Это удивительное число π
Содержание работы
Введение
Как запомнить число Пи?
Число пи – это и есть хаос, записанный цифрами, но хаос разумный.
Математика Древнего Междуречья, Древнего Египта.
Математические достижения в Древней Греции.
Приближения числа " π " в Индии и Китае.
Число "П " в Европе (15 – 16 вв.).
Идеальный математик ЭЙЛЕР ЛЕОНАРД (1707-1783)
Иррациональность и трансцендентность числа " П "
Число « π » в современной математике.
Литература
Практическая часть работы (приложение 1)
Песня «Пи» (приложение 2)
Презентация «Число Пи»
Число π
Однажды, выполняя домашнюю работу мне пришлось воспользоваться энциклопедией для детей по математике, и я случайно прочитал про число π. Мня это очень заинтересовало. Оказывается, в математике есть числа которые обозначают буквами. Буква π (пи) первая буква слова « периферия» (греч. «окружность»). Общеупотребительным такое обозначение стало с середины 18 века.
Число π было известно в глубокой древности. О нём можно найти в тексте Библии. Им пользовались математики Древнего Египта, Греции Индии, Китая.
π- самое таинственное число в мире. С давних времен загадка этого числа не давала покоя многим ученым, особенно математикам. Никакое другое число не является таким загадочным, как "π" с его знаменитым никогда не кончающимся цифровым рядом. Известно до 2,7 трлн знаков после запятой.
В этом ряду чисел можно найти свой номер сотового телефона, свой адрес, даже можно прочесть роман« Анна Каренина», если буквы алфавита зашифровать цифрами. Певица Кейт Буш спела 124 цифры из знаменитого числового ряда.
У числа π есть день рождения: 14 марта. В это время читают хвалебные речи в честь числа, едят пирог, пьют напитки и играют в игры, начинающиеся на «π».
Три первые цифры числа π = 3,14…запомнить совсем несложно. А для запоминания большего числа знаков существуют забавные поговорки и стихи.
Существует много способов вычисления числа π. Я воспользовался методом отношения длины окружности к его диаметру. Ещё есть способы: взвешивание, программирование, алгоритмический…
К сожалению, я ученик пока 6 класса и не могу воспользоваться другими способами вычисления числа π. Я надеюсь, что в старших классах мне удастся это сделать
14 марта человечество отмечает Международный день числа «пи». Почему 14 марта? Если быть точнее, то десятичных знаков. Беллар потратил на вычисления около 103 дней. поздравлять окружающих с днем «пи» нужно в марте 14-го в 1:59:26, в соответствии с цифрами числа «пи» – 3,1415926…
Вычислено 2.7 триллиона цифр в числе Пи
11 января 2010. Французы вычислили Пи с рекордной точностью. Француз Фабрис Беллар вычислил число Пи с рекордной точностью. Об этом сообщается на его официальном сайте. Новый рекорд составляет около 2,7 триллиона (2 триллиона 699 миллиардов 999 миллионов 990 тысяч) десятичных знаков. Предыдущее достижение принадлежит японским ученым, которые посчитали константу с точностью до 2,6 триллиона
Все расчеты проводились на домашнем компьютере, стоимость которого лежит в пределах 2000 евро. Для сравнения, предыдущий рекорд был установлен на суперкомпьютере T2K Tsukuba System, у которого ушло на работу около 73 часов. Сначала Пи рассчитывалось в двоичной системе, после чего переводилось в десятичную. На это ушло около 13 дней. В общей сложности для хранения всех цифр требуется 1,1 терабайта дискового пространства.
Число пи обратило на себя внимание людей ещё в доисторические времена, когда они не умели записывать ни своих знаний, ни своих переживаний, ни своих воспоминаний. Но, как писала бессмертная Тэффи, «все, что касается древнейших времен и о чем мы ровно ничего не знаем, называется периодом доисторическим. Ученые ровно ничего об этом периоде не знают (потому что если бы знали, то его пришлось бы уже назвать историческим)». Однако уже тогда люди заинтересовались соотношением длины окружности и ее диаметра. Сначала по невежеству его (это отношение) считали равным трем, что было грубо приближенно, но им хватало. Но потом удивлению пытливых умов не было предела: оказалось, что число три весьма неточно выражает это соотношение. С течением времени и развитием наук это число стали полагать равным двадцати двум седьмым, о чем потом даже сложили стишок для запоминания:
Двадцать две совы скучали
На больших сухих суках.
