Элементы комбинаторики. Бином Ньютона

ГАПОУ «Оренбургский областной медицинский колледж»

Методическая разработка

теоретического занятия для преподавателя

по дисциплине ОДБ.04 Математика

на базе основного общего образования (база 9 классов)

Тема: «Элементы комбинаторики. Формула бинома Ньютона»

Оренбург 2018

РассмотренА и одобренА

на заседании

общеобразовательной ПЦК

Протокол №_________________

« __ » _________________ 2018г.

Председатель ПЦК

_________________ Лапина Н.В.

Автор: преподаватель математики ГАПОУ «ООМК» Данилова Е.В.

Учебно-методическая карта

Тема: «Статистическая обработка данных»

Тип занятия: комбинированный (усвоение новых знаний и первичное закрепление)

Форма проведения: теоретическое занятие

Продолжительность: 90 минут

Цели:

Образовательная:

• добиться прочного усвоения знаний по теме;

• познакомить с начальными представлениями о комбинаторике, соединениях (перестановках, сочетаниях, размещениях), формуле бинома Ньютона.

Студент должен иметь представление:

• о табличном и графическом представлении данных.

Студент должен знать/понимать:

• понятия: комбинаторика, факториал, перестановки, сочетания, размещения, конечное множество, бином Ньютона, биномиальные коэффициенты, треугольник Паскаля;

• формулы: числа перестановок, сочетаний, размещений, бинома Ньютона;

• свойства биномиальных коэффициентов;

• метод перебора;

• поочередный и одновременный выбор нескольких элементов из конечного множества.

Студент должен уметь:

• решать простейшие комбинаторные задачи методом перебора, а также с использованием известных формул.

Использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

• понимания взаимосвязи учебного предмета с особенностями профессии и профессиональной деятельности, в основе которых лежат знания по данному учебному предмету.

Развивающая:

• развивать исследовательскую культуру;

• развивать навыки построения логической цепи рассуждений;

• способствовать развитию кругозора, логического мышления, грамотной речи, внимания и памяти;

• способствовать развитию умений оформлять результаты эксперимента в устной и письменной форме.

Воспитательная:

• содействовать формированию коммуникативной компетенции (культуры общения, умения аргументировать свою точку зрения);

• содействовать воспитанию интереса к математике.

Методическая:

• структурировать теоретические знания по теме для более легкого восприятия информации студентами;

• наглядно продемонстрировать перенос теоретических знаний на практику на примерах решения задач;

• стимулировать познавательную и творческую активность студентов.

Основное содержание материала: Поочередный и одновременный выбор нескольких элементов из конечного множества. Формулы числа перестановок, сочетаний, размещений. Решение комбинаторных задач. Формула бинома Ньютона. Свойства биномиальных коэффициентов. Треугольник Паскаля.

Решение простейших комбинаторных задач методом перебора, а также с использованием известных формул.

Педагогические технологии:

• личностно-ориентированное обучение;

• технология проблемного обучения;

• технология развивающего обучения.

Методы обучения:

• словесный;

• наглядный;

• частично-поисковый;

• объяснительно-иллюстративный;

• проблемный;

• аналитический;

• исследовательский.

Формы организации контроля:

• самоконтроль;

• взаимоконтроль;

• тестовый контроль.

Формы организации учебной деятельности:

• коллективная;

• индивидуальная.

Межпредметные связи с дисциплинами:

• история;

• генетика;

• биология;

• информатика.

Внутрипредметные связи:

• числовые последовательности;

• корни и степени;

• теория вероятности;

• теория множеств.

Оборудование:

• классная доска, мел.

Оснащение:

дидактическое:

• обучающее видео «Математические секреты треугольника Паскаля»;

• тестовые задания.

методическое:

• рабочая программа учебной дисциплины ОДБ.04 Математика;

• тематический план;

• учебно-методическая карта;

• методическая разработка для преподавателя по теме «Элементы комбинаторики. Формула бинома Ньютона».

Виды самостоятельной работы:

аудиторная:

• решение задач на перебор вариантов, на подсчет числа перестановок, сочетаний, размещений;

• решение тестовых заданий.

внеаудиторная:

• работа с дополнительными источниками информации;

• составление бинома Ньютона при n3.

Предварительная подготовка студентов: подготовка сообщений.

