Исследовательская работа по теме Тригонометрические уравнения и методы рационализации их решения

Простейшие тригонометрические уравнения.

1. sinx = a, |a| 1

x = (–1 ) k arcsin a +  k , k 

Частные случаи:

2. cos x = a , |a| 1

x = ± arccos a + 2 k , k 

Частные случаи:

3. tg x = a , a 
x = ± arctg a +  k , k 

Основные типы тригонометрических уравнений.

1. Уравнения, сводящиеся к простейшим.

2. Уравнения, сводящиеся к квадратным.

3. Однородные уравнения: asinx + bcosx = 0,    a sin 2 x + b sinxcosx + c cos 2 x = 0.

4. Уравнения вида a sinx + b cosx = с , с ≠ 0.
   

5. Уравнения, решаемые разложением на множители.

6. Нестандартные уравнения.

Тригонометрическое уравнение — уравнение, содержащее неизвестное под знаком тригонометрической функции.

Основные методы решения тригонометрических уравнений.

1. Метод разложения на множители

Если уравнение  f(x)=0 удаётся преобразовать к виду f1(x)⋅f2(x)=0, то либо f1(x)=0, либо f2(x)=0.

В подобных случаях задача сводится к решению совокупности уравнений: f1(x)=0; f2(x)=0.

Пример:

решить уравнение методом разложения на множители (sinx−13)(cosx+25)=0.

Задача сводится к решению совокупности уравнений: sinx=13;cosx=−25.

Из этих уравнений находим соответственно: x=(−1)karcsin13+πk,k∈Z;x=±arccos(−25)+2πk,k∈Z.

Обрати внимание!

Учти, что переход от уравнения f1(x)⋅f2(x)=0 к совокупности уравнений f1(x)=0; f2(x)=0 не всегда безопасен.

Пример:

рассмотрим уравнение tgx(sinx−1)=0.

Из уравнения tgx=0 находим: x=πk,k∈Z.

Из уравнения sinx=1 находим: x=π2+2πk,k∈Z.

Но включить оба решения в ответ нельзя, т. к. при значениях x=π2+2πk,k∈Z, входящий в заданное уравнение множитель tgx не имеет смысла, т. е. значения x=π2+2πk,k∈Z, не принадлежат области определения уравнения, это посторонние корни.

2. Метод введения новой переменной

Пример:

решить уравнение методом введения новой переменной 2sin2x−5sinx+2=0.

Введём новую переменную z=sinx, тогда уравнение можно записать как 2z2−5z+2=0.

Находим корни данного уравнения: z1=2,z2=12. Значит, либо sinx=2, либо sinx=12.

Уравнение sinx=2 не имеет корней, а из уравнения sinx=12 находим: x=(−1)karcsin12+πk,k∈Z;x=(−1)kπ6+πk,k∈Z.