Двадцать две совы мечтали
О семи больших мышах.
Как запомнить первые цифры числа «П»
Три первые цифры числа π = 3,14… запомнить совсем несложно. А для запоминания большего числа знаков существуют забавные поговорки и стихи. Например, такие:
Нужно только постараться
И запомнить всё как есть:
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девяносто два и шесть.
С.Бобров. ”Волшебный двурог”
Тот, кто выучит это четверостишие, всегда сможет назвать 8 знаков числа π: 3,1415926…
В следующих фразах знаки числа π можно определить по количеству букв в каждом слове:
“Что я знаю о кругах?” (3,1416 );
“Вот и знаю я число, именуемое Пи. – Молодец!” (3,1415927);
“Учи и знай в числе известном за цифрой цифру, как удачу примечать” (3,14159265359 )
А так выглядит 101 знак числа π без округления: 3, 14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679.
В Древней Греции точные науки процвели просто-таки необычайно, а также появилась архитектура. А где архитектура – там и расчеты. И всем известный Архимед еще уточнил значение числа пи, о чем также в стихах сообщил нам замечательный писатель С.Бобров в своей чудесной книге «Волшебный Двурог»:
Гордый Рим трубил победу
Над твердыней Сиракуз;
Но трудами Архимеда
Много больше я горжусь.
Надо только постараться
И запомнить все как есть:
Три – четырнадцать – пятнадцать –
Девяносто два и шесть!
Было придумано и такое стихотворение, посвящённое числу π:
Чтоб запомнить цифры эти,
Нужно правильно прочесть:
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девяносто два и шесть.
В следующем стихе упоминается большее число знаков π
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девять, два, шесть, пять, три, пять.
Чтоб наукой заниматься,
Это каждый должен знать.
Или такое стихотворение:
Чтобы нам не ошибаться,
Надо правильно прочесть:
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девяносто два и шесть.
Ну и дальше надо знать,
Если мы вас спросим –
Это будет пять, три, пять,
Восемь, девять, восемь.
Для простого бытового использования этих знаков уже достаточно. Но неутомимые ученые продолжали и продолжали вычислять десятичные знаки числа пи, что является на самом деле очень сложной задачей, потому что просто так в столбик его не вычислить: число это не только иррациональное, но и трансцендентное (это вот как раз такие числа, которые не вычисляются путем простых уравнений). Ученые Токийского университета сумели поставить мировой рекорд в вычислениях числа Пи до 12411-триллионного знака. Для этого группе программистов и математиков, которую возглавлял профессор Ясумаса Канада, понадобилась специальная программа, суперкомпьютер и 400 часов машинного времени. (Книга рекордов Гиннесса).
Зачем они это делают? Ну, во-первых, для очень точных вычислений какой-нибудь орбиты спутника желательно иметь этих знаков больше, а то можно и в Луну не попасть. Да и для строительства всяких плотин и гигантских мостов тоже нужна точность. А во-вторых, и в главных, это число имеет и собственную научную ценность. В процессе вычислений этих самых знаков было открыто множество разных научных методов и целых наук. Но самое главное – в десятичной части числа пи нет повторений, как в обычной периодической дроби, а число знаков после запятой у него – бесконечно. На сегодняшний день проверено, что в 500 млрд. знаков числа пи повторений действительно нет. Есть основания полагать, что их нет вообще. Это важно!
Поскольку в последовательности знаков числа пи нет повторений – это значит, что последовательность знаков пи подчиняется теории хаоса, точнее, число пи – это и есть хаос, записанный цифрами. Более того, при желании, можно этот хаос представить графически, и есть предположение, что этот Хаос разумен. В 1965-м году американский математик М. Улэм, сидя на одном скучном собрании, от нечего делать начал писать на клетчатой бумаге цифры, входящие в число пи. Поставив в центре 3 и двигаясь по спирали против часовой стрелки, он выписывал 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5 и прочие цифры после запятой. Попутно он обводил все простые числа кружками. Каково же было его удивление и ужас, когда кружки стали выстраиваться вдоль прямых! Позже он создал на основе этого рисунка цветовую картину с помощью специального алгоритма. Что изображено на этой картине – засекречено.
