Презентация по информатике на тему "Представление информации в различных системах счисления"

История систем счисления.

Современный человек в повседневной жизни постоянно сталкивается с числами и цифрами: мы запоминаем номера автобусов и телефонов, в магазине подсчитываем стоимость покупок, ведем свой семейный бюджет и т.д. и т.п.

Числа, цифры…они с нами везде.

А две тысячи лет назад что знал человек о числах?

А пять тысяч лет назад?

Сегодня, в 21 веке, человечество для записи чисел использует в основном десятичную систему счисления.

А что такое система счисления?

Система счисления - совокупность приемов и правил для изображения чисел с помощью символов (цифр), имеющих определенные количественные значения.

- непозиционная

- позиционная

Непозиционная система счисления.

В непозиционных системах счисления вес цифры (то есть тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа.

Так, в римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти.

Представление информации в различных системах счисления

Содержание:

Арифметические вычисления в различных системах счисления

Общее представление числовой информации

Перевод чисел из одной систем счисления в другую

История систем счисления

Современный человек в повседневной жизни постоянно сталкивается с числами и цифрами: мы запоминаем номера автобусов и телефонов, в магазине подсчитываем стоимость покупок, ведем свой семейный бюджет и т.д. и т.п.

Числа, цифры…они с нами везде.

А две тысячи лет назад что знал человек о числах?

А пять тысяч лет назад?

Сегодня, в 21 веке, человечество для записи чисел использует в основном десятичную систему счисления.

А что такое система счисления?

Системы счисления

Система счисления - совокупность приемов и правил для изображения чисел с помощью символов (цифр), имеющих определенные количественные значения.

Система счисления

непозиционная

позиционная

Непозиционная система счисления

В непозиционных системах счисления вес цифры (то есть тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа.

Так, в римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти.

Унарная – одна цифра обозначает единицу (1 день, 1 камень, 1 баран, …)

Славянская система счисления

алфавитная система счисления (непозиционная)

Более совершенные непозиционные с/с.

К их числу относились славянская, греческая, финикийская и др. В них числа от 1 до 9, целые количества десятков (от 10 до 90) и целые количества сотен (от 10 до 900) обозначались буквами алфавита.

В России славянская нумерация сохранилась до конца 17 века. При Петре I возобладала арабская нумерация, которой пользуемся до сих пор.

Греки над буквами, обозначающими числа, ставили специальный знак – титло.

Римская система счисления

В ней для обозначения чисел

1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000

используются заглавные латинские буквы I, V, X, L, С, D и М (соответственно), являющиеся «цифрами» этой системы счисления.

Число в римской системе счисления обозначается набором стоящих подряд «цифр».

Римская система счисления

Правила:

• (обычно) не ставят больше трех одинаковых цифр подряд если младшая цифра (только одна !) стоит слева от старшей, она вычитается из суммы ( частично непозиционная!)
• (обычно) не ставят больше трех одинаковых цифр подряд
• если младшая цифра (только одна !) стоит слева от старшей, она вычитается из суммы ( частично непозиционная!)

Примеры:

MDC X L I V =

– 1

= 1644

+ 5

+ 50

+ 100

1000

+ 500

– 10

2389 = 2000 + 300 + 80 + 9

CCC

LXXX

M M

IX

2389 = M M C C C L X X X I X

Позиционная система счисления

234

В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число.

    Например, в числе 357,6  первый символ  3 означает 3 сотни; второй символ 5 означает 5 десятков, третий символ  7 означает 7 единиц, а четвертый символ  6 означает 6 десятых долей единицы.

Две сотни

Три десятка

Четыре единицы

Основание позиционной системы счисления - это количество различных символов, используемых для изображения чисел в данной системе счисления.

    В настоящее время, кроме хорошо известной нам десятичной системы счисления, в вычислительной технике используются  двоичная, восьмеричная , и шестнадцатеричная системы счисления. Все применяемые в настоящее время системы счисления позиционные.