Список литературы

Основная:

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни / [Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачёва и др.]. – 5-е изд. – М. : Просвещение, 2018.

Дополнительная:

1. Бутузов В.Ф., Прасолов В.В. / Под ред. Садовничего В.А. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровень). Просвещение, 2014г.

2. Колягин Ю.М., Ткачёва M.B., Фёдорова Н.Н. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровень). Просвещение, 2015г.

3. Шарыгин И.Ф. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый уровень). Дрофа, 2014г.

Литература для студентов:

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни / [Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачёва и др.]. – 5-е изд. – М. : Просвещение, 2018.

План занятия

1. Вводная часть – 10-12 мин.

1. Организационный момент – 1-2 мин.

2. Сообщение темы занятия, вовлечение обучающихся в процесс целеполагания, мотивация – 3-4 мин.

3. Активизация опорных знаний – 5-7 мин.

1. Основная часть (изучение нового теоретического материала) – 50-55 мин.

1. Историческая справка – 8-10 мин.

• Возникновение комбинаторики как науки.

1. Элементы комбинаторики – 28-30 мин.

• общие правила комбинаторики;

• перестановки;

• размещения;

• сочетания.

1. Бином Ньютона – 13-15 мин.

• формула бинома Ньютона;

• свойства биномиальных коэффициентов;

• треугольник Паскаля.

1. Закрепление материала – 23-25 мин.

   1. Решение задач – 15-17 мин.

   2. Тестовый контроль – 10-12 мин.

2. Рефлексия и подведение итогов – 2-3 мин.

3. Домашнее задание – 1-2 мин.

СВР: Составление бинома Ньютона при n3.

План-конспект занятия

1. Вводная часть – 10-12 мин.

1. Организационный момент – 1-2 мин.

Проверка присутствующих студентов и их готовности к занятию.

1. Сообщение темы занятия, вовлечение обучающихся в процесс целеполагания, мотивация – 3-4 мин.

Вопросы студентам:

• Можно ли подсчитать число всех возможных комбинаций, которые можно составить из небольшого количества элементов?

• А если элементов будет значительно больше и сколько времени на это потребуется?

• Можно ли возвести двучлен в достаточно большую степень, например десятую, не перемножая при этом последовательно скобки?

1. Активизация опорных знаний – 5-7 мин.

Вспомнить факториалы.

n! = 1∙2∙3∙…∙n

0! = 1

Решение задачи на перебор вариантов.

Задача:

На должности медсестры процедурного кабинета, участковой медсестры и медсестры физиотерапевтического кабинета претендуют Иванова, Громова и Орлова. Назовите возможные варианты распределения должностных мест.

Ответ:

Вариант1: 1) Иванова, 2) Громова, 3) Орлова.

Вариант2: 1) Иванова, 2) Орлова, 3) Громова.

Вариант3: 1) Орлова, 2) Иванова, 3) Громова.

Вариант4: 1) Орлова, 2) Громова, 3) Иванова.

Вариант5: 1) Громова, 2) Орлова, 3) Иванова.

Вариант6: 1) Громова, 2) Иванова, 3) Орлова.

Решение задачи методом перебора вариантов занимает достаточно большое количество времени. Как можно было решить ее быстрее мы узнаем чуть позже на сегодняшнем занятии.

1. Основная часть (изучение нового теоретического материала) – 50-55 мин.

1. Историческая справка – 8-10 мин.

При решении многих практических задач часто приходится имеющиеся предметы (элементы) соединять в разные наборы (комбинации). Задачи, которые рассматривают такие соединения, и находится число различных соединений, называют комбинаторными.

Комбинаторикой называется область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из элементов, принадлежащих заданному множеству. В каждой из них требуется подсчитать число возможных вариантов осуществления некоторого действия, ответить на вопрос «сколькими способами».

Сообщение студентов «Возникновение комбинаторики как науки».

1. Элементы комбинаторики – 28-30 мин.

Общие правила комбинаторики

Многие комбинаторные задачи могут быть решены с помощью следующих двух важных правил, называемых соответственно правилами умножения и сложения.

Правило суммы

Если некоторый объект А можно выбрать m способами, а объект В - k способами (не такими, как А), то объект либо А, либо В можно выбрать m + k способами.

