Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа № 3
Имени Героя Советского Союза лётчика-космонавта П.И.Беляева»
КАЛЕНДАРНО – ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
ФАКУЛЬТАТИВНОГО КУРСА
«ДВИЖЕНИЕ НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ»
8 КЛАСС
Учебная дисциплина Математика
Ступень обучения основное общее образование
Учитель Черникова Юлия Васильевна
г. Каменск-Уральский.
Пояснительная записка
КТП и содержание факультативного курса авторские. КТП рассчитано на 17 часов.
Цель курса:
- способствование интеллектуальному развитию учащихся, формированию качеств мышления, характерных для математической деятельности;
- формирование устойчивого интереса к математике;
- приобщение к общечеловеческой культуре;
- формирование умения выполнять преобразования графиков функций: перемещение, растяжение/ сжатие, симметричное отражение относительно оси Ох и начала координат.
Аттестация проходит на основании оценок за выполнение практических работ.
Требования к уровню подготовки:
- Учащиеся должны понимать часть координатной плоскости, как множества точек, координаты которых удовлетворяют функциональным неравенствам и их системам;
- Учащиеся должны знать правила преобразования графиков функций;
- Учащиеся должны уметь с помощью графиков линейной, квадратичной функций, а так же прямой и обратной пропорциональностей строить фигуры заданной формы.
| № | Тема | Количество часов | Сроки |
| 1 | Из истории декартовых координат | 1 |
|
| 2 | Косоугольные декартовы системы координат | 2 |
|
| 3 |
| 4 | Прямоугольная декартова система координат (ПСК) и геометрические фигуры | 1 |
|
| 5 | Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых на ПСК | 1 |
|
| 6 | Практическая работа №1 «Построение прямоугольника с помощью графиков линейных функций у=kх + m (где |k|≠1, k≠0, m≠0)» | 1 |
|
| 7 | График функции под знаком модуля | 2 |
|
| 8 |
| 9 | Практическая работа №2. «Построение графика функции у=|||х+3|-4|-2|» | 1 |
|
| 10 | График функции от аргумента под знаком модуля | 2 |
|
| 11 |
| 12 | Практическая работа №3. «Построение графика функции у= |х2+2|х|-3|» | 1 |
|
| 13 | Графическая интерпретация неравенств от двух переменных | 3 |
|
| 14 |
| 15 |
| 16 | Практическая работа №4. «Аналитическое задание частей координатной плоскости с помощью графиков функций у1= - х2+5, у2=|х-1|-7, у3=-5» | 1 |
|
| 17 | Зачётное мероприятие | 1 |
|
Примерное содержание факультативного курса прилагается.
Из истории декартовых координат
(Красным цветом выделен текст, который предлагается учащимся законспектировать)
Приняв когда-то евклидову геометрию как абстрактную модель пространства и находящихся в нём предметов, человечество задалось вопросом, как описать взаимное расположение этих предметов. Так появилась модель окружающего нас мира, выраженная в числах – система координат, где каждая точка пространства имеет свои координаты («адрес»), поставленные ей в соответствие единственным образом.
Идея координат зародилась в науке Вавилона и Греции в связи с потребностями географии, астрономии и мореплавания. Ещё во II-ом в. до н. э. греческий учёный Гиппарх предложил определять положение точки на земной поверхности с помощью широты и долготы – географических координат, выраженных в числах. В IV-ом в. н. э. француз Nicole Oresme (1323-1382) перенёс эту идею в математику, предложив покрыть плоскость прямоугольной сеткой. Он написал трактат под названием «О размерах форм» (около 1360г.), в котором графически сопоставляет значение зависимого переменного (latitudo) и независимого переменного (longitudo). Это нечто вроде перехода от координат на земной или небесной сфере, известных в античности, к современной координатной геометрии.
В
XVII-ом в. н. э. французский математик и философ Rene Descartes (1596-1650) первым увидел и реализовал возможность записи геометрических фигур – линий на плоскости – с помощью алгебраических уравнений, что послужило основой создания новой отрасли математики – аналитической геометрии. Это явление не было случайным, оно было подготовлено как ходом развития математики, так и потребностями производства, экономики, науки и торговли.
В практическом приложении математики это нашло отражение в решении задач методом координат, который даёт возможность записывать геометрические фигуры на языке алгебры с помощью уравнений двух (для плоскости) или трёх (для пространства) переменных X, Y, Z или на языке арифметики, указывая координаты точек. Этот метод является важным средством для углубления межпредметных связей не только алгебры и геометрии, но также физики и астрономии.
Первым представлением о связи положения точки с некоторым числом есть координатная прямая. Каждая точка на ней имеет одну координату. Примером использования её в жизнедеятельности человека может служить нумерация столбов вдоль железнодорожной линии («платформа 42-ой км»).
