Эта интересная кривая - циклоида

Цель:

Понять, как построить циклоиды различные по форме. Познакомиться с основными свойствами циклоиды (кривой второго порядка) и проявлениями ее в жизни.

Задачи:

- изучить литературу по теме исследования;

- пополнить знания о разновидностях циклоиды и их свойствах;

- узнать о значении и применении циклоиды в жизни, окружающем мире, быту.

Определение: Циклоида – плоская кривая, которую описывает фиксированная точка М, неподвижно связанная с окружностью, катящейся по неподвижной прямой.

Если точка М расположена на окружности, то при вращении окружности по прямой получим линию – обычную циклоиду.

Если же точка K внутри окружности, то укороченную циклоиду.

Определение: Кривая, Описываемая Точкой Окружности, Катящейся Без Скольжения По Другой Окружности Вне Ее, Называется Эпициклоидой.

Эта интересная кривая – циклоида

Подготовила учитель математики

МОУ «Основная общеобразовательная школа №14»

Волох Марина Николаевна

Цель : Понять, как построить циклоиды различные по форме. Познакомиться с основными свойствами циклоиды (кривой второго порядка) и проявлениями ее в жизни.

Задачи : 

• - изучить литературу по теме исследования;
• - пополнить знания о разновидностях циклоиды и их свойствах;
• - узнать о значении и применении циклоиды в жизни, окружающем мире, быту.

Экспериментальное исследование

• Определение: Циклоида – плоская кривая, которую описывает фиксированная точка М, неподвижно связанная с окружностью, катящейся по неподвижной прямой.
• Если точка М расположена на окружности, то при вращении окружности по прямой получим линию – обычную циклоиду

• Если же точка N вне окружности, то удлиненную циклоиду.

N

N

• Если же точка K внутри окружности, то укороченную циклоиду.

K

K

Определение : Кривая, описываемая точкой окружности, катящейся без скольжения по другой окружности вне ее, называется  эпициклоидой  

Радиус движущейся окружности в три раза меньше радиуса неподвижной.

Если радиус неподвижной окружности равен радиусу подвижной, то эпициклоиду называют  кардиоидой   .

Определение: Плоская кривая, описываемая точкой окружности внутри неё, называется гипоциклоидой

.

Радиус подвижной окружности в 4 раза меньше радиуса неподвижной

• В зависимости от соотношения длин радиусов подвижной и неподвижной окружностей, получаются различные формы гипоциклоид.
• Если радиус неподвижной окружности в 3 раза больше радиуса подвижной, то эта гипоциклоида называется  астроидой 

Свойства циклоиды

• Кривая – циклоида – периодическая  , то есть повторяется через определенный промежуток Т=2πR.

Изохронность циклоиды

• свойство изохронности циклоиды (от греч. «изос» -равный, «хронос» - время) навело Гюйгенса на мысль использовать ее в часовом маятнике. Он предложил подвесить шарик на нити и ограничить свободу его перемещения доской, края которой имеют форму циклоиды.

Брахистохронность циклоиды (от греч. «брахистос»- кратчайщий и «хронос»- время)

• По циклоиде при отсутствии трения частица под действием силы тяжести скатывается из одной заданной точки в другую за наименьшее время. Брахистохрона - это кривая наикратчайшего по времени спуска

Из истории открытия циклоиды

• Первым кто стал изучать циклоиду, был Галилео Галилей (1564 -1642) – знаменитый итальянский астроном, физик и просветитель. Он же и придумал название «циклоида». Это означает: «происходящий от круга или напоминающая о круге». Сам Галилей о циклоиде ничего не писал, но о его работах в этом направлении упоминают его ученики и последователи : Вивиани, Торричелли. Во Франции ее называли трохоидой или рулеттой . Позднее Паскаль удивлялся, что «эту кривую не рассмотрели древние», ибо «она так часто вычерчивается перед глазами каждого…Это ничто иное, как путь, описываемый в воздухе гвоздем колеса». Однако когда циклоида была открыта, она стала самой популярной кривой у математиков. В 1673 году Гюйгенс констатировал, что циклоида исследована точнее и основательнее других кривых.

Парадоксы странные, но истинные

  Применение циклоиды

Заключение

• Математика – интересная и точная наука;
• С помощью математических выкладок и формул можно объяснить многие явления, происходящие в природе;
• Существует еще много интересных кривых, зная их свойства, можно сконструировать новые модели, применять на практике;
• Геометрия – наука, занимающаяся изучением геометрических фигур и их свойств. Она таит в себе много интересного, не познанного еще нами.

Изучение циклоид очень занимательно и полезно для ума. Но если приложить немного усилий, терпения, усидчивости, то обязательно получится красивая картина, а в её элементах без труда можно узнать нашу знакомую – циклоиду.

Библиографический список

• М.Д. Аксенова, Энциклопедия для детей. Т.11. Математика/– М.: Аванта+, 1998.
• И. Н. Бронштейн, К. Л. Семендяев Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗов., М.: Гостехиздат.,1967.
• Н.Я.Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд.,Математика: Учеб.для 5кл. общеобразоват. учреждений / - М.: Мнемозина, 2012.
• Н.Я.Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд.Математика: Учеб.для 6 кл. общеобразоват. учреждений / - М.: Мнемозина, 2012.
• О.В. Мануров, Ю. К. Солнцев, Ю. И. Соркин, Н. Г. Федин; под ред. Л. В. Сабинина., Математика в понятиях, определениях и терминах. Ч. 2/. – М. Просвещение, 1982.
• А.В.Погорелов.,Геометрия: учеб.для 7-9 кл. общеобразоват. учреждений / - М.: Просвещение, 2010.

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ !