Факультативное занятие по математике «Текстовые задачи. Задачи на совместно произведенную работу»

Цель занятия:

Научить учащихся решать задачи на совместно произведенную работу нестандартным способом, опирающемся на использование простейших представлений об изоморфизме моделей.

Ход занятия.

I. Устно с учащимися повторяется общая схема решения задач СПР стандартным способом по заготовленному плану:

1) 1 - весь объем работы;

t₁; t₂;...; t_n - время, необходимое для выполнения данной работы отдельными производителями;

1/t₁;1/t₂;...;1/t_n - части данной работы, выполненные в единицу времени отдельными производителями (производительности).

2) Устанавливаются соотношения между неизвестными величинами; составляются уравнения или системы уравнений.

3) Решение уравнений или системы уравнений.

4) Исследование полученных решений.

II. Учитель предлагает учащимся по данной схеме самостоятельно решить задачу (условие на доске).

Задача. Две бригады рабочих, работая вместе, могут окончить некоторую работу за 8 дней. Если бы работало  2/3 рабочих 1-ой бригады и 0,8 рабочих 2-ой бригады, то работа была бы выполнена за 11*1/4 дней. За сколько дней могла бы выполнить эту работу каждая бригада в отдельности?

Решение. Вся работа принимается за 1. Пусть x – количество дней, за которое 1-ая бригада выполняет данную работу; y – то же для 2-ой бригады. Тогда 1/х;1/у -  соответственно, дневные производительности 1-ой и 2-ой бригад. По условию, обеими бригадами совместно работа выполняется за 8 дней. Отсюда получается следующее уравнение: 8/х+8/у=1 (1)

По условию задачи также, если бы работало 2/3 рабочих 1-ой бригады и 0,8 рабочих 2-ой бригады, то работа была бы выполнена за за 11*1/4 дней. Отсюда получается еще одно уравнение: (2/3*1/х=0,8*1/у)*11*1/4=1 (2) Уравнения (1); (2) составлены из условия одной задачи и поэтому образуют систему: 8/х=8/н=1 (2/3*1/х+0,8*1/н)*11*1/4=1. Решая систему, находим x=12; y=24.

Ответ: 12 дней, 24 дня.

Устно проверяется ход решения задачи и сверяются ответы.

III. Объяснение учителя.

Задачи такого типа можно решать другим способом, интерпретируя условия задачи как наполнение жидкостью некоторого резервуара через систему трубопроводов с различными пропускными способностями и снабженных кранами (рис.1). Схема (рис.1), представленная на плакате (или презентации), разбирается и переносится в тетрадь. V – объем резервуара, как правило, принимается за 1, G₁;...;G_n - пропускные способности трубопроводов, Т₁;...;Т_n - время работы кранов в открытом режиме.

После этого задача, рассмотренная в п.II, вместе с учителем решается в эквивалентной постановке: имеется некоторый резервуар объемом V=1, к которому подведены два трубопровода с кранами К₁ и К₂(рис.2). Пусть Т₁ и Т₂ -  время опорожнения (в днях) резервуара, соответственно, когда открыт только кран К₁ и, когда открыт только кран К₂. Тогда пропускные способности трубопроводов будут, соответственно, равны G₁=1/T₁ и G₁=1/T₁, а их общая пропускная способность составит G=G₁+G₂. По условию задачи, когда оба крана полностью открыты, резервуар опорожняется за время Т=8 дней, т.е. G=1/T=1/8, откуда следует уравнение: G₁+G₂=1/8.

Если кран К₁ открыт не полностью, так, что трубопровод работает с производительностью 2/3*G₁ , а кран К₂ при этом также открыт не полностью и его трубопровод работает с производительностью 0,8G₂, то опорожнение резервуара происходит за 11*1/4 дней. Отсюда приходим к уравнению: 2/3*G₁+0,8G₂=4/45 и, в итоге, решение задачи приводит к системе:

G₁+G₂=1/8, 2/3*G₁+0,8G₂=4/45 откуда G₁=1/12;G₂=1/24; T₁=12;T₂=24 дней.

Ответ: 12 дней, 24 дня.

Учитель предлагает сравнить два способа решения этой задачи и указать преимущества второго нестандартного способа.

Преимущества:

1. Наглядность;

2. Доходчивость;

3. Краткость.

IV. Учащимся предлагается решить нестандартным способом задачу Л.Н.Толстого.

Артели косцов надо было скосить два луга, один вдвое больше другого. Половину дня артель косила большой луг. После этого артель разделилась пополам: первая половина осталась на большом лугу и докосила его к вечеру до конца; вторая же половина косила малый луг, на котором к вечеру ещё остался участок, скошенный на другой день одним косцом за один день работы. Сколько косцов было в артели?

Учащиеся при помощи учителя составляют схему, интерпретирующую данную задачу и самостоятельно решают ее по составленной схеме.

Решение. Данная задача эквивалентна следующей. Имеются два резервуара, объём одного из них вдвое больше другого. Резервуары могут заполняться жидкостью от источника с пропускной способностью  G   через систему трубопроводов одинакового диаметра с кранами K₁ и K₂ (рис.3). Полдня заполнялся большой резервуар (кран K₂ был закрыт) и в результате в него поступило количество жидкости, равное G/2. После этого был открыт кран K₂ и оставшиеся полдня оба резервуара заполнялись одновременно, причём больший резервуар оказался заполненным.

Поэтому, учитывая разветвление потока, за оставшиеся полдня в каждый резервуар поступило количество жидкости, равное G/4. Так как при таком режиме работы больший резервуар оказался заполненным, то в результате получаем следующее уравнение: 3/4G=2V.

Весь материал - в документе.