Интегрированный урок по информатике и алгебре «Вычисление площади фигуры сложной формы с помощью определенного интеграла»

Основная цель: «Практическое применение интеграла для вычисления площади фигуры сложной формы. Построение математической модели (Метод Монте - Карло и метод «правых» или «левых» прямоугольников) в среде программирования Pascal ABC для приближенного нахождения площадей фигур».

Задачи:

1. Закрепить практические навыки вычисления интегралов.

2. Закрепить практические навыки программирования численных методов интегрирования.

Первая часть урока:

I Вопросы классу:

по алгебре:

1. Какие ученые занимались изучением интегралов?
2. Какие методы вычисления интеграла Вам известны?
3. Назовите области применения интеграла.

по ИВТ:

4. Какие методы приближенного нахождения площадей фигур Вы можете назвать?
5. Объясните, в чем заключается суть метода Монте - Карло?
6. В чем различие методов «правых» и «левых» прямоугольников?

II Программированный контроль

Ответы: I вариант №2; №5

            II вариант №4; №1

III Проверить полученные результаты любым методом приближенного вычисления площадей фигур.

Программа реализации метода Монте - Карло в среде программирования Pascal ABC:

READ (N); {количество точек, случайным образом выбранное внутри прямоугольника (квадрата), в который вписываем фигуру}

I:=0; М:=0; {количество точек, наугад выбранных внутри фигуры}

WHILE I <= N DO BEGIN

Х:= <число>*RANDOМ; {диапазон, из которого выбираются координаты точки X}

У:= <число>*RANDOМ; {диапазон, из которого выбираются координаты точки Y}

IF <условие> ТНЕN М:= М + 1; { условие попадания точки внутрь фигуры }

I:= I + 1;

END;

S:= <площадь прямоугольника >*M/N;

WRITE (S);

END.

Программа реализации метода «левых» прямоугольников в среде программирования Pascal ABC:

READ (N); {количество точек, разбивающих интервал интегрирования на равные отрезки}

READ (А, В); {интервал интегрирования}

Н:= (В – А) / N; {шаг}

S:= 0; Х:= А; I:= 1;

WHILE I <= N DO BEGIN

S:= S + Y * Н; {У - заданная функция}

Х:= Х + Н;

I:= I + 1;

END;

WRITE (S);

4. Работа по карточкам

Найти все значения а, при которых выполняются условия:

Весь материал – смотрите документ.

ИНТЕГРИРОВАННЫЙ УРОК

Алгебра, ИВТ

Учителя:

Исаева И. Л.

Юрченко Л. В.

Время: 2 часа.

Тема урока: «Вычисление площади фигуры сложной формы с помощью определенного интеграла».

Основная цель: «Практическое применение интеграла для вычисления площади фигуры сложной формы. Построение математической модели (Метод Монте-Карло и метод «правых» или «левых» прямоугольников) в среде программирования Pascal ABC для приближенного нахождения площадей фигур».

Задачи:

1. Закрепить практические навыки вычисления интегралов.

2. Закрепить практические навыки программирования численных методов интегрирования.

Первая часть урока:

I Вопросы классу:

по алгебре:

1. Какие ученые занимались изучением интегралов?

2. Какие методы вычисления интеграла Вам известны?

3. Назовите области применения интеграла.

по ИВТ:

1. Какие методы приближенного нахождения площадей фигур Вы можете назвать?

2. Объясните, в чем заключается суть метода Монте-Карло?

3. В чем различие методов «правых» и «левых» прямоугольников?

II Программированный контроль

Ответы: I вариант №2; №5

II вариант №4; №1

III Проверить полученные результаты любым методом приближенного вычисления площадей фигур.

