ИНТЕГРИРОВАННЫЙ УРОК
Алгебра, ИВТ
Учителя:
Исаева И. Л.
Юрченко Л. В.
Время: 2 часа.
Тема урока: «Вычисление площади фигуры сложной формы с помощью определенного интеграла».
Основная цель: «Практическое применение интеграла для вычисления площади фигуры сложной формы. Построение математической модели (Метод Монте-Карло и метод «правых» или «левых» прямоугольников) в среде программирования Pascal ABC для приближенного нахождения площадей фигур».
Задачи:
1. Закрепить практические навыки вычисления интегралов.
2. Закрепить практические навыки программирования численных методов интегрирования.
Первая часть урока:
I Вопросы классу:
по алгебре:
Какие ученые занимались изучением интегралов?
Какие методы вычисления интеграла Вам известны?
Назовите области применения интеграла.
по ИВТ:
Какие методы приближенного нахождения площадей фигур Вы можете назвать?
Объясните, в чем заключается суть метода Монте-Карло?
В чем различие методов «правых» и «левых» прямоугольников?
II Программированный контроль
I вариант 1. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций: ![](https://fsd.videouroki.net/html/2014/11/27/98693888/98693888_1.png) Приложение1 (Лист1). Приложение1_1. | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
![](https://fsd.videouroki.net/html/2014/11/27/98693888/98693888_2.png) | ![](https://fsd.videouroki.net/html/2014/11/27/98693888/98693888_3.png) | ![](https://fsd.videouroki.net/html/2014/11/27/98693888/98693888_4.png) | ![](https://fsd.videouroki.net/html/2014/11/27/98693888/98693888_2.png) | другой ответ |
2. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой, проходящей через вершину параболы и начало координат. Приложение1 (Лист2). Приложение2_1. | 1 | ![](https://fsd.videouroki.net/html/2014/11/27/98693888/98693888_7.png) | ![](https://fsd.videouroki.net/html/2014/11/27/98693888/98693888_8.png) | другой ответ | ![](https://fsd.videouroki.net/html/2014/11/27/98693888/98693888_9.png) |
II вариант 1. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций: ![](https://fsd.videouroki.net/html/2014/11/27/98693888/98693888_10.png) Приложение1 (Лист3). Приложение3_1. | 4,5 | 12 | ![](https://fsd.videouroki.net/html/2014/11/27/98693888/98693888_11.png) | ![](https://fsd.videouroki.net/html/2014/11/27/98693888/98693888_12.png) | другой ответ |
2. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой, проходящей через вершину параболы и начало координат. Приложение1 (Лист4). Приложение4_1. | 4,5 | 4 | 0,5 | другой ответ | ![](https://fsd.videouroki.net/html/2014/11/27/98693888/98693888_14.png) |
Ответы: I вариант №2; №5
II вариант №4; №1
III Проверить полученные результаты любым методом приближенного вычисления площадей фигур.
Программа реализации метода Монте-Карло в среде программирования Pascal ABC:
READ (N); {количество точек, случайным образом выбранное внутри прямоугольника (квадрата), в который вписываем фигуру}
I:=0; М:=0; {количество точек, наугад выбранных внутри фигуры}
WHILE I N DO BEGIN
Х:= *RANDOМ; {диапазон, из которого выбираются координаты точки X}
У:= *RANDOМ; {диапазон, из которого выбираются координаты точки Y}
IF ТНЕN М:= М + 1; { условие попадания точки внутрь фигуры }
I:= I + 1;
END;
S:= *M/N;
WRITE (S);
END.