Пример:

В ящике имеется n разноцветных шариков. Произвольным образом вынимаем один шарик. Сколькими способами это можно сделать? Конечно, n способами.

Теперь эти n шариков распределены по двум ящикам: В первом m шариков, во втором k. Произвольно из какого-нибудь ящика вынимаем один шарик. Сколькими разными способами это можно сделать? Из первого ящика шарик можно вытянуть m различными способами, из второго k: различными способами, всего n = m + k способами.

Правило произведения

Если объект А можно выбрать m способами, а после каждого такого выбора другой объект В можно выбрать (независимо от выбора А) k способами, то пары объектов А и В можно выбрать m·k способами.

Задача:

В студенческой группе 14 девушек и 6 юношей. Сколькими способами можно выбрать, для выполнения различных заданий, двух студентов одного пола?

По правилу умножения двух девушек можно выбрать 14 ·13 = 182 способами, а двух юношей 6·5 = 30 способами. Следует выбрать двух студентов одного пола: двух студентов или студенток. Согласно правилу сложения таких способов выбора будет 182 + 30 = 212.

Задача:

Сколько можно записать двузначных чисел в десятичной системе счисления?

Поскольку число двузначное, то число десятков (m) может принимать одно из девяти значений: 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Число единиц (k) может принимать те же значения и может, кроме того быть равным нулю. Отсюда следует, чтоm = 9, а k= 10. Всего получим двузначных чисел n = m ·k = 9·10 =90.

Следствие

Правило произведения справедливо и для любого конечного числа объектов.

Если некоторый объект Аi (i = 1, 2, … , n) можно выбрать К_i (i = 1, 2, … , n) способами (причем, каждый следующий объект выбирается независимо от выбора предыдущего объекта), то объекты А₁, А₂, … , А_n можно выбрать k = k₁ · k₂ ·…· k_n способами.

Например, сколькими способами можно составить трехзначное число, делящееся на 5? Число имеет три позиции, каждую из которых мы назовем событием:

• событие А₁ –число сотен, их можно выбрать k₁ =9 (все цифры, кроме 0) способами;

• событие А₂ – число десятков, их можно выбрать k₂ = 10 (все цифры, включая 0) способами;

• событие А₃ – число единиц, которым удовлетворяет только две цифры: 0 и 5, следовательно, k₃ = 2. Таким образом, всего получаем n = k₁ · k₂ · k₃ = 9 · 10 · 2 = 180 чисел.

Перестановки

Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок

Р_n = n · (n - 1) · (n – 2) · … · 2 · 1 = n!

Пример:

Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3, если каждая цифра входит в изображение числа только один раз?

Решение:  .

Пример:

Порядок выступления семи участников на студенческой конференции определяется жребием. Сколько различных вариантов жеребьевки при этом возможно?

Решение:

Каждый вариант жеребьевки отличается только порядком участников, то есть является перестановкой из 7 элементов. Их число находится

   .

Пример:

К кассе за получением денег подошли одновременно 4 человека. Сколькими способами они могут выстроиться в очередь?

Решение: 

Очередь состоит из 4 различных лиц, поэтому в каждом способе составления очереди учитывается порядок их расположения. Таким образом, имеют место перестановки из четырех человек, их число равно

Размещения

Размещениями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо их порядком, либо составом элементов.

Число всех возможных размещений рассчитывается

Пример: 

Сколько можно составить сигналов из 6 флажков различного цвета, взятых по два?

Решение:

Пример: 

Расписание одного дня состоит из пяти уроков. Определить число вариантов расписания при выборе из 11 дисциплин.

Решение: 

Каждый вариант расписания представляет набор 5 дисциплин из 11, отличающийся от других вариантов, как составом дисциплин, так и порядком их следования, то есть является размещением из 11 элементов по 5. Число вариантов расписания находят по формуле

Сочетания

Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний

Пример: 

Сколькими способами можно выбрать 2 детали из ящика, содержащего 10 деталей?

Решение:

Пример: 

В шахматном турнире участвуют 16 человек. Сколько партий должно быть сыграно в турнире, если между любыми двумя участниками должна быть сыграна одна партия?

Решение: 

Каждая партия играется двумя участниками из 16 и отличается только составом пар участников, то есть представляет собой сочетание из 16 элементов по два

Пример: 

Имеется 6 штаммов бактерий. Для определения скорости их роста необходимо выбрать три штамма. Сколькими способами можно это сделать?

