма или разность цифр в числе. Если меньшая цифра стоит слева от большей, то она вычитается, если справа – прибавляется.

В числе XXX цифра X встречается трижды и в каждом случае обозначает одну и ту же величину – 10. Так как величина используемой цифры одинакова, то получаем: XXX= 10+10+10=30.

В числе VII использованы цифры V, I, I. В данном случае меньшая цифра стоит справа от большей, поэтому мы прибавляем значение данных цифр и получаем: VII = 5+1+1=7.

В числе IV тоже использованы цифры V, I, но в данном случае меньшая цифра расположена слева от большей, поэтому мы вычитаем из большего значения меньшее и получаем: IV= 5-1=4.

В непозиционных системах счисления выполнять вычисления неудобно, потому что запись больших чисел требует введения новых символов, а также невозможно представлять дробные и отрицательные числа, сложно выполнять простейшие арифметические операции.

Первая позиционная система счисления была придумана еще в древнем Вавилоне, причем вавилонская нумерация была шестидесятеричной, так как в ней использовалось 60 цифр. При измерении времени мы до сих пор ее используем (основание равно 60 – в 1часе – 60 минут, в минуте – 60 секунд).

Наиболее известна десятичная позиционная система счисления. В Индии впервые появилась знакомая всем нам сегодня десятичная система счисления.

Позиционных систем счисления существует бесконечное множество и отличаются они друг от друга алфавитом (упорядоченное множество цифр) и основанием (количество цифр в алфавите). 

Давайте рассмотрим алфавиты различных позиционных систем счисления…

В системах счисления с основанием не больше 10 используют только арабские цифры, а если основание больше 10, то используют латинские буквы в алфавитном порядке (к примеру, шестнадцатеричная система счисления).

Для указания на основание системы, которой относится число, вводится индексное обозначение. Например, 25₁₀ - это число указывает, что это десятичная система счисления. Обратите внимание, что нельзя говорить «двадцать пять», правильно произносить – «два пять».

В4₁₆ – шестнадцатеричное число. Индекс всегда записывается десятичным числом, так как в любой системе счисления ее основание будет равно 10 (один, ноль).

Давайте рассмотрим число 532. В нем самая первая цифра обозначает пять единиц, вторая – три десятка и третья – две сотни. Позиция цифры в числе называется разрядом. Разряд числа возрастает справа налево, от младших разрядов к старшим. Число 532 записано в свернутой форме.

Для записи развернутой формы числа необходимо над каждым числом определить степень основания, в которую данное основание системы будет возводиться (начиная с нулевого), с самого крайнего целого числа. 

Весь материал - в документе.

Конспект урока по теме «Системы счисления. Непозиционные и позиционные системы счисления. Перевод целых и дробных чисел из n-ой в 10-ую систему счисления» для 10 (профильного) класса.

Цели урока:

• Образовательная: рассмотреть историю систем счисления, деление на позиционные и непозиционные, дать понятие системы счисления, ее алфавита и основания, дать формулу развернутой записи числа, научить переводить целые и дробные числа из n-ой системы счисления в десятичную;

• Воспитательная: способствовать воспитанию понимания значения чисел в истории человечества;

• Развивающая: способствовать развитию кругозора, развитию аналитического мышления и навыков обработки информации.

Тип урока: Изучение новых знаний.

Формы и методы работы: Лекция, эвристическая беседа, программированный метод.

Материально-техническое обеспечение урока: компьютер, проектор, доска, презентация, выполненная в MS Power Point.

План урока:

1. Организация начала урока.

2. Изучение нового материала.

3. Закрепление знаний.

4. Подведение итогов урока.

5. Домашнее задание.

Ход урока.

1. Организация начала урока.

Организационный момент. Приветствие. Сообщение темы, цели и плана урока.

1. Изучение нового материала.

Мы с вами сегодня попытаемся раскрыть историю возникновения чисел и углубиться в мир систем счисления.

Давайте проанализируем запись числа с использованием арабских цифр, например, 111 и запись числа с использованием римских цифр, например III. «Чем отличается принцип получения значения многоразрядных чисел, записанных арабскими и римскими цифрами?»

Итак, и в том и в другом способе записи числа используют определенные цифры и имеются правила, которые позволяют понять значение числа по их записи, позволяют выполнять операции с числами.

Давайте запишем определение:

Система счисления – это способ представления чисел с помощью цифр и соответствующие правила действия над числами.

