Ещё раз о решении уравнения вида asinx + bcosx = c

Ещё раз о решении уравнения вида аsinx + bcosx = c,

где а, в и с – некоторые числа, причем ав не равно 0 и с не равно 0.

Существует достаточно много способов его решения, но я предложил ввести замену x = 2t. В этом случае мы получим уравнение аsin 2t + bcos 2t = c. Применяя формулы двойного угла для синуса и косинуса, а также основное тригонометрическое тождество, получим следующее равенство: 2asin t cos t + b (cos²x – sin²x) = с(cos²x + sin²x). Раскроим скобки и приведем подобные члены: 2asin t cos t + (b – c) cos²t – (b + c) sin²t. Получили однородное тригонометрическое уравнение второй степени, уравнение (1). Так как корни уравнения вида cos²t = 0 не являются решением уравнения (1), то поделим на выражение cos² t :

Полную информацию смотрите в файле.

Ещё раз о решении уравнения вида аsinx + bcosx = c,

где а, в и с – некоторые числа, причем ав и с

Существует достаточно много способов его решения, но я предложил ввести замену x = 2t. В этом случае мы получим уравнение а + b = c. Применяя формулы двойного угла для синуса и косинуса, а также основное тригонометрическое тождество, получим следующее равенство: 2a + b(x) = с. Раскроим скобки и приведем подобные члены: 2a + (b – c)t – (b + c) = 0. Получили однородное тригонометрическое уравнение второй степени, уравнение (1). Так как корни уравнения вида = 0 не являются решением уравнения (1), то поделим на выражение : + - = 0 или (b + c) - 2a - (b – c) = 0.

1. Если b + c = 0, то уравнение примет вид: = . Откуда получаем: = arctg + , n , значит серию решений можно записать так: , n

2. Если b – c = 0, то (b + c) - 2a = 0 или tgt((b + c)tgt – 2a) = 0, из которого получаем два простейших тригонометрических уравнения: tgt = 0 и (b + c)tgt – 2a = 0. Они имеют две серии решений: = и = + Вспомним, что x = 2t, окончательно получаем решения: = и = + .

3. Если b + c , то в этом случае обозначаем = p и решаем квадратное уравнение (b + c) - 2a - (b – c) = 0. Дискриминант D = 4(a² + b² - c²).

   1. Если Dто уравнение не имеет решений.

   2. Если Dто p₁ = и p₂ = . Делаем обратную замену , и в итоге получим две серии = + = + . Откуда окончательно получаем: = + = + D = 4(a² + b² - c²).