Интегрированный урок по теме: «Обыкновенные дроби» (обобщение и закрепление материала по математике в 6 классе)

«Человек подобен дроби: числитель - это он сам, а знаменатель то, что он о себе думает. Чем больше знаменатель, тем меньше дробь».

Л.Н. Толстой

Интегрированный урок

по теме:

«Обыкновенные дроби»

(обобщение и закрепление материала по математике в 6 классе)

Область интеграции: математика+ история

Учебник: Математика, 6 класс, учебник для учащихся общеобразовательных организаций, Зубарева И.И., Мордкович А.Г., 2014

Автор: Бурдонос Наталия Викторовна, учитель математики МБУ «Школа №41» г. Тольятти

Соавтор: Неплюева Галина Валентиновна, учитель истории МБУ «Школа №41» г. Тольятти

Цели урока:

ознакомить учащихся с историей происхождения дробей; показать историческую преемственность дробей,

убедить учащихся в простоте и удобстве современной системы счисления; выработать умения решения задач с использованием сведений из истории математики.

систематизировать, обобщить, расширить знания и умения обучающихся, связанные с действиями с обыкновенными дробями;

содействовать развитию математического мышления;

3)побуждать обучающихся к преодолению трудностей в процессе умственной деятельности.

Оборудование: компьютер, презентация к уроку по теме «Обыкновенные дроби», Карта Древнего мира

Ход урока

Сегодня на уроке мы подводим итог большой темы: “Обыкновенные дроби”. Но наш урок будет не совсем обычным; мы не только будем решать задачи, но и узнаем о происхождении дробей и их роли в жизни древних людей. Для этого мы отправимся в путешествие по разным странам и поможет нам в этом путешествии карта древнего мира и наш учитель истории. Кстати, а зачем человеку дроби? Когда он их изобрел? Ответы на эти вопросы и будут целью нашего урока, а заодно, мы еще и повторим материал, решая задачи.

Чтобы наш урок был плодотворным, давайте последуем совету китайских мудрецов, который гласит:

“Я слышу – я забываю,
я вижу – я запоминаю,
я делаю – я понимаю”.

Обратите внимание на сайд. Что объединяет все эти картинки и как они могут подсказать нам тему урока?

(на слайде: Мелкие свинцовые шарики для стрельбы из охотничьего ружья, Барабан и палочки-барабанная дробь (барабан издает частые прерывистые звуки)

Ответ: это дроби

Учитель истории: Что когда-то стало первой дробью?

Ответ: половинка

Учитель истории: О происхождении дробей вспомним, прогулявшись по карте Древнего мира.

Необходимость в дробных числах возникла уже в первобытном обществе. Уже дележ добычи, состоявший из нескольких убитых животных, между участниками охоты, когда число животных оказывалось не кратным числу охотников, могло привести первобытного человека к понятию о дробном числе, ведь результат дележа не всегда удавалось выразить натуральным числом.

Таким образом, в связи с необходимой производственной деятельностью человека в далеком прошлом появились выражения: половина, треть, четверть и т.д. Это позволяет сделать вывод, что дробные числа возникли как результат измерения величин.

Обратимся к истории Древнего Рима. У римлян основной единицей измерения массы служил асс, а также и денежной единицей. Асс делился на 12 равных частей - унций. Со временем унции стали применяться для измерения любых величин. Так возникли римские двенадцатеричные дроби, т.е. дроби у которых знаменатель всегда был двенадцать

Обратите внимание на слайд (картинка с двенадцатеричными дробями и римскими названиями: триенс, секстант, бес, сескунция) Характерен следующий отрывок из произведения знаменитого римского поэта I века до нашей эры Горация о беседе учителя с учеником в одной из римских школ той эпохи:

- Учитель: Пусть скажет Сын Альбина, сколько останется, если от пяти унций отнять одну унцию!

- Ученик: Одна треть.

- Учитель: Правильно, ты хорошо знаешь дроби и сумеешь сберечь своё имущество.