А нам-то что с того? А следует из этого то, что в десятичном хвосте числа пи можно отыскать любую задуманную последовательность цифр. Ваш телефон? Пожалуйста, и не раз. Любая последовательность цифр в десятичных знаках числа пи рано или поздно найдется. Любая!
Значит, если там есть номер любого телефона (а он есть), то ведь там же есть и любые наборы цифр. Более того, там есть и номера кредитных карточек, и даже все значения завтрашнего тиража Спортлото. Вопрос в том, как их там отыскать...
Можно предложить и другой пример: если зашифровать все буквы цифрами, то в десятичном разложении числа пи можно найти всю мировую литературу и науку, и рецепт изготовления соуса бешамель, и все священные книги всех религий. Это не шутка, это строгий научный факт. Ведь последовательность БЕСКОНЕЧНА и сочетания не повторяются, следовательно она содержит ВСЕ сочетания цифр, и это уже доказано. А раз все, то все. В том числе и такие, которые соответствуют выбранной вами книге.
А это опять-таки означает, что там содержится не только вся мировая литература, которая уже написана (в частности и те книги, которые сгорели и т.д.), но и все книги, которые еще БУДУТ написаны. Разве это может не волновать? Получается, что это число (единственное разумное число во вселенной!) и управляет нашим миром.
Но – каким образом происходит это управление? Как правило, с помощью как познанных, так и еще не познанных и не написанных законов физики, химии, физиологии, астрономии, которые в нем содержатся! Это вам не убогонькая дата рождения с десятью скудными вариантиками на каждую цифру, в которые предлагается впихнуть все человечество! Это универсум в цифровом виде. Вот такое интересное это число.
Число Пи - это математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине её диаметра.
Это иррациональное число, поэтому написать его можно только приблизительно. Как всем известно, при расчётах обычно берут приблизительное значение 3.14.
Но можно рассчитывать это число бесконечно, чем и занялись японцы. Они смогли вычислить число Пи с самой рекордной точностью, а именно 2 триллиона 576 миллиардов 980 миллионов 377 тысяч 524 знака.
Раньше рекорд составлял примерно 1,2 триллиона знаков. Его поставили те же японцы в 2002 году.
Рекорд был поставлен при помощи суперкомпьютера T2K Tsukuba System, который работал более 73 часов.
Он выполняет 95 миллиардов операций с плавающей точкой в секунду. Ученые подали заявку на включение их достижения в Книгу рекордов Гиннесса.
Продолжим тему интересных фактов в математике и более подробно остановимся на числе Пи и разных историях, что с ним связаны. Это очень загадочное число и на нём основано много разных математических понятий, с ним часто связывают разные мистические события, даже фильм о нём есть.
Начнём, с определения: «Число Пи – это математическая константа, через которую выражается отношение длины окружности к её диаметру. И это число приблизительно равно 3,14.». Одним из первых заметил и высчитал такую интересную зависимость между длиной окружности и её диаметром Архимед, он и дал первое приближение такого числа, что равно 
. И даже вычислил, что это число больше за 
, но меньше за . Но есть данные, что и за почти 2 тысячи лет до н.э. людям было известно об такой зависимости, только они её высчитывали очень приблизительно. А обозначил это число греческой буквой π первым британский математик Джонс в 1706 году, и общепринятым оно стало после работ Леонарда Эйлера в 1737 году.
Число Пи используется не только в геометрии, математическом анализе или теории вероятности, но и во многих других отраслях науки, говорят, что учёные пытаются расшифровать человеческое ДНК с помощью этого магического числа. И даже есть много трагических историй, которые связаны с этим магическим числом. Говорят, что многие учёные разговаривали с этим числом, и говорили, что оно может думать. Но эта информация не подтверждена.