Программа реализации метода Монте-Карло в среде программирования Pascal ABC:

READ (N); {количество точек, случайным образом выбранное внутри прямоугольника (квадрата), в который вписываем фигуру}

I:=0; М:=0; {количество точек, наугад выбранных внутри фигуры}

WHILE I N DO BEGIN

Х:= *RANDOМ; {диапазон, из которого выбираются координаты точки X}

У:= *RANDOМ; {диапазон, из которого выбираются координаты точки Y}

IF ТНЕN М:= М + 1; { условие попадания точки внутрь фигуры }

I:= I + 1;

END;

S:= *M/N;

WRITE (S);

END.

Программа реализации метода «левых» прямоугольников в среде программирования Pascal ABC:

READ (N); {количество точек, разбивающих интервал интегрирования на равные отрезки}

READ (А, В); {интервал интегрирования}

Н:= (В – А) / N; {шаг}

S:= 0; Х:= А; I:= 1;

WHILE I

S:= S + Y * Н; {У - заданная функция}

Х:= Х + Н;

I:= I + 1;

END;

WRITE (S);

1. Работа по карточкам

Найти все значения а, при которых выполняются условия:

Ответы:

Вторая часть урока:

I Индивидуальные задания

по алгебре:

1. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции у(х) и касательной к нему, проведенной в точке с абсциссой х₀, если:

1) у = -х³ - 2х² - х + 3; хо = -1;

2) у = х³ - 4х² + 4х - 5; хо = 2;

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций у(х):

3) у = 0,5х²-2х-1; у = 6,5-1,5|х-5|;

4) у=-0,5х² + х + 7,5; у = 1,5(|х + 2|-1);

5) у = -4(х + 3)³; у + х = 0; у = 2х;

6) у = 3(х-2)³; у + 3х = 0; у = х

Ответы 1); 2); 3)25,5; 4) 25,5; 5)12; 6)6

по ИВТ:

1. Вычислить площадь фигуры из пункта 2 методом левых или правых прямоугольников и методом Монте-Карло, выполнив построение в табличном процессоре MS Excel. Результаты сравнить.

Задания №3 и №5 выполняют учащиеся за компьютерами с четными номерами.

Приложение 1(Лист5). Приложение5_1. Приложение5_2.

Приложение 1(Лист6). Приложение6_1. Приложение6_2.

Задания №4 №6 выполняют учащиеся за компьютерами с нечетными номерами.

Приложение 1(Лист7). Приложение7_1. Приложение7_2.

Приложение 1(Лист8). Приложение8_1. Приложение8_2.

II Дополнительное задание

Найти все решения уравнения:

а)

б)

в)

Ответы:

а) ;

б) ;

в) ;

Подведение итогов урока: «Выполнив задания урока, обучающиеся закрепили практические навыки вычисления интегралов, полученные на уроках алгебры, и практические навыки программирования численных методов интегрирования, полученные на уроках ИВТ».

Приложение1

Приложение 1_1

Uses crt;

Var

I,M,N: Integer;

X,Y,S:real;

BEGIN

READ (N);

I:=0; M:=0;

WHILE I

X:= 1.8*RANDOM+0.9;

Y:= 2.33*RANDOM+0.37;

IF (Y=1/X) AND (Y

I:= I + 1;

END;

S:= 1.8*2.33*M/N;

WRITE (S);

END.

Приложение2_1

Uses crt;

Var

I,M,N:Integer;

X,Y,S:real;

BEGIN

READ (N);

I:=0; M:=0;

WHILE I

X:= 2*RANDOM;

Y:= 4*RANDOM;

IF (Y=2*X) THEN M:= M + 1;

I:= I + 1;

END;

S:= 2*4*M/N;

WRITE (S);

END.

Приложение3_1

Uses crt;

Var

I,M,N:Integer;

X,Y,S:real;

BEGIN

READ (N);

I:=0; M:=0;

WHILE I

X:= 4*RANDOM+1;

Y:= 4*RANDOM+1;

IF (Y=5/X) THEN M:= M + 1;

I:= I + 1;

END;

S:= 4*4*M/N;

WRITE (S);

END.