Существует несколько легенд об изобретении системы координат, которая носит имя Декарта. Одна из них гласит, что однажды Рене Декарт весь день провёл за любимым занятием - в размышлениях, удовольствие от которых портила надоедливая муха, которая жужжала и не давала сосредоточиться. Декарт стал размышлять, как бы описать положение мухи в любой момент времени, чтобы иметь возможность прицелиться и прихлопнуть её без промаха одним ударом.
Примерами использования декартовой прямоугольной системы координат в жизнедеятельности человека служат шахматная доска, экран ЭВМ при работе в графическом редакторе, детская забава «Морской бой». В ПСК координаты имеют следующие латинские названия: абсцисса (abscissa — отрезок), ордината (ordinatus — расположенный в порядке), аппликата (applicata – приложенная).
Мы играем в наши игры,
Знает их и пёсик Рекс:
Ордината – это игрек,
А абсцисса – это икс.
(В. Чучуков)
Косоугольные декартовы системы координат
Координатную систему на плоскости впервые ввёл Рене Декарт, хотя она ещё значительно отличалась от современной. Примерно в то же время по созданию аналитической геометрии работал Pierre de Fermat (1601-1665). И у Декарта, и у Ферма координатами были длины отрезков. На прямой отмечали начальную точку N, от неё откладывали отрезок NZ (обычно вправо), длина которого равнялась 1-ой координате. Затем откладывали угол NZI (обычно вверх) и на луче ZI откладывали отрезок IA, длина которого равнялась 2-ой координате. Таким образом, положение точек кривой задавалось с помощью параллельных отрезков, наклонённых лил перпендикулярных к исходной прямой. Так как координаты считались отрезками, то они принимали только не отрицательные значения. По углу между координатными отрезками различают косоугольные и прямоугольную системы координат (ПСК). Относительно разных систем координат одна и та же точка имела различные координаты.
№1. Построить отрезок МN, если М(2;3), N(4;1) в следующих системах координат: а) 1 ед. от. =3 см., угол 45 о; б) 1 ед. от. = 3см., угол 135 о; в) 1 ед. от. = 3см., угол 90 о.
№2. В ПСК(1) задать А(-3;4), В(2;0), C (1; -2). Построить ПСК(2) с началом отчёта в точке А и ПСК(3) с началом отчёта в точке В, сохраняя направления осей. Записать координаты точки М в ПСК(2) и в ПСК(3).
Прямоугольная декартова система координат (ПСК) и геометрические фигуры
(Для занятия потребуются готовые шаблоны прямоугольного треугольника, квадрата, равнобедренного треугольника, правильного треугольника). В 9-11-ом классах как один из методов решения геометрических задач применяется метод координат, который рассматривается в ПСК. Для овладения этим методом необходимо научиться вводить систему координат с единицей измерения в знакомых геометрических фигурах и находить в этой системе координаты точек.
№1. Обведите в тетрадь шаблон прямоугольного (можно равнобедренного) треугольника. Введите ПСК так, чтобы начало координат совпадало с вершиной прямого угла, а катеты лежали на координатных осях. Сколько различных ПСК можно ввести в каждом из рассмотренных случаев?
№2. Обведите в тетрадь шаблон квадрата. Введите ПСК так, чтобы начало координат совпадало с одной из вершин квадрата. Задайте прямые, содержащие стороны квадрата, как уравнения линейных функций, если за единицу измерения в этой системе координат принять сторону квадрата.
№3. Обведите в тетрадь шаблон квадрата. Введите ПСК так, чтобы начало координат совпадало с точкой пересечения диагоналей. Запишите координаты вершин квадрата, если за единицу измерения в этой системе принять диагональ квадрата (половину диагонали квадрата, сторону квадрата).
№4. Обведите в тетрадь шаблон равнобедренного треугольника. Приведите пример введения ПСК на этой фигуре.
№5. Обведите в тетрадь шаблон правильного треугольника. Приведите пример введения ПСК на этой фигуре.
Сколько различных ПСК можно ввести в каждом из рассмотренных случаев? Сколько различных систем координат можно ввести в прямоугольнике, ромбе? Перечислите свойства рассмотренных четырёхугольников, благодаря которым стало возможным введение ПСК.
Инженер и математик
Станет лишь тогда богат,
Если применить сумеет
Он систему координат. (И. Кушнир, Л. Филькенштейн)
Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых на ПСК
№1. На ПСК постройте графики функций: у1=2х+4; у2=-2х+4; у3=1/2х+4; у4=-1/2х+4; у5=1/2х+8; у6=-1/2х+8, у7=2х-4. Определите, какие из низ параллельны, какие перпендикулярны. Отметьте точки пересечения А (у3 и у4), В (у4 и у5), С (у5 и у6), D (у6 и у3), Е (у1 и у6), F (у6 и у7), G (у7 и у4), H (у4 и у1). Определите вид четырёхугольников ABCD (ромб) и EFGH (квадрат). Проведите наблюдение и сделайте заключение о взаимосвязи параллельных прямых и перпендикулярных прямых.