А мировой рекорд по запоминанию числа Пи у китайца Лю Чао, который сумел запомнить 67 890 знаков после запятой без ошибки и воспроизвёл их в течение 24 часов и 4 минут. Сейчас с помощью компьютера высчитали 5 триллионов цифр после запятой, так что есть куда расти.
Математика Древнего Междуречья, Древнего Египта
В глубокой древности считалось, что окружность ровно в 3 раза длиннее диаметра. Эти сведения содержатся в клинописных табличках Древнего Междуречья. Такое же значение можно извлечь из текста Библии: " И сделал литое из меди море, - от края его и до края его десять локтей, - совсем круглое… и шнурок в тридцать локтей обнимал его кругом”. Однако уже во 2 тысячелетии до н.э. математики Древнего Египта находили более точное отношение. Важным достижением геометрической науки египтян было очень хорошее приближение числа π, которое получается из формулы площади круга диаметра d: S = (d – 1/9d)2 = (1 – 1/9) 2d2 . Этому правилу из 50 – й задачи папируса Райнда (приблизительно 1650 г. до н.э.) соответствует значение π = 4·(8/9)2 = 3,1605. Однако каким образом египтяне получили саму формулу, из контекста неясно. В Московском папирусе есть ещё одна интересная задача: вычисляется поверхность корзины "с отверстием 4 ½ ". Исследователи толкуют её по – разному, поскольку π в тексте не указано, какой формы была корзина. Но все сходятся во мнении, что и здесь для числа π берётся то же самое приближённое значение 4·( 8/9 )2. Замечательно, что на всём Древнем Востоке при вычислениях использовалось значение π = 3. В этом отношении египтяне намного опередили другие народы.
Математические достижения в Древней Греции
С 6 века до н.э. математическая наука стремительно развивалась в Древней Греции. Древние греки Евдокс Книдский, Гиппократ и др. измерение окружности сводили к построению соответствующего отрезка, а измерение круга – к построению равновеликого квадрата. Архимед в 3 веке до н.э., занимаясь вычислениями длины окружности, установил, что " периметр всякого круга равен утроенному диаметру с избытком, который меньше седьмой части диаметра, но больше десяти семьдесят первых". В своей небольшой работе "Измерение круга" он обосновал три положения:
1) всякий круг равновелик прямоугольному треугольнику, катеты которого соответственно равны длине окружности и её радиусу;
2) площади круга относятся к квадрату, построенному на диаметре как 11 к 14;
3) отношение любой окружности к её диаметру меньше 3 целых 1/7 и больше 3 целых 10/71. (Вероятно, в первоисточнике третье предложение стояло на месте второго, но при переписке или переводе была допущена погрешность. Нужно заметить, что арабы располагали более точным текстом этой работы, чем мы.) Последнее предложение Архимед обосновал последовательным вычислением периметров правильных вписанных и описанных многоугольников при удвоении числа их сторон. Сначала он удвоил число сторон правильных описанного и вписанного шестиугольников, затем двенадцатиугольников и т.д., доведя до вычисления периметров правильного вписанного и описанного многоугольников с 96-ю сторонами.
Определение. Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.
Определение. Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.
Определение. Если все стороны многоугольника касаются окружности, то многоугольник называется описанным около этой окружности.
Определение. Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то многоугольник называется вписанным в эту окружность.
По точным расчётам Архимеда отношение окружности к диаметру заключено между числами 3 целых 10/71 и 3 целых 1/7, а это означает, что π =3,1419… Иначе говоря, Архимед указал границы числа 3,1408 π π =3,14166) нашёл знаменитый астроном, создатель тригонометрии Клавдий Птолемей (2 в.), но оно не вошло в употребление.
Приближения числа " π " в Индии и Китае
В священной книге джайнизма ( одной из древнейших религий, существовавших в Индии и возникшей в 6 веке до н.э.) имеется указание, из которого следует, что число "пи " принимали равным дроби 3,162… Это значение приводит индийский математик 7 века Брахмагупта. Китайские учёные в 3 веке использовали для π значение 3 7/50, которое хуже приближения Архимеда. В конце 5 века китайский математик Цзу Чун Чжи получил приближение 355/113 (π =3,1415927). Оно осталось неизвестно европейцам и было вновь найдено нидерландским математиком Адрианом Антонисом лишь в 1585 г.
