Классификация квадратных уравнений и уравнений, приводимых к ним

Цели урока: 

Образовательные: систематизировать и обобщить материал по данной теме.

Развивающие: продолжить работу по формированию у учащихся умений проводить обоснования, делать выводы, выделять главное в изучаемом материале.

Воспитательные: прививать навыки самостоятельности, активизировать наблюдательность.

Равенство, содержащее переменные, называется уравнением.

Корнем уравнения с одной переменной называется такое значение переменной, при котором уравнение превращается в верное равенство.

Решить уравнение –значит, найти все его корни или доказать, что оно корней не имеет.

КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ

Квадратным называют алгебраическое уравнение 2-ой степени, т.е. уравнение вида ax²+bx+c=0, где а≠0. (1)

Выражение D=b²-4ac называют дискриминантом квадратичного трехчлена ax²+bx+c. При этом если D>0, то корни действительные и различные, при D=0 корни совпадают (говорят, что уравнение имеет корень кратности два), при D<0 корни комплексные (комплексно сопряжённые).

Эти соотношения называют теоремой Виета, по имени французского математика Ф. Виета (1540÷1603).

Особенно удобна эта теорема для приведенного квадратного уравнения. Формула корней квадратного уравнения «переоткрывалась» неоднократно.

Один из первых, дошедших до наших дней выводов этой формулы принадлежит индийскому математику Брахмагупте (около 598г.). Среднеазиатский ученый ал-Хорезми (IX в.) в трактате «Китаб аль-джебр валь -мукабала» получил эту формулу методом выделения полного квадрата с помощью геометрической иллюстрации.

 К квадратным уравнениям сводятся многие уравнения путем замены переменной.

Приведём некоторые примеры.

1. Биквадратное уравнение сводится к квадратному заменой переменной

2. Уравнение заменой сводится к квадратному уравнению ,корни которого равны . Из двух уравнений и действительные решения имеет только первое : .

3. Уравнения сводятся к квадратным заменам соответственно и .

4. Уравнение сводится к квадратному уравнению заменой

Вообще, замена - одна из наиболее часто встречающихся.

Например ,с помощью такой замены к квадратному уравнению (после деления обеих частей уравнения на ) сводится уравнение вида . (2)

Уравнение (2) обычно называют возвратным или обобщенно-симметрическим.

Однородные уравнения и сводятся к квадратным уравнениям относительно заменами соответственно и после деления обеих частей первого уравнения на ,второго - на .

Для второго уравнения предварительно проверяется, удовлетворяют ли уравнению те значения , для которых .

6. Уравнение «симметричное» относительно ,сводится к биквадратному уравнению заменой ; аналогично уравнение , «симметричное» относительно ,сводится к биквадратному уравнению заменой.

Классификация к вадратны х уравнени й и уравнений, приводимых к квадратным учитель математики ГБОУ Лицей «МКШ им. В.Н. Челомея» города Байконур Калиева У.А.

Квадратное уравнение

Квадратным называют алгебраическое уравнение 2-ой степени, т.е. уравнение вида

ax ²+ bx + c =0 , где а≠0 . (1)

Основные способы решения

квадратных уравнений

• с помощью дискриминанта
• с помощью теоремы Виета
• графический способ
• разложение на множители
• по коэффициентам
• выделением квадрата двучлена

Решение

Решим квадратное уравнение x ²-5 x +4=0

С помощью дискриминанта

D = b ²-4 ac

D =5²-4*4*1=9

Решение

Решим с помощью теоремы Виета:

y = x 2 -5x+4

Решение

Решим уравнение x ²-5 x +4=0 .

Графическим способом.

у

у

y = 0

0

х

1

4

Решение

Решим уравнение разложением на множители :

Решение

  Решим это уравнение по коэффициентам:

Если a+b+c=0 , то Если a-b+c=0 , то

Решение

Решим уравнение выделением квадрата

двучлена:

или

х=4 х=1

Уравнения приводящиеся к квадратным

• Биквадратные
• Симметричные
• Однородные
• Возвратные или

обобщенно-симметрические

• Логарифмические
• Показательные
• Тригонометрические

Уравнения приводящиеся к квадратным

1.Биквадратное уравнение

сводится к квадратному заменой x ²

переменной y.

Уравнения приводящиеся к квадратным

3.Уравнение

сводится к квадратному уравнению заменой

Из уравнений

и

корни имеет только второе :

Уравнения приводящиеся к квадратным

4 .Вообще, замена – одна из наиболее часто

встречающихся. Например, с помощью такой замены

к квадратному уравнению (после деления обеих

частей уравнения на ) сводится уравнение вида

.

  Уравнение этого вида обычно называют возвратным

или обобщенно-симметрическим.

Уравнения приводящиеся к квадратным

6 . Уравнение

«симметричное» относительно ,сводится к

биквадратному уравнению заменой y=x+1 ;

аналогично уравнение ,

«симметричное» относительно x+3 , сводится к

биквадратному уравнению заменой y=x+3 .

Отметим ,что для второго уравнения годится и замена

, тогда .

Основные способы решения уравнений приводящихся к квадратным уравнениям

• Замена переменной
• Разложением на множители
• Доведением до полного квадрата
• С помощью теоремы Безу
• С помощью схемы Горнера

Решение квадратных уравнений и приводящихся к ним .

x 4 + 4 x 2 –21 = 0 – биквадратное уравнение.

Пусть x 2 = t , t ≥ 0, тогда получим уравнение t 2 – 4 t -21 = 0.

По обратной теореме Виета t 1 = – 7, t 2 = 3.

t = – 7 ― не удовлетворяет условию t ≥ 0 , поэтому решим уравнение:

Решение квадратных уравнений и приводящихся к ним .

Однородное уравнение относительно и .

Разделим обе части уравнения на и получим:

Пусть , тогда

Для нахождения x решаем совокупность уравнений:

1)

2)

0. откуда или и Решая полученные уравнения, находим   " width="640"

Решение квадратных уравнений и приводящихся к ним .

ОДЗ:

Пусть , тогда и уравнение примет вид

- не удовлетворяет условию t0.

откуда

или и

Решая полученные уравнения, находим

Решение квадратных уравнений и приводящихся к ним .

t 2 – 6 t + 1 = 0

Ответ: х =  2

Решение квадратных уравнений и приводящихся к ним .

а 2 + а – 2 = 0

а = 1

Ответ: х = 0, 1

Решение квадратных уравнений и приводящихся к ним .

ОДЗ:



.

Ответ:

С П А С И Б О

З А

В Н И М А Н И Е!