Запомни! Две прямые (графики линейных функций) на ПСК: параллельны, если имеют одинаковые коэффициенты k при аргументе; перпендикулярны, если произведение коэффициентов при аргументе равно -1.
Практическая работа №1. На ПСК с помощью графиков линейных функций у=kх + m, где |k|≠1, k≠0, m≠0 построить произвольный прямоугольник.
График функции под знаком модуля
(В зависимости от подготовленности класса, для выполнения следующих заданий можно использовать все целочисленные значения аргумента.)
№1. На ПСК постройте графики функций у1=|х|, у2=5 и их точки пере6сечения А и В. Определите вид треугольника АОВ.
№2. На ПСК постройте графики функций у3= |х-3|, у2=5 и их точки пересечения C и D. Отметьте точку Q (8, 0). Определите вид треугольника CQD.
№3. На ПСК постройте графики функций у4=|х|+2, у2=5 и их точки пересечения E и F. Отметьте точку К (0; -5). Определите вид треугольника EКF.
№5. Постройте на ПСК графики функций у1=0,5|х| и у2=5 и их точки пересечения G и H. Определите вид треугольника GOH.
№6. Постройте на ПСК графики функций у1=3|х| и у2=5 и их точки пересечение K и L. Определите вид треугольника KOL.
Что объединяет полученные треугольники? (Равнобедренные).
От чего зависит величина угла, противолежащего основанию? (В зависимости от коэффициента k в формуле у=k|х|: тупой, прямой, острый).
№7 (*). Постройте на ПСК графики функций у1=2|х+1|-2 и у2=-2/3*х+8/3.
№8. Постройте на ПСК на отрезке [-5; 9] график функции у=||х-2|-3|.
График функции y=|f(x)| получается из графика функции y=f(x) симметричным отображением части графика при у y=|f(x)| находится выше оси Ох.
№9. Постройте на ПСК у1=х-2, у2=|х-2|, у3=|х-2|-3, у4=||х-2|-3|.
Практическая работа №2. Постройте на ПСК у=|||х+3|-4|-2|.
График функции от аргумента под знаком модуля
№1. Постройте на одной ПСК графики функций у1=2х-3, у2=2|х|-3.
Обратите внимание, что часть графика функции у2 совпадает с графиком функции у1. Какой симметрией обладает график функции у2? (Осевой симметрией относительно оси Оу). Предположите, как можно получить график функции у2 из графика функции у1.
График функции у=f(|х|) получается из графика функции у=f(х) симметричным отображением части графика при х0 (правой части графика) относительно оси Оу.
№2. х+3, (- ~; -2]; Постройте график функции f(х) и f(|х|).
f (х) = х2-4, (-2; 3];
-х-3, (3; +~).
Практическая работа №3. Постройте на ПСК у= |х2+2|х|-3|.
Графическая интерпретация неравенств от двух переменных
Постройте график функции у1=-2х+3. Отметьте точки А1(1; 4), А2(4; -2), В1(0; 5), В2(-3; -1). Как расположены точки А1, А2, В1, В2 относительно прямой? Относительно точек P (1; f(1)), Q (4; f(4)), R (0; f(0)), S (-3; f(-3))? (А1 и А2 выше соответствующих точек прямой, В1 и В2 – ниже).
Точки А1 и А2 лежат в полуплоскости, соответствующей неравенству у1 -2х+3, точки В1 и В2: у1 (для наглядности рекомендуется заштриховывать соответствующие части плоскости). Проверьте аналитически (подстановкой координат точек) соответствие координат точек неравенствам.
На той же ПСК постройте график функции у2= х2. Как расположены точки А1, А2, В1, В2 относительно параболы? Относительно точек T (1; f(1)), H (4; f(4)), K (0; f(0)), M (-3; f(-3))? (А1 и В1 выше соответствующих точек параболы, А2 и В2 – ниже).
Точки А1 и В1 лежат в части плоскости, соответствующей неравенству у2 х2, точки А2 и В2: у22. Проверьте подстановкой координат точек.
Рассмотрим системы неравенств у1 -2х+3 и у2 х2, у1 -2х+3 и у22, у12 х2, у122. Проверьте подстановкой, координаты какой точки и какой системе соответствует. (Найдите подтверждение этого на ПСК).
Практическая работа №4. Постройте графики функций у1= - х2+5, у2=|х-1|-7, у3=-5. Пронумеруйте полученные части координатной плоскости. Составьте системы неравенств для каждой части.
Зачётное мероприятие - самостоятельная работа
(В ходе выполнения работы учащиеся увидят на ПСК цифру пять, которую составят «куски» парабол)
Постройте в одной ПСК у1= -(х-5)2+7 на отрезке [4; 7], у2=0,5(х-3)2-5 на отрезке [1; 7], у3=4х-10 на отрезке [4; 6], у4=0,5(х-8)2+12 на отрезке [5; 9].
Получите свидетельство
Вход
Авторское КТП и примерное содержание занятий факультативного курса по математике "Движение на координатной плоскости" (0.72 MB)
0
415
29
Нравится
0