Число " π " в Европе (15 – 16 вв.)
В первой половине 15 века в обсерватории Улугбека, возле Самарканда, астроном и математик ал-Каши вычислил «пи» с 16 десятичными знаками. К концу 16 века в европейской математике сформировались понятия рациональных и иррациональных чисел.
Определение. Целые и дробные числа составляют множество рациональных чисел.
Термин " рациональное число " произошёл от латинского слова ratio, что в переводе означает " отношение " (частное). Каждое рациональное число может быть представлено в виде бесконечной периодической дроби.
Определение. Бесконечные десятичные непериодические дроби представляют числа, не являющиеся рациональными. Их называют иррациональными числами (приставка "ир” означает отрицание).
Хотя многие были убеждены, что число p - иррациональное, доказать это никто не мог. В то же время некоторые математики продолжали заниматься вычислением числа p. Спустя полтора столетия после ал-Каши в Европе Ф.Виет нашёл число "пи” только с 9 правильными десятичными знаками. Но при этом он первым сделал открытие, имеющее большое значение, так как позволило вычислять p с какой угодно точностью.
Число Лудольфа
Поиски точного выражения числа π продолжались и после работ Ф.Виета. В начале 17 века голландский математик из Кёльна Лудольф ван Цейлен ( 1540 – 1610 ) – некоторые историки называют его Л.ван Кейлен – нашёл 32 знака. С тех пор (год публикации 1615) значение числа ПИ с 32 знаками получило название числа Лудольфа.
Идеальный математик
Первым ввёл обозначение отношения длины окружности к диаметру современным символом английский математик У.Джонсон в 1706 г. В качестве символа он взял первую букву греческого слова "периферия”. Общеупотребительным введённое У.Джонсоном обозначение стало после работ Л.Эйлера, который воспользовался этим символом впервые в 1736 г. ЭЙЛЕР ЛЕОНАРД (1707-1783) Идеальный математик 18 века - так часто называют Эйлера. Это был недолгий век Просвещения, вклинившийся между эпохами жестокой нетерпимости. Всего за 6 лет до рождения Эйлера в Берлине была публично сожжена последняя ведьма. А через 6 лет после смерти Эйлера - в 1789 году - в Париже вспыхнула революция. Эйлеру повезло: он родился в маленькой тихой провинции Базель, куда изо всей Европы приезжали мастера и ученые, не желавшие тратить дорогое рабочее время на гражданские смуты или религиозные распри. Так переселилась в Базель из Голландии семья Бернулли: уникальное созвездие научных талантов во главе с братьями Якобом и Иоганном. По воле случая юный Эйлер попал в эту компанию и вскоре сделался достойным членом базельского "питомника гениев". Братья Бернулли увлеклись математикой, прочтя статьи Лейбница об исчислении производных и интегралов. Вскоре вокруг братьев сложился яркий математический кружок, и на полвека Базель стал третьим по важности научным центром Европы - после Парижа и Лондона, где уже процветали академии наук. Каждый год на кружке решались новые трудные и красивые задачи, а на смену им вставали новые увлекательные проблемы. Но когда ученые орлята подросли, выяснилось, что в Швейцарии не хватит места для их гнезд. Зато в далекой России, по замыслу Петра 1 и по проекту Лейбница, была учреждена в 1725 году Петербургская Академия Наук. Русских ученых не хватало, и тройка друзей: Леонард Эйлер с братьями Даниилом и Николаем Бернулли (сыновьями Иоганна) - отправилась туда, в поисках счастья и научных подвигов. Чем только не пришлось заниматься Эйлеру на новом месте! Он обрабатывал данные всероссийской переписи населения. Эту огромную работу Эйлер вел в одиночку, быстро проделывая все вычисления в уме: ведь компьютеров еще не было. Он расшифровывал дипломатические депеши, перехваченные русской контрразведкой. Оказалось, что эту работу математики выполняют быстрее и надежнее прочих специалистов. Он обучал молодых моряков высшей математике и астрономии, а также основам кораблестроения и управления парусным судном в штиль или в бурю. И еще составлял таблицы для артиллерийской стрельбы и таблицы движения Луны. Ведь в дальнем плавании Луна часто заменяла часы при определении долготы! Только гений мог, выполняя всю эту работу, не забыть о большой науке. Эйлер оказался гением. За 15 лет своего первого пребывания в России он успел написать первый в мире учебник теоретической механики (не учить же простого студента по сложным книгам Ньютона!), а также курс