Урок по теме: "Окружность"

КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИ

Определение . Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется к окружности.

касательной

р

А - точка касания

О

А

Это интересно!

(О свойстве касательной)

Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу,

проведенному в точку касания.

Дано : окр(О,ОА), р – касательная к окружности,

А – точка касания.

Доказать : р ОА.

Доказательство :

О

А

1 .Пусть р ОА, тогда ОА – наклонная к прямой р.

2.Т.к. п/р , проведенный из точки О к прямой р, меньше наклонной ОА,

то расстояние от центра О окружности до прямой р меньше радиуса.

3. Из пп. 1 и 2 прямая и окружность имеют две общие точки, что

противоречит условию ( прямая р – касательная ).

Т.об. р ОА. Ч. и т. д.

р

.

На рисунке точки А, В, С лежат на одной прямой.

А

В

С

•

ЗАПОМНИ!

Отметим на окружности две точки А и В.

М

Угол с вершиной в центре окружности называется ее центральным углом.

• О

О

Они разделяют окружность на две дуги.

А и В – концы дуг.

•

А •

• В

А

В

С

Чтобы различить эти дуги, на каждой из них отмечают промежуточную точку С и М.

Обозначают дуги: АМВ, АСВ.

Центральному углу АОВ соответствуют две дуги с концами в точках А и В.

М

Дуга называется полуокружностью , если отрезок, соединяющий ее концы, является

М

О

О

О

А

В

А

В

В

А

С

М

диаметром окружности .

АМВ = АОВ, АМВ =360 - АОВ

АМВ = АСВ =180

ВПИСАННЫЙ УГОЛ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ . Угол, вершина

которого лежит на окружности,

а стороны пересекают окружность,

называется углом.

В

вписанным

На рисунке дуга АМС расположена внутри вписанного угла АВС, т.е. вписанный угол АВС опирается на дугу АВС.

О

А

С

М

ЗАДАЧА. Сколько на рисунке вписанных углов?

Ответ:

О

4

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Дано : окр.(О, r ), АВС – вписанный (опирается на АС).

Доказать : АВС = АС.

Доказательство :

(рассмотрим случай, когда луч ВО совпадает с одной из

сторон АВС)

1. АОС = АС, т.к. АС меньше полуокружности.

2. АВО – р/б, т.к. АО = ВО = r 1 = 2 (свойство р/б тр -ка).

• АОС = 1+ 2 = 2 1,т.к. АОС – внешний угол р/б тр-ка.
• Из пп. 1и 3 2 1 = АС, т.е. 1 = АС.

Т. об. АВС = АС.

В

1

2

А

О

С

Ч. и т. д.

Возможны еще два случая расположения луча ВО относительно угла АВС.

1) Луч ВО делит угол АВС 2) Луч ВО не делит угол АВС

на два угла. на два угла и не совпадает

со сторонами этого угла.

Дом. зад. Доказательство случая №1 рассмотрите по учебнику,

а случая №2 проведите самостоятельно (п.71)

В

В

А

О

О

А

С

С

По данным рисунков найдите х.

1) 152

3)

2) 125

Х

80

Х

•

•

•

2)

20

215

Х

30

х =64

х =175

х = 105

Вы можете себя проверить.

Для этого нажмите ОТВЕТ

РАССМОТРИМ ВАЖНЫЕ СЛЕДСТВИЯ

Следствие 2.

Вписанный угол,

опирающийся на

полуокружность, - прямой.

Следствие 1.

Вписанные углы,

опирающиеся на одну и ту

же дугу, равны.

• Каким может быть взаимное расположение прямой и окружности?
• Как называется прямая, которая имеет с окружностью две общих точки?
• Какая прямая называется касательной к окружности ?
• Какая точка называется точкой касания прямой и окружности ?
• Сформулируйте теорему о свойстве касательной ( к следующему уроку попробуй выучить доказательство).
• Какой угол называется центральным углом окружности ?
• Какая дуга называется полуокружностью?
• Как определяется градусная мера дуги ?
• Какой угол называется вписанным ?
• Сформулируйте теорему о вписанном угле( к следующему уроку попробуй разобрать все три случая доказательства).
• Докажите, что вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
• Докажите, что вписанные углы, опирающиеся на полуокружность, - прямые.

Предлагаем ответить на вопросы теста по изученной теме

(запомните количество правильных ответов)

1) На рисунке прямая по отношению к окружности

А секущая Б касательная С нет правильного ответа

2) На рисунке угол

А центральный Б вписанный С нет правильного ответа

3) Прямая – касательная по отношению к окружности.

Она образует с радиусом, проведенным в точку касания угол

А острый Б прямой С тупой

4) Дуга АВС равна

А 360 ° -2

5) Дуга АОС равна 60 ° . Угол АВС равен

А 60 ° Б 30 ° С 15 °

6) Угол АВС равен 30 ° . Угол А D С равен

А 60 ° Б 30 ° С нет правильного ответа

7) АВ – диаметр. Угол АОВ равен

А 90 ° Б 180 ° С нет правильного ответа

А

о

В

С

А

О

В

С

C

D

В

А

О

А

В

ИТОГ

ПРАВИЛЬНО

Для возвращения к тесту нажми

ОК

ПОДУМАЙ ЕЩЕ

Для возвращения к тесту нажми

ОК

КРИТЕРИИ ОЦЕНКИ

количество правильных

ответов

отметка

7

отлично

5 - 6

хорошо

4

удовлетворительно

менее 4

нельзя оценить ответ

ЕСЛИ ТЫ ДОВОЛЕН РЕЗУЛЬТАТОМ, ПОЗДРАВЛЯЕМ! ЖЕЛАЕМ УСПЕХОВ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ГЕОМЕТРИИ.

ЕСЛИ НЕ ВСЕ УДАЛОСЬ, ТО МОЖНО ВЕРНУТЬСЯ НА ПЕРВЫЙ СЛАЙД