Программа реализации метода «левых» прямоугольников в среде программирования Pascal ABC:
READ (N); {количество точек, разбивающих интервал интегрирования на равные отрезки}
READ (А, В); {интервал интегрирования}
Н:= (В – А) / N; {шаг}
S:= 0; Х:= А; I:= 1;
WHILE I
S:= S + Y * Н; {У - заданная функция}
Х:= Х + Н;
I:= I + 1;
END;
WRITE (S);
Работа по карточкам
Найти все значения а, при которых выполняются условия:
Карточка №1 а) ![](https://fsd.videouroki.net/html/2014/11/27/98693888/98693888_15.png) б) ![](https://fsd.videouroki.net/html/2014/11/27/98693888/98693888_16.png) в) ![](https://fsd.videouroki.net/html/2014/11/27/98693888/98693888_17.png) г) ![](https://fsd.videouroki.net/html/2014/11/27/98693888/98693888_18.png) | Карточка №2 а) ![](https://fsd.videouroki.net/html/2014/11/27/98693888/98693888_19.png) б) ![](https://fsd.videouroki.net/html/2014/11/27/98693888/98693888_20.png) в) ![](https://fsd.videouroki.net/html/2014/11/27/98693888/98693888_21.png) г)![](https://fsd.videouroki.net/html/2014/11/27/98693888/98693888_22.png) | Карточка №3 а) ![](https://fsd.videouroki.net/html/2014/11/27/98693888/98693888_23.png) б) ![](https://fsd.videouroki.net/html/2014/11/27/98693888/98693888_24.png) в) ![](https://fsd.videouroki.net/html/2014/11/27/98693888/98693888_25.png) г) |
Ответы:
Карточка №1 а) ; б) ; в) а=1; г) | Карточка №2 а); б) ; в) а=; г) , ; | Карточка №3 а) ; б) ; в) ; г) ![](data:image/png;base64,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) |
Вторая часть урока:
I Индивидуальные задания
по алгебре:
1. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции у(х) и касательной к нему, проведенной в точке с абсциссой х0, если:
1) у = -х3 - 2х2 - х + 3; хо = -1;
2) у = х3 - 4х2 + 4х - 5; хо = 2;
2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций у(х):
3) у = 0,5х2-2х-1; у = 6,5-1,5|х-5|;
4) у=-0,5х2 + х + 7,5; у = 1,5(|х + 2|-1);
5) у = -4(х + 3)3; у + х = 0; у = 2х;
6) у = 3(х-2)3; у + 3х = 0; у = х
Ответы 1)
; 2)
; 3)25,5; 4) 25,5; 5)12; 6)6
по ИВТ:
1. Вычислить площадь фигуры из пункта 2 методом левых или правых прямоугольников и методом Монте-Карло, выполнив построение в табличном процессоре MS Excel. Результаты сравнить.
Задания №3 и №5 выполняют учащиеся за компьютерами с четными номерами.
Приложение 1(Лист5). Приложение5_1. Приложение5_2.
Приложение 1(Лист6). Приложение6_1. Приложение6_2.
Задания №4 №6 выполняют учащиеся за компьютерами с нечетными номерами.
Приложение 1(Лист7). Приложение7_1. Приложение7_2.
Приложение 1(Лист8). Приложение8_1. Приложение8_2.
II Дополнительное задание
Найти все решения уравнения:
а)
б)
в)
Ответы:
а)
;![](data:image/png;base64,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)
б)
; ![](data:image/png;base64,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)
в)
; ![](data:image/png;base64,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)
Подведение итогов урока: «Выполнив задания урока, обучающиеся закрепили практические навыки вычисления интегралов, полученные на уроках алгебры, и практические навыки программирования численных методов интегрирования, полученные на уроках ИВТ».
Приложение1
Приложение 1_1
Uses crt;
Var
I,M,N: Integer;
X,Y,S:real;
BEGIN
READ (N);
I:=0; M:=0;
WHILE I
X:= 1.8*RANDOM+0.9;
Y:= 2.33*RANDOM+0.37;
IF (Y=1/X) AND (Y
I:= I + 1;
END;
S:= 1.8*2.33*M/N;
WRITE (S);
END.
Приложение2_1
Uses crt;
Var
I,M,N:Integer;
X,Y,S:real;
BEGIN
READ (N);
I:=0; M:=0;
WHILE I
X:= 2*RANDOM;
Y:= 4*RANDOM;
IF (Y=2*X) THEN M:= M + 1;
I:= I + 1;
END;
S:= 2*4*M/N;
WRITE (S);
END.