Решим ещё две задачи:

Задача 1: От шести унций отнять одну унцию? (6/12 - 1/12 = 5/12).

Задача 2: От десяти унций отнять четыре унции (10/12 - 4/12 = 6/12 = 1/2). Ещё в первом веке до нашей эры выдающийся римский оратор и писатель Цицерон говорил: “Без знания дробей никто не может признаваться знающим арифметику!”.

Даже сейчас иногда говорят: "Он скрупулёзно изучил этот вопрос." Это значит, что вопрос изучен до конца, что не одной самой малой неясности не осталось. А происходит странное слово "скрупулёзно" от римского названия 1/288 асса - "скрупулус".

Учитель математики: В трактате «Об измерении круга» Архимед употребляет вместо 12\13 он пишет 1\2 + 1\3 + 1\13 + 1\78, вместо 5\12 пишет 1\3 + 1\12 и.т.п.

Учитель истории: В Древней Греции жители отделяли арифметику-учение об общих свойствах чисел от логистики-искусства исчисления. Это право-возиться с дробями они отдавали купцам.

.

Учитель математики: Задачки из далекого прошлого. (Древняя Греция ,1 в. до н. э.)

Бассейн может заполнять через четыре фонтана. Если открыт только первый фонтан, бассейн наполнится за день, только второй за два дня. Только третий за три дня, только четвёртый за 4 дня. За какое время наполнится бассейн, если открыты все четыре крана?

Решение:

Посмотрим, сколько бассейнов могут заполнить фонтаны за12 дней.

Первые 12 бассейнов

Второй 6 бассейнов.

Третий четыре бассейна

Четвёртый 3 бассейн. Значит, всего они могут заполнить бассейнов за 12 дней 12+6+4+3=25. Поэтому один бассейн вместе они заполнят за 12:25=

Ответ: 

Учитель истории: Пифагорейцы, много занимавшихся музыкой и обожествлявшие число, считали, что Земля имеет форму шара и находится в центре Вселенной: ведь нет никаких оснований, чтобы она была смещена или вытянута в какую-то одну сторону. Солнце же, Луна и 5 планет (Меркурий, Венера, Марс, Юпитер и Сатурн) движутся вокруг Земли. Расстояния от них до нашей планеты таковы, что они как бы составляют семиструнную арфу, и при их движении возникает прекрасная музыка – музыка сфер. Обычно люди не слышат её из-за суеты жизни, и лишь после смерти некоторые из них смогут насладиться ею. А Пифагор слышал её при жизни.

Его ученики – пифагорейцы, много занимавшиеся музыкой и обожествлявшие число, исследовали, насколько повышается тон струны, если её прижать посередине, или на четверть расстояния одного из концов, или на треть. Обнаружилось, что одновременное звучание двух струн приятно для слуха, если длины их относятся как 1:2, или 2:3, или 3:4, что соответствует музыкальным интервалам в октаву, квинту и кварту. Гармония оказалась тесно связанной с дробями, что подтверждало основную мысль пифагорейцев: «число правит миром».

Так дроби сыграли определяющую роль в музыке. И сейчас в общепринятой нотой записи длинная нота – целая – делится на половинки (вдвое короче), четверти, восьмые, шестнадцатые и тридцать вторые.

Учитель истории: А теперь давайте отправимся в Древний Египет, посмотрим на знаменитые египетские пирамиды. Для того чтобы строить такие пирамиды мастера должны были знать дроби. Например, высота одной из пирамид 148,5 м. В древнем Египте пользовались только простейшими дробями, у которых числитель равен единице (те, которые мы называем «долями»). Математики называют такие дроби аликвотными (от лат. aliquot – несколько). Так же используется название основные дроби или единичные дроби.

Слайд (изображение пирамид и египетские расчеты.)

Учитель истории: Египтяне использовали только две дроби, не являющиеся долями – две трети и три четверти. Эти дроби часто встречались в вычислениях. Для них существовали специальные символы, был специальный знак и для дроби 1/2.