Однако в римском способе записи чисел значение цифры не зависит от ее позиции, а в арабском - зависит. Вспоминаем, что же такое непозиционная и позиционная системы счисления? В непозиционной системе счисления значение цифры не зависит от ее позиции. В позиционной системе счисления значение цифры зависит от ее позиции.

Самой распространенной из непозиционных систем счисления является римская. В качестве цифр используются буквы:

Значение цифры не зависит от ее положения в числе. Величина числа в римской системе счисления определяется как сумма или разность цифр в числе. Если меньшая цифра стоит слева от большей, то она вычитается, если справа – прибавляется.

В числе XXX цифра X встречается трижды и в каждом случае обозначает одну и ту же величину – 10. Так как величина используемой цифры одинакова, то получаем: XXX= 10+10+10=30.

В числе VII использованы цифры V,I,I. В данном случае меньшая цифра стоит справа от большей, поэтому мы прибавляем значение данных цифр и получаем: VII = 5+1+1=7.

В числе IV тоже использованы цифры V,I, но в данном случае меньшая цифра расположена слева от большей, поэтому мы вычитаем из большего значения меньшее и получаем: IV= 5-1=4.

В непозиционных системах счисления выполнять вычисления неудобно, потому что запись больших чисел требует введения новых символов, а также невозможно представлять дробные и отрицательные числа, сложно выполнять простейшие арифметические операции.

Первая позиционная система счисления была придумана еще в древнем Вавилоне, причем вавилонская нумерация была шестидесятеричной, так как в ней использовалось 60 цифр. При измерении времени мы до сих пор ее используем (основание равно 60 – в 1часе – 60 минут, в минуте – 60 секунд). Наиболее известна десятичная позиционная система счисления. В Индии впервые появилась знакомая всем нам сегодня десятичная система счисления.

Позиционных систем счисления существует бесконечное множество и отличаются они друг от друга алфавитом (упорядоченное множество цифр) и основанием (количество цифр в алфавите).

Давайте рассмотрим алфавиты различных позиционных систем счисления:

В системах счисления с основанием не больше 10 используют только арабские цифры, а если основание больше 10, то используют латинские буквы в алфавитном порядке (к примеру, шестнадцатеричная система счисления).

Для указания на основание системы, которой относится число, вводится индексное обозначение. Например, 25₁₀ - это число указывает, что это десятичная система счисления. Обратите внимание, что нельзя говорить «двадцать пять», правильно произносить – «два пять».

В4₁₆ – шестнадцатеричное число. Индекс всегда записывается десятичным числом, так как в любой системе счисления ее основание будет равно 10 (один, ноль).

Давайте рассмотрим число 532. В нем самая первая цифра обозначает пять единиц, вторая – три десятка и третья – две сотни. Позиция цифры в числе называется разрядом. Разряд числа возрастает справа налево, от младших разрядов к старшим. Число 532 записано в свернутой форме. Для записи развернутой формы числа необходимо над каждым числом определить степень основания, в которую данное основание системы будет возводиться (начиная с нулевого), с самого крайнего целого числа. В развернутой форме запись числа в десятичной системе счисления будет выглядеть таким образом:

532₁₀= 5*10² + 3*10¹ + 2*10⁰, то есть позиция цифры показывает, в какую степень надо возвести основание в развернутой форме. Итак, мы с вами получили правило позиционной системы счисления: чтобы получить значение числа, надо цифры умножить на основание в степени позиции и сложить.

Для записи десятичных дробей используются разряды с отрицательными значениями степеней основания. Например, число 532, 25 в развернутой форме будет записываться следующим образом:

532,25₁₀ = 5*10² + 3*10¹ + 2*10⁰ + 2*10^-1 + 5*10^-2.

В общем случае в десятичной системе счисления запись числа А₁₀ , которое содержит n целых разрядов числа и m дробных числа, производится следующим образом: A₁₀ = a_n-1*10^n-1 + a_n-2*10^n-2 + …+ a₀*10⁰ + a_-1*10^-1 + a_-2*10^-2 +…+ a_-m*10^-m. Запишите эту формулу в тетради.

Аналогично мы можем получить развёрнутую форму чисел в других системах счисления. Например, для двоичного числа. В двоичной системе счисления основание = 2, а ее алфавит состоит из двух цифр – 0 и 1. Следовательно, числа в двоичной системе в развернутой форме записываются в виде суммы разряда степеней основания 2 с коэффициентами, в качестве которых выступают цифры 0 или 1. Рассмотрим пример двоичной системы счисления, в свернутой форме в двоичной системе выглядит таким образом:

A₂ = 101,01₂.

