Геометрический и физический смысл производной. Решение задач ЕГЭ.

Геометрический смысл производной. Решение задач из ЕГЭ.

№ 1

В

На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х 0 . Найдите значение производной функции f(x) в точке х 0 .

А

С

Решение:

Рассмотрим треугольник АВС.

f `(x 0 )=tg(

Ответ: 1,5

Показать решение

№ 2

На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х 0 . Найдите значение производной функции f(x) в точке х 0 .

В

А

С

Решение:

Рассмотрим треугольник АВС.

f `(x 0 )=tg(

Ответ: 0,25

Показать решение

№ 3

На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х 0 . Найдите значение производной функции f(x) в точке х 0 .

В

С

А

Решение:

Рассмотрим треугольник АВС.

f `(x 0 )=-tg(

Ответ: -1

Показать решение

№ 4

На рисунке изображен график функции y=f `(x) – производной функции f(x). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику y=f(x) параллельна оси абсцисс или совпадает с ней.

Решение:

Касательная к графику y=f(x) параллельна оси абсцисс или совпадает с ней в точке с абсциссой, которая удовлетворяет условию f `(x 0 )=0. Значит следует искать точку пересечения данного графика производной с осью абсцисс. По рисунку х 0 =4.

Ответ: 4

Показать решение

№ 5

На рисунке изображен график функции y=f (x), определенной на интервале (-6;5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у=-8.

Решение:

Прямая у=-8 параллельна оси абсцисс. Касательная к графику функции y=f (x) будет параллельна оси абсцисс в точках минимума и максимума функции. Таких точек на рисунке – 6.

Ответ: 6.

Показать решение

№ 6

На рисунке изображен график y=f `(x) – производной функции f(x), определенной на интервале (-1;12). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой у=2х-15 или совпадает с ней.

Решение:

Касательная к графику функции f(x) должна быть параллельна прямой у=2х-15, то есть угловой коэффициент касательной должен быть равен 2. (k=2) k=f `(x 0 ). Следовательно, f `(x 0 )=2. Находим на графике производной точки, в которых значение функции (производной) равно 2. Таких точек на рисунке 3.

Ответ: 3.

Показать решение

№ 7

На рисунке изображен график y=f `(x) – производной функции f(x), определенной на интервале (-9;8). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой у=2х+5 или совпадает с ней.

Решение:

Касательная к графику функции f(x) должна быть параллельна прямой у=2х+5, то есть угловой коэффициент касательной должен быть равен 2. (k=2) k=f `(x 0 ). Следовательно, f `(x 0 )=2. Находим на графике производной точки, в которых значение функции (производной) равно 2. Таких точек на рисунке 4.

Ответ: 4.

Показать решение

№ 8

На рисунке изображен график y=f `(x) – производной функции f(x), определенной на интервале (-8;5). В какой точке отрезка [-3;2] f(x) принимает наибольшее значение?

Решение:

На отрезке [-3;2] производная принимает только отрицательные значения. Значит, на этом отрезке функция f(x) – убывает. Следовательно, на левом конце отрезка (в точке -3) значение функции – наибольшее, а на правом конце отрезка (в точке 2) значение функции – наименьшее.

Ответ: -3.

Показать решение

№ 9

На рисунке изображен график y=f `(x) – производной функции f(x), определенной на интервале (-2;9). В какой точке отрезка [1;5] f(x) принимает наименьшее значение?

Решение:

На отрезке [1;5] производная принимает только положительные значения. Значит, на этом отрезке функция f(x) – возрастает. Следовательно, на левом конце отрезка (в точке 1) значение функции – наименьшее, а на правом конце отрезка (в точке 5) значение функции – наибольшее.

Ответ: 1.

Показать решение

№ 10

На рисунке изображен график

y=f `(x) – производной функции f(x), определенной на интервале

(-2;18). Найдите количество точек минимума функции f(x) на отрезке [0;15].

Решение:

В точках экстремума функции (минимума и максимума) производная равна нулю. Следовательно, нужно найти точки пересечения графика производной с осью абсцисс. Таких точек (попадающих на отрезок [0;15]) на рисунке – 3. В точке минимума производная меняет знак с «-» на «+». На рисунке это выполняется для двух точек.

Ответ: 2.

Показать решение

№ 11

На рисунке изображен график

y=f `(x) – производной функции f(x), определенной на интервале

(-3;11). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Решение:

На промежутке убывания функции f(x), ее производная отрицательна. На рисунке есть два промежутка, на которых производная функции принимает отрицательные значения. Это отрезки [-2;2] и [6;10] . Длина первого отрезка=2-(-2)=4. Длина второго отрезка=10-6=4. Длины обоих отрезков одинаковы.

Ответ: 4.

Показать решение

№ 12

На рисунке изображен график

y=f `(x) – производной функции f(x), определенной на интервале

(-2;11). Найдите точку экстремума функции f(x) на отрезке [0;5].

Решение:

В точках экстремума функции (минимума и максимума) производная равна нулю. Следовательно, нужно найти точки пересечения графика производной с осью абсцисс. Такая точка (при этом принадлежащая отрезку [0;5]) на рисунке только одна. Это точка х= 3.

Ответ: 3.

Показать решение