На протяжении многих веков египтяне именовали дроби “ломаным числом”, а первая дробь, с которой они познакомились была 1/2. За ней последовали 1/4, 1/8, 1/16, …, затем 1/3, 1/6, …, т.е. самые простые дроби называемые единичными. У них числитель всегда единица)

А теперь вам представят результаты своих поисков ваши одноклассники-исследователи. (Краткие сообщения учащихся по истории дробей в Индии, Аравии, Вавилонии, Китае).

Дроби в Индии.

 Современную систему записи дробей создали в Индии. Только там писали знаменатель сверху, а числитель снизу, и не писали дробной черты. Зато вся дробь помещалась в прямоугольную рамку. Иногда использовалось и «трехэтажное» выражение с тремя числами в одной рамке; в зависимости от контекста это могло обозначать неправильную дробь (a + b/c) или деление целого числа a на дробь b/c. Правила действий над дробями почти не отличались от современных.      

Дроби  у  арабов.

  Записывать дроби как сейчас стали арабы. Средневековые арабы пользовались тремя системами записи дробей. Во-первых, на индийский манер записывая знаменатель под числителем; дробная черта появилась в конце XII – начале XIII в. Во-вторых, чиновники, землемеры, торговцы пользовались исчислением аликвотных дробей, похожим на египетское, при этом применялись дроби со знаменателями, не превышающими 10 (только для таких дробей арабский язык имеет специальные термины); часто использовались приближенные значения; арабские ученые работали над усовершенствованием этого исчисления. В-третьих, арабские ученые унаследовали вавилонско-греческую шестидесятеричную систему, в которой, как и греки, применяли алфавитную запись, распространив ее и на целые части.

Дроби в Вавилоне

  Вавилоняне пользовались всего двумя цифрами. Вертикальная черточка обозначала одну единицу, а угол из двух лежащих черточек – десять. Эти черточки у них получались в виде клиньев, потому что вавилоняне писали острой палочкой на сырых глиняных дощечках, которые потом сушили и обжигали.

  В древнем Вавилоне предпочитали постоянный знаменатель, равный 60-ти. Шестидесятеричными дробями, унаследованными от Вавилона, пользовались греческие и арабские математики и астрономы. Исследователи по-разному объясняют появление у вавилонян шестидесятеричной системы счисления. Скорее всего здесь учитывалось основание 60, которое кратно 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 и 60, что значительно облегчает всякие расчеты. В Древнем Вавилоне уровень культуры был достигнут в третьем тысячелетии до нашей эры. Писали не на папирусах, а на глиняных табличках (папирус там не рос) тонко заострённой палочкой.

Учитель математики: А как называется такое письмо, мы сейчас узнаем, решив самостоятельную работу:

1) 1 - 4\7 = 3\7 (к) 5) 1/2 - 3\4 = 3\4 (о) 9) 10 : 1\ 10 = 100 (ь)

2) 3\7 • 14\9 = 2\3 (л) 6) 1 • 8\9 = 8\9 (п)

3) 0,3 • 5\21 = 1\14 (и) 7) 0 • 1\2 = 0 (и)

4) 5\6 - 1\3= 1\2 (н) 8) 2 3/8 : 12 3/4 = 1\3 (с)

Такое письмо называется клинописью, так как знаки имели вид клиньев.

   Но было неудобно работать над натуральными числами, записанными по десятичной системе, и дробями, записанными по шестидесятеричной.

Учитель истории: Следы вавилонской шестедесятеричной системы счисления удержались и до нашего времени. До наших дней сохранились деление часа на 60 минут, минуты на 60 секунд, окружности на 360 градусов; градуса на 60 минут.

Учитель математики: Задача1: Давайте выразим шестидесятеричные дроби в десятеричной системе счисления (правильными дробями).

18\60; 3250\ 3600 .

Ответ:

18\60=3\10; 3250\ 3600= 65\72.

