Анықталмаған интегралдар

Анықталмаған интегралдар

1.1 Анықталмаған интегралдар туралы ұғымдар

Дифференциалдық есептеулерде берілген   функциясының туындысын табу есебі шешіледі (немесе дифференциал). Ал интегралдық есептеулерде   туындысы белгілі болғанда, оның   алғашқы функциясын табу кері есебі шешіледі. Іздеп отырған   функциясын   функциясының алғашқы функциясы деп атайды.

Егер бір   аралығының әрбір нүктесінде   функциясы   үшін

теңдігі орындалса, онда    функциясы осы аралықтың   үшін алғашқы функциясы деп аталады.

Теорема 1. Егер   функциясы   аралығында   үшін алғашқы функция болса, онда   функциясы үшін алғашқы функциялар жиыны  +C формуласымен беріледі, мұндағы  тұрақты сан.   функциясының барлық алғашқы функцияларының   жиынын    функциясының анықталмаған интегралы деп атап,  –символымен белгілейді. Соныменен анықтама бойынша

 функциясы   функциясы үшін алғашқы функция. Демек,  .

функциясы F(x)- тан басқа    функциясының алғашқы болсын, яғни   онда кез-келген   үшін

Бұл   екенін білдіреді. Мұндағы С-тұрақты сан, сондықтан  . Теорема дәлелденді.

Мұндағы  -интеграл астындағы функция,  -интеграл астындағы өрнек,  интегралдау айнымалысы,  интеграл белгісі деп атайды. Функцияның анықталмаған интегралын табу операциясын интегралдау деп атайды. Геометриялық тұрғыда анықталмаған интегралдар   параллель қисықтар жиынын бейнелейді. Әрбір алғашқы фукцияның графигі интегралдық қисық деп аталады.

1.2 Анықталмаған интегралдың қасиеттері

Анықталмаған интегралдың анықтамасынан шыққан қасиеттерін көрсетейік:

1.       Анықталмаған интегралдың дифференциалы интеграл астындағы өрнекке, ал анықталмаған интегралдың туындысы интеграл астындағы функцияға тең:

Д/уі:

және

Теорема дәлелденді.

2.       Қандайда бір функцияның дифференциалының анықталмаған интегралы осы функция мен кез-келген тұрақтының қосындысына тең:

Себебі, 

3.       Тұрақты көбейткішті интеграл белгісінің алдына шығаруға болады:

Д/уі:

Теорема дәлелденді.

4.  Бірнеше алгебралық қосындылардың анықталмаған интегралы қосылғыштардан алынған анықталмаған интегралдың алгебралық қосындысына тең

Д/уі:

 және   болсын. Онда

мұндағы  . Теорема дәлелденді.

5.  (Интегралдаудың инварианттық түрі). Егер

онда

мұндағы   үзіліссіз туындысы бар кез-келген функция.

Д/уі:  тәуелсіз,  үзіліссіз функция және  оның алғашқы функциясы. Онда  . Онда   функциясын орнына апарып қоямыз, мұндағы  үзіліссіз - дифференциалданатын функция.   күрделі функциясын қарастырамыз. Функцияның бірінші дифференциалының инварианттық түрі негізінде

Бұдан  . Теорема дәлелденді.

Сонымен анықталмаған интегралдардың формуласы үшін интегралдау айнымалысы оның үзіліссіз туындысы бар кез-келген функциясынан немесе  айнымалысынан тәуелсіз екендігі дұрыс болады.

1.3 Негізгі анықталмаған интегралдың кестесі

Интегралдау ол дифференциалға кері амал. Негізі интегралдар кестесін дифференциалдарды есептеу формулаларынан және анықталмаған интегралдардың қасиеттерінен алуға болады. Интегралдаудың негізгі әдістерін қарастырғанда, таблицада келтірілген формулалардың қортындылары алынады. Таблицадағы формулалар келтірілген интегралдарда таблицалық интегралдар деп атайды. Оларды жатқа білу керек. Дифференциалдық есептеулердегі сияқты интегралдық есептеулерде де элементар функциялардың алғашқы функцияларын іздегенде оңай және универсалды ережелері жоқ. Алғашқы функцияларды табу әдістері берілген (ізделінді) интегралды таблицалық интегралға нұсқау әдістеріне келтіреміз. Сондықтан таблицалық интегралдарда бірден аңғара білу керек. Интегралдардың негізгі таблицасындағы интегралдану айнымалысы тәуелсіз айнымалы сияқты, тәуелсіз айнымалыларда тәуелді функция болып белгіленеді (интегралдан формулаларының инварианттылығы қасиетіне сәйкес).

Интегралдардың негізгі кестесі