В развернутой форме число в двоичной системе выглядит так:

A₂ = 1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰ + 0*2^-1 + 1*2^-2 .

В общем случае в двоичной системе счисления запись числа A₁₀ , которое содержит n целых разрядов числа и m дробных числа, производится следующим образом:

A₂ = a_n-1 *2^n-1 + a_n-2 *2^n-2 +…+ a₀ *2⁰ + a_-1 *2^-1 + a_-2 *2^-2 +…+ a_-m *2^-m .

Так в восьмеричной системе основание равно 8, тогда записанное в свернутой форме восьмеричное число A₈ = 673,2₈ в развёрнутой форме будет выглядеть так: A₈ = 6*8² + 7*8¹ + 3*8⁰ + 2*8^-1.

Также в шестнадцатеричной системе счисления основание равно 16, тогда записанное в развернутой форме число A₁₆ = 8A,F₁₆ будет иметь вид:

A₁₆ = 8*16¹ + A*16⁰ + F*16^-1.

Итак, в общем случае в системе счисления с произвольным основанием q запись числа A_q , которое содержит n целых разрядов числа и m дробных разрядов числа, производится следующим образом: A_q = a_n-1 *q^n-1 + a_n-2 *q^n-2 +…+ a₀ *q⁰ + a_-1 *q^-1 + a_-2 *q^-2 +…+ a_-m *q^-m.

Чтобы перевести число, скажем, 12345_N, из системы счисления с основанием в десятичную систему, нужно умножить значение каждой цифры на в степени, равной ее разряду:

4 3 2 10 ← разряды

1 2 3 4 5_N = 1·N⁴ + 2·N³ + 3·N² + 4·N¹ + 5·N⁰

Последняя цифра записи числа в системе счисления с основанием – это остаток от деления этого числа на , две последние цифры – это остаток от деления на , и т.д.

Какой остаток от деления на 8 числа 124? Какие две последние цифры от деления на 2 числа 1352?

У позиционной системы счисления может быть любое основание. Ребята, приведите свои примеры чисел в троичной, пятеричной и других системах счисления, запишите эти числа в развернутой форме.

Теперь, когда мы подробнее познакомились с позиционными системами счисления, давайте поговорим о переводе. Запишите подзаголовок: «Перевод чисел из n-ой системы счисления в 10-ую».

Возьмем произвольное двоичное число, например 1110₂. Запишем его в развернутой форме и произведем вычисления: 1110₂ = 1*2³ + 1*2² + 1*2¹ + 0*2⁰ = 14₁₀.

Возьмем восьмеричное число 67,5₈. Запишем его развернутой форме и произведем вычисления: 6*8¹ + 7*8⁰ + 5*8^-1 = 55,625₁₀.

Возьмем число 19F₁₆ запишем в развернутой форме и произведем вычисления: 19F₁₆ = 1*16² +9*16¹ +F*16⁰ = 1*256 + 9*16 + 15*1= 415₁₀.

Рассмотрим задачу из ЕГЭ.

Найдите основание системы счисления, в которой выполнено сложение: 144 + 24 = 201.

Для решения такого задания составляем уравнение: 144_х + 24_х = 201_х. Запишем в развернутом виде: х² + 4х + 4 + 2х + 4 = 2х² + 1.

х² – 6х – 7 = 0

D = 36 + 4 * 7 = 64.

Отрицательный корень не берем, т.к. он основание системы счисления положительно.

х = 7.

1. Закрепление знаний.

Теперь выполните перевод в десятичную систему счисления самостоятельно. Поочередно вызываются учащиеся для решения к доске, после чего всем классом проверяется и обсуждается решение.

1. 1100001001₂;

2. 1111110110,01₂;

3. 457,3₈;

4. 563,4₈;

5. AE3,6₁₆;

6. F18,C₁₆ .

Задача: Найдите основание системы счисления, в которой выполнено умножение: 3·213 = 1043.

1. Подведение итогов урока.

Итак, сегодня мы узнали краткую историю систем счисления, а также вспомнили определения систем счисления, их алфавита и основания. Кроме того, мы изучили развернутую форму записи числа и научились переводу из n-ой в десятичную систему счисления.

1. Домашнее задание.

Выполните перевод в десятичную систему счисления:

1. 1100000000₂;

2. 1101011111₂;

3. 1011001101,00011₂;

4. 746,1₈;

5. 174,2₈;

6. E26,A₁₆;

7. B4B,7₁₆ .

Задачи из ЕГЭ:

1. В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 83 записывается в виде 123. Укажите это основание.