математической навигации и многие другие труды. Писал Эйлер легко и быстро, простым и понятным языком. Столь же быстро он выучивал новые языки, но вкуса к литературе не имел. Математика поглощала все его время и силы. В 26 лет Эйлер был избран российским академиком, но через 8 лет он переехал из Петербурга в Берлин. В чем дело? Да, тогдашнее российское правительство было малограмотным и свирепым. Только что завершилось правление Анны Иоанновны, и возобновилась чехарда военных переворотов. Однако Эйлера это впрямую не касалось: считаться "немцем" в Петербурге было безопасно и престижно, а ученые немцы были на вес золота. Но Эйлер уже почувствовал себя одним из сильнейших математиков Европы - и вдруг заметил, что ему не с кем на равных поговорить о своей науке. Приезжая иностранная молодежь повзрослела и либо уехала из дикой и опасной России, либо погрязла в мелкой текущей работе. А первое поколение ученых россиян еще не выросло. Вспомним, что Ломоносова тогда послали на учебу в Германию! Эйлер решил переехать туда, где накал ученых дискуссий был повыше. Он выбрал Берлин, где молодой король Фридрих 2 Прусский решил создать научный центр не слабее парижского. Эйлер провел в Берлине четверть века, и считал эти годы лучшими в своей жизни. В Берлине Эйлер занимался всей математикой сразу, и почти все у него получалось. Например, захотелось ему перенести все методы математического анализа на функции, зависящие от комплексных чисел - и создал он теорию функций комплексного переменного. Попутно Эйлер выяснил, что показательная функция и синусоида суть две стороны одной медали. Аналогично было с Большой Теоремой Ферма. Услыхав о ней, Эйлер решил сам придумать утраченное доказательство - и вскоре обнаружил "метод спуска", найденный Ферма веком раньше. Проверив этот метод для степеней 3 и 4, Эйлер стал проверять его для следующего простого показателя - 5. Тут обнаружились неожиданные затруднения, и Эйлер оставил эту тему молодым исследователям. Но только в конце 20 века эта проблема, кажется, приблизилась к окончательному решению. В геометрии Эйлер также оставил значительный след. Он искал в ней не столько новые изящные факты, сколько общие теоремы, не укладывающиеся в догматику Евклида. Например, теорема о связи между числами вершин, ребер и граней выпуклого многогранника. Эту формулу знал еще Декарт; но он не оставил ее доказательства. В Берлине "король математиков" Леонард Эйлер работал с 1741 по 1766 год; потом он покинул Берлин и вернулся в Россию. Надвигалась старость, выросла огромная семья, а новая российская царица Екатерина 2 (немка по происхождению) предложила Эйлеру гораздо лучшие условия жизни, чем предоставлял своим академикам скуповатый и капризный Фридрих 2. Тесное общение с научной молодежью Эйлера уже не увлекало; он торопился успеть изложить на бумаге те бесчисленные открытия и догадки, которые осенили его в золотую берлинскую пору. Все научные журналы Европы охотно печатали новые статьи Эйлера. Его трудоспособность и вдохновение с годами нарастали, и многие тексты увидели свет лишь после смерти автора. Переезд Эйлера в Петербург мало что изменил для математиков Европы. Великое светило лишь сместилось на восток, не исчезая с горизонта. Удивительно другое: слава Эйлера не закатилась и после того, как ученого поразила слепота (вскоре после переезда в Петербург). Неукротимый старец продолжал размышлять о математике и диктовать очередные статьи или книги до самой смерти. Она настигла его на 77 году жизни и на 16 году слепоты... В 1770-е годы вокруг Эйлера выросла Петербургская математическая школа, более чем наполовину состоявшая из русских ученых. Тогда же завершилась публикация главной его книги - "Основ дифференциального и интегрального исчисления", по которой учились все европейские математики с 1755 по 1830 год. Она выгодно отличается от "Начал" Евклида и от "Принципов" Ньютона. Возведя стройное здание математического анализа от самого фундамента, Эйлер не убрал те леса и лестницы, по которым он сам карабкался к своим открытиям. Многие красивые догадки и начальные идеи доказательств сохранены в тексте, несмотря на содержащиеся в них ошибки - в поучение всем наследникам эйлеровой мысли. Первый учебник, предназначенный не для последователей, а для исследователей: таково завещание Эйлера и всей эпохи Просвещения, адресованное грядущим векам и народам.