Приложение3_1
Uses crt;
Var
I,M,N:Integer;
X,Y,S:real;
BEGIN
READ (N);
I:=0; M:=0;
WHILE I
X:= 4*RANDOM+1;
Y:= 4*RANDOM+1;
IF (Y=5/X) THEN M:= M + 1;
I:= I + 1;
END;
S:= 4*4*M/N;
WRITE (S);
END.
Приложение4_1
Uses crt;
Var
I,M,N:Integer;
X,Y,S:real;
BEGIN
READ (N);
I:=0; M:=0;
WHILE I
X:= 3*RANDOM;
Y:= -9*RANDOM;
IF (Y=SQR(X)-6*X) THEN M:= M + 1;
I:= I + 1;
END;
S:= 3*9*M/N;
WRITE (S);
END.
Приложение5_1
Uses crt;
Var
I,M,N:Integer;
X,Y,S:real;
BEGIN
READ (N);
I:=0; M:=0;
WHILE I
X:= 6*RANDOM;
Y:= 9.5*RANDOM-3;
IF (Y=0.5*SQR(X)-2*X-1) THEN M:= M + 1;
I:= I + 1;
END;
S:= 6*9.5*M/N;
WRITE (S);
END.
Приложение5_2
Uses crt;
Var
I,M,N,A,B:Integer;
X,Y,S,H:real;
BEGIN
READ (N);
A:= 0;B:=6;
H:= (B - A) / N;
S:= 0; X:= A; I:= 1;
WHILE I
S:= S + ((6.5-1.5*ABS(X-5))-(0.5*SQR(X)-2*X-1))*H;
X:= X + H;
I:= I + 1;
END;
WRITE (S);
END.
Приложение6_1
Uses crt;
Var
I,M,N:Integer;
X,Y,S:real;
BEGIN
READ (N);
I:=0; M:=0;
WHILE I
X:= -4*RANDOM;
Y:= 8*RANDOM-4;
IF (Y=-4*SQR(X+3)*(X+3)) AND (Y=2*X) AND (Y
I:= I + 1;
END;
S:= 4*8*M/N;
WRITE (S);
END.
Приложение6_2
Uses crt;
Var
I,M,N:Integer;
X,Y,S,H,A,B:real;
BEGIN
READ (N);
A:=-4;B:=4;
H:= (B - A) / N;
S:= 0; X:= A; I:= 1;
WHILE I
IF (X=-4) and (X
IF (X=-2) then S:= S + (2*X-X)*H;
X:= X + H;
I:= I + 1;
END;
WRITE (S);
END.
Приложение7_1
Uses crt;
Var
I,M,N:Integer;
X,Y,S:real;
BEGIN
randomize;
READ (N);
I:=0; M:=0;
WHILE I
X:= 6*RANDOM-3;
Y:= 9.5*RANDOM-1.5;
IF (Y=1.5*(ABS(X+2)-1)) THEN M:= M + 1;
I:= I + 1;
END;
S:= 6*9.5*M/N;
WRITE (S);
END.
Приложение7_2
Uses crt;
Var
I,M,N,A,B:Integer;
X,Y,S,H:real;
BEGIN
READ (N);
A:= -3;B:=3;
H:= (B - A) / N;
S:= 0; X:= A; I:= 1;
WHILE I
S:= S + ((-0.5*SQR(X)+X+7.5)-(1.5*(ABS(X+2)-1)))*H;
X:= X + H;
I:= I + 1;
END;
WRITE (S);
END.
Приложение8_1
Uses crt;
Var
I,M,N:Integer;
X,Y,S:real;
BEGIN
READ (N);
I:=0; M:=0;
WHILE I
X:= 2.9*RANDOM-0.1;
Y:= 5.5*RANDOM-2.7;
IF (Y=-3*X) AND (Y=3*SQR(X-2)*(X-2)) THEN M:= M + 1;
I:= I + 1;
END;
S:= 2.9*5.5*M/N;
WRITE (S);
END.
Приложение8_2
Uses crt;
Var
I,M,N:Integer;
X,Y,S,H,A,B:real;
BEGIN
READ (N);
A:=-0.1;B:=2.8;
H:= (B - A) / N;
S:= 0; X:= A; I:= 1;
WHILE I
IF (X
X:= X + H;
I:= I + 1;
END;
WRITE (S);
END.