Получите свидетельство
Вход
1 y = а х , 0 а 1 1 0 0 Автор: Ниязбаева Татыгуль Саватбековна , учитель математики КНВЛ им.Д.Асанова г. Бишкек " width="640"
х
х
у
у
y = а х , а 1
y = а х , 0 а
1
1
0
0
Автор: Ниязбаева Татыгуль Саватбековна , учитель математики
КНВЛ им.Д.Асанова г. Бишкек
Тема: Показательная функция , её свойства и график
Общая цель : Сформировать понятие показательной функции,
рассмотреть её свойства и график
Задачи : - Создать условия для развития умений получать знания посредством проведения
исследовательской работы и анализа ситуации.
-Развивать навыки чтения графиков функции.
-Развивать коммуникативные способности.
-Воспитание умения работать в группе и в паре.
Проблема: Исследование свойств и графиков показательной функции.
Ожидаемые результаты:
Умение анализировать и определять свойства показательной функции, умение
строить графики и читать их, применение свойств функции к решению задач.
Ресурсы:
компьютер, программа Excel, доска, презентации, учебник
«Алгебра и начала анализа» ( Алимов А.Ш.) постер, маркеры, формат А 3,4,
чертежные инструменты, таблица графиков, слайды функции и графики.
Опорные схемы- слайды говорят…?
Стратегия «Горячий стул»
Какие виды функции вы знаете?
1)
3)
4)
2)
4
1
2
3
Если бы все маковые зерна давали всходы, то через 5 лет число “потомков” одного растения равнялось бы 243 • 10 15 или приблизительно 2000 растений на 1 м 2 суши.
Задача
Однолетнее растение дает 100 семян из которых на следующий год прорастает половина. Опишите формулой зависимость числа проросших растений.
…… .
……
Представим количество проросших растений в зависимости от времени в таблице
Время (t)
Число проросших растений( R)
t 0
1 растение
t 1
50 растений
t 2
2500 растений
… ..
… ...
t n
50 n
Пусть число проросших растений R , тогда их количество будет выражаться в зависимости от времени величиной y= 50 x
Математическая модель
y=50 x
Знакомы ли мы с данной математической моделью?
Что представляет собой математическая модель?
Где находится переменная « x »?
Исследовать её, это значит, дать определение, рассмотреть свойства и построить график .
Обратите внимание на формулу:
y=a x
Что представляет собой правая часть формулы?
Чему равно основание степени? А что такое « x »?
Может ли быть a=1 ? a
Какое бы название вы предложили нашей математической модели(функции)?
0, а=1), называется показательной функцией с основанием а . " width="640"
Показательная функция
у=а х
- Функция, заданная формулой у=а х
(где а 0, а=1), называется показательной функцией с основанием а .
Построим график показательной функции у=2 х
у
х
у
-3
1/8
-2
1/4
-1
1/2
0
1
1
2
2
4
3
8
- у=2 х
4
2 -3 =(1/2) 3 =1/2 3 =1/8
2 -2 =(1/2) 2 =1/2 2 =1/4
2 -1 =(1/2) 1 =1/2
2
2 0 =1
1
1/2
2 1 =2
1/4
1/8
2 2 =4
-3
3
2
1
-2
-
1
0
х
2 3 =8
Постройте самостоятельно график функции у=(1/2) х
- у=(1/2) х
х
у
1 " width="640"
Сделайте вывод:
0
a1
График
Хоть нет названья линии моей,
И нет, как у параболы ветвей,
Я положительна! И это всем вам видно
И жмусь к оси Ох одним концом я безобидна,
Вторым концом я устремляюсь ввысь!
А, ну – ка, степенная, доберись!
Давно сравнили нашу скорость роста,
Ты по сравнению со мной- малютка просто!
1, то функция у = возрастает тем быстрее, чем больше основание а 2. При 0 а функция монотонно убывает в множестве действительных чисел 4. При a1 , показательная функция монотонно возрастает в множестве действительных чисел 3. Если 0 а , то функция у = убывает тем быстрее, чем меньше основание а Графики всех показательных функций проходят через точку (0;1 ) 5. " width="640"
Свойства показательной
функции
1.
Если а 1, то функция у = возрастает тем быстрее, чем больше основание а
2.
При 0 а функция монотонно убывает в множестве действительных чисел
4.
При a1 , показательная функция монотонно возрастает в множестве действительных чисел
3.
Если 0 а , то функция у = убывает тем быстрее, чем меньше основание а
Графики всех показательных функций проходят через точку (0;1 )
5.
Перечислите свойства функции и постройте ее график
- у=4 х
Число е
- Изобразим график некоторой показательной функции касательная проходящая через точку (0;1) к которому образует угол 45 0 с осью ОХ.
- Опытным путем установлено, что основание этой показательной функции приблизительно равно 2,718281828459045…
- Данное число заменяют символом е .
е≈2,72
Функцию
у=е х
называют
экспонентой
у=е х
1
45 0
0
Укажите, какая из данных функций является убывающей, какая возрастающей.
Рассмотренные примеры убедительно показывают, что знание математики нужно не только человеку непосредственно связанному с математикой, но и людям многих других специальностей. Показательная функция имеет непосредственное отношение к физике, химии, биологии, экологии, экономике и многочисленным смежным наукам.