Приложение4_1

Uses crt;

Var

I,M,N:Integer;

X,Y,S:real;

BEGIN

READ (N);

I:=0; M:=0;

WHILE I

X:= 3*RANDOM;

Y:= -9*RANDOM;

IF (Y=SQR(X)-6*X) THEN M:= M + 1;

I:= I + 1;

END;

S:= 3*9*M/N;

WRITE (S);

END.

Приложение5_1

Uses crt;

Var

I,M,N:Integer;

X,Y,S:real;

BEGIN

READ (N);

I:=0; M:=0;

WHILE I

X:= 6*RANDOM;

Y:= 9.5*RANDOM-3;

IF (Y=0.5*SQR(X)-2*X-1) THEN M:= M + 1;

I:= I + 1;

END;

S:= 6*9.5*M/N;

WRITE (S);

END.

Приложение5_2

Uses crt;

Var

I,M,N,A,B:Integer;

X,Y,S,H:real;

BEGIN

READ (N);

A:= 0;B:=6;

H:= (B - A) / N;

S:= 0; X:= A; I:= 1;

WHILE I

S:= S + ((6.5-1.5*ABS(X-5))-(0.5*SQR(X)-2*X-1))*H;

X:= X + H;

I:= I + 1;

END;

WRITE (S);

END.

Приложение6_1

Uses crt;

Var

I,M,N:Integer;

X,Y,S:real;

BEGIN

READ (N);

I:=0; M:=0;

WHILE I

X:= -4*RANDOM;

Y:= 8*RANDOM-4;

IF (Y=-4*SQR(X+3)*(X+3)) AND (Y=2*X) AND (Y

I:= I + 1;

END;

S:= 4*8*M/N;

WRITE (S);

END.

Приложение6_2

Uses crt;

Var

I,M,N:Integer;

X,Y,S,H,A,B:real;

BEGIN

READ (N);

A:=-4;B:=4;

H:= (B - A) / N;

S:= 0; X:= A; I:= 1;

WHILE I

IF (X=-4) and (X

IF (X=-2) then S:= S + (2*X-X)*H;

X:= X + H;

I:= I + 1;

END;

WRITE (S);

END.

Приложение7_1

Uses crt;

Var

I,M,N:Integer;

X,Y,S:real;

BEGIN

randomize;

READ (N);

I:=0; M:=0;

WHILE I

X:= 6*RANDOM-3;

Y:= 9.5*RANDOM-1.5;

IF (Y=1.5*(ABS(X+2)-1)) THEN M:= M + 1;

I:= I + 1;

END;

S:= 6*9.5*M/N;

WRITE (S);

END.

Приложение7_2

Uses crt;

Var

I,M,N,A,B:Integer;

X,Y,S,H:real;

BEGIN

READ (N);

A:= -3;B:=3;

H:= (B - A) / N;

S:= 0; X:= A; I:= 1;

WHILE I

S:= S + ((-0.5*SQR(X)+X+7.5)-(1.5*(ABS(X+2)-1)))*H;

X:= X + H;

I:= I + 1;

END;

WRITE (S);

END.

Приложение8_1

Uses crt;

Var

I,M,N:Integer;

X,Y,S:real;

BEGIN

READ (N);

I:=0; M:=0;

WHILE I

X:= 2.9*RANDOM-0.1;

Y:= 5.5*RANDOM-2.7;

IF (Y=-3*X) AND (Y=3*SQR(X-2)*(X-2)) THEN M:= M + 1;

I:= I + 1;

END;

S:= 2.9*5.5*M/N;

WRITE (S);

END.

Приложение8_2

Uses crt;

Var

I,M,N:Integer;

X,Y,S,H,A,B:real;

BEGIN

READ (N);

A:=-0.1;B:=2.8;

H:= (B - A) / N;

S:= 0; X:= A; I:= 1;

WHILE I

IF (X

X:= X + H;

I:= I + 1;

END;

WRITE (S);

END.