Имитационное моделирование в электронных таблицах

Имитационное моделирование в Электронных таблицах

1. Математическая модель. Повторение.

Вспомним, что такое компьютерное математическое моделирование.
Реальную систему, для которой создается математическая модель, принято называть объектом моделирования.
Объектами математического моделирования могут быть:

• конструкции, например, железнодорожный мост;

• природные объекты, например, водохранилище,

• процессы и явления, происходящие во времени, например взлет космической ракеты с космодрома, изменение погодных условий в определенной географической точке, изменение со временем численности определенных популяций.

Для людей могут оказаться жизненно важными вопросы, связанные с этими объектами и процессами. Например:

• Какой может быть максимальная нагрузка на железнодорожный мост, при которой не будет происходить его разрушение?

• На какой высоте ракета достигнет первой космической скорости и выйдет на орбиту спутника Земли?

• Каким будет уровень воды в водохранилище в погодных условиях, которые предсказывают метеорологи?

• Не вымрет ли данная популяция животных через сто лет?

На эти вопросы желательно получить ответы теоретическим путем, поскольку экспериментальный путь либо невозможен, либо опасен. Например, при перегрузке моста можно его разрушить, а экспериментально проверить, что будет с популяцией животных через сто лет, просто невозможно. В таких ситуациях на помощь человеку приходят математическое моделирование и вычислительный эксперимент.

Основные этапы математического моделирования на компьютере.

В математической модели используются количественные характеристики объекта (величины). Эти величины связываются между собой через уравнения, отражающие физические или другие законы. Из этих уравнений, зная одни величины (исходные данные), можно вычислить значения других величин (результатов). Часто такие расчеты бывает трудно осуществить вручную, и тогда используются компьютерные методы решения задачи. 

Реализованная на компьютере математическая модель называется компьютерной математической моделью, а проведение расчетов с помощью компьютерной модели с целью прогнозирования поведения моделируемой системы называется вычислительным экспериментом.

Основные этапы компьютерного математического моделирования 

• Выделение количественных характеристик моделируемой системы, существенных для решаемой задачи.

• Получение математических соотношений (формул, уравнений, систем уравнений), связывающих эти характеристики.

• Определение способа решения полученной математической задачи и реализация ее на компьютере с помощью прикладных программных средств или на языках программирования.

• Решение поставленной задачи путем проведения вычислительного эксперимента.

В результате вычислительного эксперимента можно получить прогноз поведения исследуемой системы; выяснить вопрос о том, как изменение одних характеристик системы отразится на других.

Одним из видов прикладных программных средств, пригодных для реализации математической модели на компьютере, являются электронные таблицы.

1. Построение математической модели. Постановка задачи.

Чаще всего электронные таблицы используются для получения расчетных ведомостей, смет, справок, списков, т. е. в области делопроизводства. Однако электронные таблицы могут оказаться полезными и для научных целей. С их помощью можно строить компьютерные математические модели, проводить вычислительные эксперименты. Рассмотрим пример такого вычислительного эксперимента.

Ученые установили, что прирост какого-либо вида живых организмов за счет рождаемости прямо пропорционален их количеству, а убыль за счет смертности прямо пропорциональна квадрату их количества. Этот закон известен под названием закона Мальтуса 

Представьте, что у Вас есть собственное хозяйство, и Вы собираетесь разводить карпов. Прежде чем запускать мальков в пруд, решили провести расчеты. Согласно закону Мальтуса, изменение числа рыб за один год вычисляется по формуле

ΔN= kN – qN².

Здесь N — число карпов в начале года, k — коэффициент прироста, q — коэффициент смертности. Экспериментально установлено, что для данного вида рыб (карпы) и в данных условиях (состояние водоема, наличие корма) k = 1, q = 0,001

Если первоначально в пруд запущено N₀ рыб, то из закона следует, что количество карпов через год будет таким:

N₁ = N₀ + (kN₀ - qN²₀).

Через два года:

N₂ = N₁ + (kN₁ - qN²₁) 

Можно написать общую формулу для вычисления количества рыб в i-м году после их запуска:

N_i = N_i-1 + (kN_i-1 – qN²_i-1) для i = 1, 2, 3,…

Эта формула является математической моделью процесса размножения рыб в водоеме. 

Заполним электронную таблицу для проведения по этой формуле расчета рыбного «поголовья» в пруду в течение нескольких лет.

Строки таблицы, начиная с 6-й, получаются путем копирования предыдущей строки. При этом относительные адреса изменяются автоматически.

Для получения результатов нужно занести в ячейку С4 первоначальное число рыб (например, 100).

1. Реализация построенной математической модели на компьютере. Компьютерный эксперимент.

Теперь можно экспериментировать. Необходимо

Биологическая модель (закон Мальтуса).

1. Запустить приложение Excel.

2. Заполнить таблицу для проведения расчётов на 15 лет.

1. По данным таблицы построить точечную диаграмму (с гладкими кривыми).

2. Проследить, как будет меняться число карпов при различных значениях исходных данных.

   1. При изменении значения N₀ (500, 900, 1000, 1500, 1900, 2000);

3. Сделать соответствующие выводы:

Дополнительное задание:

1. Проследить, как будет меняться число карпов при различных значениях исходных данных.

   1. При изменении значения k (1,5; 2; 2,5 и 3);

      k	Изменение N
      K=1,5
      K=2,0
      K=2,5
      K=3,0

   2. При изменении значения q (0,002; 0,005; 0,008; 0,01; 0,015; 0,018; 0,02);

      q	Изменение N
      0,001
      q=0,01
      q=0,015
      q=0,02

   3. Сделать соответствующие выводы (изменение N).

https://videouroki.net/video/27-loghichieskiie-funktsii.html

https://videouroki.net/video/30-praktichieskaia-rabota.html