Численные методы решения СЛАУ методом Ньютона

Тип урока: формирование и применение  знаний.

Продолжительность:   45 минут.

Ключевые трансверсальные компетенции:  CT1, CT7, CT8, СТ10.

Специфические компетенции: SC1, SC3, CS4, CS5,CS6.

Субкомпетенции:

• Идентификация условий применения метода половинного деления (хорд, Ньютона).
• Разработка на языке программирования высокого уровня программ  итеративного вычисления корня алгебраического или трансцендентного уравнения.

Операциональные цели урока:

Ученик в конце урока должен уметь:

ОЦ1-описат суть метода Ньютона; 

ОЦ2 – описать  правила применения метода Ньютона;

ОЦ3 –построить метаматематическую модель решения задачи методом Ньютона;

ОЦ4 – описать этапы решения задачи методом Ньютона;

ОЦ5 -  составлять программы для решения конкретных задач методом Ньютона.

Дидактические методы и приёмы учения:

1. Устный опрос.
2. Объяснение, конспект.
3. Классификация, анализ.
4. Демонстрация.
5. Запись на доске, эвристика.

Техническое оснащение:

1. Компьютерный класс.
2. Windows -2003 г.: Turbo Pascal.
3. Видеопроектор.
4. Интерактивная доска.

Методологическое оснащение:

1. Куррикулум  по информатике для X -XII классов.
2. Гид для учителя информатики.  А. Гремалски.
3. Учебник информатики для 12 класса. А. Гремалски, А. Брайков.
4. Презентация: «Метод Ньютона».

Ход урока.

I . Организационный момент.

1. Приветствие   учеников, проверка наличия на уроке по журналу.

2. Проверка готовности к уроку.

II. Актуализация знаний.

Устный опрос - смотри документ

III. Преподавание нового материала.

1. Объявляю и записываю на доске новую тему урока.

2. Рассмотрим метод Ньютона, который называют ещё методом касательных или методом линеаризации. Это один из способов решения нелинейных уравнений. Перед его применением необходимо отделить корни уравнения одним из известных способов, например, графически. Будем считать, что корень `t` уравнения `f(x)=0` отделён на отрезке `[a,b]`. Задача заключается в том, чтобы найти и уточнить этот корень методом касательных (Ньютона). Другими словами, требуется найти приближённое значение корня с заданной точностью `epsilon`.

Формула для вычисления корня методом Ньютона имеет вид: `x_{n+1}` = `x_n-{f(x_n)}/{f'(x_n)}`. В частности, `x_1=x_0-{f(x_0)}/{f'(x_0)}`. В качестве начальной точки берётся `x_0=a`, если `f(a)f''(a)>0` или `x_0=b`, если `f(b)f''(b)>0`. Процесс уточнения корня заканчивается, когда `|x_{n+1}-x_n| lt epsilon`.

3. Для применения метода Ньютона нужно уметь находить производные первого и второго порядка.

4. Решаем уравнение `18-sqrt(p)-ln(p+1)=0` методом Ньютона. Находим производные функции `f(p)` = `18-sqrt(p)-ln(p+1)`.

`f'(p)` = `-1/{2sqrt(p)}-1/(p+1)`. `f''(p)` = `1/{(p+1)^2}` + `1/{4sqrt(p^3)}`.

Графическим методом отделяем корень `p in [160; 170]`, `p_0=160` - начальная точка.

Искомый корень приблизительно равен 165.95328. Вычисления проводились с точностью `epsilon` = 0.01.

III. Закрепление, обобщение.

IV . Домашнее задание.

V. Оценивание

В приложении находится листинг программы.