Дроби в Древнем Китае

  В Древнем Китае уже пользовались десятичной системой мер, обозначали дробь словами, используя меры длины чи: цуни, доли, порядковые, шерстинки, тончайшие, паутинки. Дробь вида 2,135436 выглядела так: 2 чи, 1 цунь, 3 доли, 5 порядковых, 4 шерстинки, 3 тончайших, 6 паутинок. Так записывались дроби на протяжении двух веков, а в V веке китайский ученый Цзу-Чун-Чжи принял за единицу не чи, а чжан = 10 чи, тогда эта дробь выглядела так: 2 чжана, 1 чи, 3 цуня, 5 долей, 4 порядковых, 3 шерстинки, 6 тончайших, 0 паутинок.

Учитель истории: Прекрасно знали дроби и в Древней Руси. Наши предки - славяне пользовались десятичной алфавитной славянской нумерацией.

Над буквами и числами ставился особый знак, названный – титло ~.

Интересно отметить, что, хотя в славянской нумерации запись числа шла слева направо, от высших единиц к низшим, но для чисел от 11 до 19 делалось исключение: сначала писали единицы, а затем знак для 10. В русском языке слово "дробь" появилось лишь в VIII веке. Происходит слово "дробь" от слова "дробить, разбивать, ломать на части". У других народов название дроби также связано с глаголами "ломать", "разбивать", "раздроблять". Первый русский математик, известный нам по имени, монах Новгородского монастыря Кирик занимался вопросами хронологии и календаря. В его рукописной книге «Учение им же ведати человеку числа всех лет» (1136 г.), т.е. «Наставление, как человеку познать счисление лет» применяется деление часа на пятые, двадцать пятые и т.д. доли, которые он называл «дробными часами» или «часцами». В календарном счёте Кирик пользуется конкретными дробями, «дробными числами»: 1/5, 1/25, 1/125 и т. д

В первых учебниках дроби назывались "ломанные числа". В старых руководствах находили следующие названия дробей на Руси:

– половина, полтина, – треть,

– четь, – полтреть,

– полчеть, – полполтреть,

– полполчеть, – полполполтреть (малая треть),

– полполполчеть (малая четь), – пятина,

– седьмина, – десятина.

Учитель математики: Предлагаю решить старинные задачи на дроби

Эти задачи пришли к нам из глубины веков, от наших предков. Разные народы нашей планеты придумывали их, оттачивали условия и логику заданий. Они остроумны и занимательны, в них собраны замечательные находки многих поколений.

Очень многие задачи воспевают смекалку и скорость мышления, благодаря которым обретаешь такие качества, как сообразительность, оригинальность слова и дела, уникальность и мастерство, что всегда было и будет в цене.

Задача №1

Слониха, слонёнок и слон пришли к озеру, чтобы напиться воды. Слон может выпить за 3 часа, слониха за 5 часов, а слонёнок за 6 часов. За сколько времени они выпьют озеро, если будут пить вместе.

а 1 час вместе)

1/3+1/5+1/6=7/10

1:7/10=10/7 Ответ: за 1

Задача№2 (Китай 2в н.э.)

Дикая утка от южного моря до северного моря летит 7 дней. Дикий гусь от северного моря до южного моря летит 9 дней. Теперь дикая утка и гусь вылетают одновременно. Через сколько дней они встречаются?

Решения:

Ответ: за 3

Задача №3

Для переписки сочинения наняты четыре писца. Первый мог бы перепасть сочинения в 24 дня, второй - в 36 дней, третий - в 20 дней, четвёртый – в 18 дней. Какую часть сочинения перепишут они в один день, если будет работать вместе? За сколько времени они, работая вместе, перепишут сочинения?

дня перепишут вместе.

Учитель математики: Первым европейским ученым, который стал использовать и распространять современную запись дробей, был итальянский купец и путешественник Фиббоначи (Леонардо Пизанский). В 1202 году он ввёл слово «дробь. А названия "числитель" и "знаменатель" ввел в XIII веке Максим Плануд - греческий монах, ученый-математик.