Иррациональность и трансцендентность числа " π "
В 1766 г. немецкий математик Иоганн Ламберт строго доказал иррациональность числа π: число “пи” не может быть представлено простыми дробями, как бы ни были велики числитель и знаменатель. И, тем не менее, история числа на этом не закончилась. В конце 19 века профессор Мюнхенского университета Карл Фердинанд Линдеман нашёл строгое доказательство того, что π - число не только иррациональное, но и трансцендентное, т.е. не может быть корнем никакого алгебраического уравнения. Его доказательство поставило точку в истории древнейшей математической задачи о квадратуре круга.
Определение. Квадратура круга – неразрешимая задача построения при помощи циркуля и линейки квадрата, равного по площади данному кругу; вообще неразрешимая задача.
На протяжении тысячелетий она не поддавалась усилиям математиков, и выражение "квадратура круга" даже стало синонимом неразрешимой проблемы. “Загадочное упорство” этой задачи, как оказалось, связано именно с природой числа p. В память об открытии трансцендентности числа π в зале перед математической аудиторией Мюнхенского университета был установлен бюст Линдемана. На постаменте под его именем изображён круг, пересечённый квадратом равной площади, внутри которого начертана буква π.
Число « π » в современной математике
К концу 19 века, после 20 лет упорного труда, англичанин Вильям Шенкс нашёл 707 знаков числа π. Однако в 1945 г. обнаружено с помощью ЭВМ, что Шенкс в своих вычислениях допустил ошибку в 520-м знаке и дальнейшие его вычисления оказались неверными. В наше время с помощью ЭВМ число π вычислено с миллионами правильных знаков после запятой. Но такая точность не нужна ни в каких вычислениях и представляет скорее технический, чем научный интерес. В современной математике число π - это не только отношение длины окружности к диаметру, оно входит в большое число различных формул, в том числе и в формулы неевклидовой геометрии. Входит она и в замечательную формулу Л.Эйлера, которая устанавливает связь числа «пи» и числа «е». Эта и другие взаимосвязи позволили математикам ещё глубже выяснить природу числа π.
Численное значение Пи можно приближенно определить одним из двух методов с любой необходимой степенью точности.
Первый из этих методов — геометрический. Он состоит в вычислении периметров многоугольника вписанного в окружность и многоугольника описанного вокруг неё, причем предполагается, что длина окружности заключена между значениями этих периметров. Приближение будет более точным, если вместо периметров использовать площади.
Другой метод - с помощью окружности
Отношение длины окружности к её диаметру – величина постоянная и не зависит от размеров окружности. Число, выражающее это отношение , принято обозначать греческой буквой π ( "пи" ) – первой буквой слова "периферия" (греч. "окружность"). Общеупотребительным такое число стало с середины 18 века. Число π выражается бесконечной непериодической десятичной дробью и приближённо равно 3,141592653589…
Литература:
www.levvol.ru/ar41.php
www.habit.ru/22/282.html
http://www.matmag.ucoz.ru/publ/chislo_pi/1-1-0-6
Энциклопедия для детей. «МАТЕМАТИКА», том 11. Москва, Аванта+, 2002 год, стр.195
http://www.mnemonica.ru/zapominalki/chislo-pi
Получите свидетельство
Вход
Это удивительное число ПИ (0.1 MB)
0
2564
255
Нравится
0