Решение: 

Способы отбора считаются различными, если каждый отобранный штамм различается хотя бы одним элементом. Это число

 То есть имеется 20 способов.

Подчеркнем, что числа размещений, перестановок и сочетаний связаны равенством

1. Бином Ньютона – 13-15 мин.

Формула бинома Ньютона

Это формула, представляющая выражение ( a + b ) ⁿ  при положительном целом  n  в виде многочлена:

Заметим, что сумма показателей степеней для  a  и  b  постоянна и равна n.

Пример 1: 

Числа      называются биномиальными коэффициентами.

Свойства биномиальных коэффициентов

1. Сумма коэффициентов разложения ( a + b ) ⁿ  равна  2 ⁿ .

2. Коэффициенты членов, равноудалённых от концов разложения, равны.

3. Сумма коэффициентов чётных членов разложения равна сумме коэффициентов нечётных членов разложения; каждая из них равна

Треугольник Паскаля

Просмотр обучающего видео «Математические секреты треугольника Паскаля».

Биномиальные коэффициенты можно вычислить, применяя только сложение, если пользоваться треугольником Паскаля:

Первая строка в этой таблице содержит биномиальные коэффициенты для  n = 1;  вторая - для  n = 2;  третья - для   n = 3 и т.д. Поэтому, если необходимо, например, разложить выражение ( a + b )⁷ , мы можем получить результат моментально, используя таблицу:

1. Закрепление материала – 23-25 мин.

   1. Решение задач – 15-17 мин.

Замечание: При решении задач по комбинаторике следует обращать внимание, учитывается ли порядок в сочетаниях. Если порядок учитывается, то есть составляются упорядоченные множества, то это – размещения. Если порядок не учитывается, то есть составляются множества, то это – сочетания.

Типичные задачи, в которых обычно путаются студенты

Задачи:

1. Сколько различных экзаменационных комиссий по 3 человека можно составить, если на кафедре 20 преподавателей?

2. Сколькими способами можно окрасить трехкомнатную квартиру (каждая комната окрашивается одной краской, все комнаты окрашиваются в разные цвет), если имеется 10 различных красок?

3. Сколькими способами можно расставить 5 книг на полке?

1. Тестовый контроль – 10-12 мин.

ТЕСТ №1

1. Сколькими способами можно выбрать 3 плитки шоколада из имеющихся 5 плиток?

А) 15; В) 60; С) 45; D) 120.

2. На пяти карточках написаны числа 1, 2, 3, 4, 5. Сколько различных трехзначных чисел можно из них составить?

А) 25; В) 60; С) 20; D) 6.

3. Составить из трех букв А, В и С все сочетания по две буквы.

А) 12; В) 9; С) 6; D) 68.

4. Из 20 учащихся надо выбрать двух дежурных. Сколькими способами это можно

сделать?

А) 190; С) 120; С) 95; D) 150.

5. Из 10 роз и 8 георгинов нужно составить букет так, чтобы в нем было 2 розы и 3 георгина. Сколькими способами это можно сделать?

А) 3220; В) 1250; С) 2520; D) 1260.

ТЕСТ №2

1. Сколько различных комбинаций может выпасть в спортлото "6 из 45" ?

А) 75 230; В) 8 145 060; С) 10 230 000; D)50 250 018 .

2. Составить все размещения из трех букв А, В, С.

А) 6; В) 8; С) 12; D) 15.

3. Сколькими способами можно группу из 15 учащихся разделить на две группы так, чтобы в одной группе было 4, а в другой - 11 человек?

А) 968; В) 1200; С) 1456; D) 1365.

4. Сколькими способами можно расставить 8 томов энциклопедии на книжной полке так, чтобы первый и второй тома не стояли рядом?

А) 26 854; В) 32 278; С) 30240; D) 25 234.

5. В автомашине 7 мест. Сколькими способами семь человек могут усесться в эту машину, если занять место водителя могут только трое из них?

А) 1956; В) 1236; С) 2160; D) 2112.

ОТВЕТЫ

1. Рефлексия и подведение итогов – 2-3 мин.

Что нового узнали на занятии?

Что осталось недопонятым?

1. Домашнее задание – 1-2 мин.

СВР: Составление бинома Ньютона при n3.