Учитель математики: Таким образом ребята единичные дроби дошли до наших дней. Мы с вами знаем и другие дроби (правильные и неправильные). Кстати, египтяне называли ложными неправильные дроби, а реальными правильные.

Давайте вспомним, какие дроби называются правильными, а какие неправильными?

А теперь попробуйте решить несколько заданий. 

Задача 1: Представить 2/4; 5/6; 7/8 в виде суммы единичных дробей или суммы 2/3 и единичных дробей.

Решение:

2/4 = 1/4 + 1/4

5/6 = 1/6 + 4/6 = 1/6 + 2/3

7/8 = 1/8 + 6/8 = 1/8 + 3/4 = 1/8 +1/4 + 1/2

В задачах 7-9 папируса Ахмеса требуется разделить 7 хлебов, 8 хлебов, 9 хлебов между десятью лицами. Ответы выражаются так:

7 : 10 = 2\3 + 1\30;

8 : 10 = 2\3 + 1\10 + 1\30;

9 : 10 = 2\3 + 1\5 + 1\30.

Современная система деления значительно понятней и проще. Проверим, верны ли записи с точки зрения современных обыкновенных дробей?

А эта задачка из учебника ,по которому учились царские дети в России:

Из Л.Ф. Магницкого (Россия 18 век)

Лошадь съедает воз сена за меся, коза за два месяца , овца за три месяца. За какое время лошадь, коза и овца вместе съедят такой же воз сена?

Решение:

За 6 месяцев лошадь съест 6 возов сена, коза 3, а овца 2 воза, вместе всего съедят 11 возов сена. А один воз сена они вместе съедят за 6/11 месяца (число 6 делится на 2 и на3)

Ответ: за 6/11 месяца.

Задача №6

В знаменитой книге мудрец задаёт юной деве следующую задачу: Одна женщина отправилась в сад собирать яблоки. Чтобы выйти из сада, ей нужно было через четыре двери, у каждой из которых стоял стражник. Стражнику у первых дверей отдала половину сорванных яблок. Также она поступила с третьим стражником, то неё осталось лишь 10 яблок. Сколько яблок она собрала в саду?

Ответ: 160 яблок

Учитель математики: Я думаю вы убедились насколько совершенна современная система исчисления.

Учитель истории: И на этом наше путешествие в мир дробей не закончится. Каждый из вас может внести свой вклад в нашу школьную копилочку знаний придумав сказку-путешествие дроби.

Учитель математики: Завершая урок.хочется сказать спасибо прошлому за их знания,спасибо настоящему за сохранение этих знаний,и спасибо вам за участие в этом сохранении. Если понравился урок-приклей на доску уыбающийся смайлик,а если возникли трудности,то приклей знак вопроса. И мы с вами еще раз вернемся к нему.Спасибо за урок.

Литература:

1. .М.Я.Выгодский “Арифметика и алгебра в Древнем мире”(М. Наука,1967г)

2. Г.И.Глейзер “История математики в школе”(М. Просвещение,1964г)

3. Глейзер Г. И. История математики в школе: IV-VI кл. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1981.

4. Виленкин Н.Я. « Из истории дробей»

5. Фридман Л.М.  «Изучаем математику»

6. Учебник: Математика, 6 класс, учебник для учащихся общеобразовательных организаций, Зубарева И.И., Мордкович А.Г., 2014

7. Энциклопедия для детей. Том 11. Математика. Москва, «Аванта+»,1998.

8. http://ru.wikipedia.org/wiki.Материал из Википедии — свободной энциклопедии. http://petrovalydmila1.ucoz.ru/load/istorija_vozniknovenija_drobej/1-1-0-7

9. http://nsportal.ru/ap/library/drugoe/2012/01/16/istoriya-vozniknoveniya-obyknovennykh-drobey