Применении показательной функции в медицине .
Диагностика заболеваний.
При диагностике почечных
болезней часто определяют
способность почек выводить
из крови радиоактивные изотопы,
причем их количество в крови падает по показательному закону.
Эпидемического распространения заболевания, когда скорость его распространения пропорциональна числу заражений им. То есть чем больше людей заразились коронавирусом, тем быстрее он охватывает остальное население страны. .
В математике экспонентой называют функцию, в которой происходит непрерывный рост с коэффициентом, равным числу Эйлера (e~2,72), — y=e x .
Во многих странах заявляют об угрозе роста числа заражений коронавирусом. Как утверждают эпидемиологи, заражение COVID-19 имеет экспоненциальный рост.
Глава Института Роберта Коха Лотар Вилер заявил, что уже к концу весны число заражений коронавирусной инфекцией в одной только Германии может вырасти до 10 миллионов.
Применении показательной функции в биологии .
В питательной среде бактерия кишечной палочки делится каждую минуту. Понятно, что общее число бактерий за каждую минуту удваивается.
Применение показательной функции в биологии.
Если в начале процесса была одна бактерия, то через х минут их число ( N ) станет равной 2 х , т.е.
N ( х ) = 2 х .
Через 30 минут их число ( N ) станет равной 2 30 , т.е. N ( х ) =1 073 741 824
Через 1 час их число будет
больше в 1 073 741 824!!!!
Рост народонаселения. Изменение числа людей
в стране на небольшом отрезке времени описывается формулой , где N0 - число людей в момент времени t=0, N -число людей в момент времени t, к-константа.
Формула разрядки конденсатора
- Если начальное напряжение на конденсаторе равно U 0 , то конденсатор будет разряжаться по закону
- U=U 0 e t/RC ,
- R – сопротивление,
- C – электроемкость конденсатора.
- где t – время, в течение которого разряжается конденсатор
Потери силы тока
- При передаче электроэнергии по подводному кабелю потери в силе тока за счет утечки в воду пропорциональны длине кабеля.
- Например, на каждом километре сила тока уменьшается на 0,5%. Тогда при увеличении расстояния от источника энергии на 1 км сила тока будет изменяться в отношении 1: 0,995
- Применение показательной функции в жизни.
Если снять кипящий чайник с огня, то сначала он быстро остывает, а потом остывание идет гораздо медленнее, это явление описывается формулой T =( T 1 - T 0 ) e - kt + T 1
Формула К.Э.Циалковского
- Если не учитывать сопротивление воздуха и притяжение Земли, то масса топлива определиться формулой:
- (формула
- К.Э.Циолковского).
- Показательная функция используется для определения возраста археологических находок. Например, определен примерный возраст Земли, около 5,5 млрд. лет.
Некоторые из Нобелевских лауреатов, получивших премию за исследования в области физики с использованием показательной функции:
- Пьер Кюри - 1903 г.
- Ричардсон Оуэн - 1928 г.
- Игорь Тамм - 1958 г.
- Альварес Луис - 1968 г.
- Альфвен Ханнес - 1970 г.
- Вильсон Роберт Вудро - 1978 г.
Еще в древнем мире было широко распространено ростовщичество – отдача денег взаймы под проценты. Крестьянин, которого постиг неурожай, ремесленник, имущество которого уничтожил пожар, разорившийся мелкий торговец были вынуждены идти к ростовщику, обещая вернуть на следующий год сумму, значительно большую, чем взятая в долг. Долг увеличивался по показательной функции.
Ежемесячно на банковский вклад, равный S 0 сомов начисляется р%. На сколько процентов возрастет банковский вклад за х месяцев?
p - % годовых
S - внесенная сумма
S n - сумма, которая будет на счёте через n лет
Клиент положил в банк сумму 100000 сомов.
Годовой процент составляет 10 %.
Какова будет сумма вклада через 4 года.
:
1111111111
Ответ: прибыль за 4 года составляет 46410 сомов.
ВНИМАНИЕ!
ВОПРОС №1 В честь кого назвали число е?
А)Евклид
Б)Ельяшевич
В)Эйлер
ВОПРОС №2 Какой вид имеет показательная функция?
- А) у=а х
- Б) y=a\2
- В) y=a*x
ВОПРОС №3 K акое число =2,72?
- А) z
- Б) e
- В) π
ВОПРОС №4 Какая из перечисленных функций убывающая?
- А) у=3 х
- Б) у=5 х
- В) у=0,4 х
И зобразите схематично графики возрастающей и убывающей показательных функций.
Сформулируйте определение: Экспонента это
- …………………… .функция, касательная к графику которой в точке……….образует угол…….с положительным направлением оси….
- Основание данной функции равно числу…………., которое обозначается буквой……
Домашнее задание
- § 11 читать.
- Выучить определение и свойства показательной функции и экспоненты.
- Построить графики функций
у=(1/3) x у=4 x -2
- Попробуйте написать эссе: «Показательная функция в жизни человека».
Дидактический материал, способствующий самостоятельной работе учащихся на освоением учебного процесса. (10.58 MB)
0
236
16
Нравится
0