Двоичная СС

В двоичной системе счисления для изображения чисел используется 2 символа: 0,  1 . Поэтому основанием двоичной системы счисления является число 2.

Например, число 5 в двоичной СС в полной форме записывается следующим образом:

5 = 1*2 2 +0*2 1 +1*2 0

В сокращенной и более привычной форме число 5 в двоичной системе записывается так:

5 10 = 101 2

Восьмеричная СС

Приняв за основание число 8 , получаем восьмеричную систему счисления:

• 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

Всего 8 разных знаков составляют алфавит восьмеричной системы счисления

Можно записать любое число включая все эти знаки : 237, 145, 32, 12765… - обратите внимание: используем цифры от 0 до 7

Для восьмеричной системы счисления q=8

Десятичная СС

Приняв за основание число 10 , получаем знакомую нам десятичную систему счисления:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Всего 10 разных знаков составляют алфавит десятичной системы счисления. Можно записать любое число включая все эти знаки: 237, 12840, 987, 23...

Основание системы счисления обозначают буквой q .

Для десятичной системы счисления q=10

Шеснадцатеричная СС

Приняв за основание число 16 , получаем шестнадцатеричную систему счисления. Здесь мы можем воспользоваться 10 знаками десятичной системы, добавив еще 6 знаков – буквы латинского алфавита (A, B, C, D, E, F): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E,F

10 11 12 13 14 15

Всего 16 разных знаков составляют алфавит шестнадцатеричной системы счисления.

Можно записать любое число включая все эти знаки: А37, 1В45, F302, 1A3C5… - обратите внимание: используем знаки от 0 до F.

Для шестнадцатеричной системы счисления q=16

"Алфавит" различных систем счисления

Система счисления

Основание

Двоичная

2

Восьмеричная

Размерность алфавита

Десятичная

8

2

Цифры

0, 1

10

8

Шестнадцатеричная

0,1,2,3,4,5,6,7

10

16

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

16

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,А,В,С,D,T,F

Шпаргалка

Двоично - восьмеричная таблица

Двоично-шестнадцатеричная таблица

16

2

0

0000

1

16

0001

2

2

8

0010

1000

3

9

А

0011

1001

4

0100

1010

В

5

1011

С

0101

6

0110

1100

7

D

0111

1101

Е

1110

F

1111

8

0

2

000

1

001

2

010

3

4

011

100

5

6

101

110

7

111

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ

• Арифметические операции выполняются в любой системе счисления по одним и тем же правилам.

• СЛОЖЕНИЕ . ДВОИЧНЫХ ЧИСЕЛ

• Сложение много разрядных чисел в двоичной системе счисления происходит согласно данной таблице с учетом переноса в старший разряд.

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 10

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ

СЛОЖЕНИЕ ДВОИЧНЫХ ЧИСЕЛ

10011 2

+ 111 2

11010 2

1 10 2

+ 11 2

2

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 10

111 2 100101 2

+ 11 2 + 1011 2

1010 2 110000 2

1001

СЛОЖЕНИЕ ДВОИЧНЫХ ЧИСЕЛ

10011 2

+ 101 2

111 2

+ 10 2

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1+ 1 = 11

1 + 1 = 10

11000 2

110 2 100101 2

+ 101 2 + 11011 2

1001 2

Проверить

Проверить

1011 2

Проверить

Проверить

1000000 2

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ

УМНОЖЕНИЕ ДВОИЧНЫХ ЧИСЕЛ

0 Х 0 = 0

0 Х 1 = 0

1 Х 0 = 0

1 Х 1 = 1

2

1

0

1

Х

2

1

1

1

2

0

1

1

+

2

1

0

1

2

0

1

1

0

СЛОЖЕНИЕ ДВОИЧНЫХ ЧИСЕЛ

10011 2

* 11 2

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 10

11 2

10011 2

11011 2

+

Проверить

10011 2

*

101110 2

11011 2

+

11011 2

Проверить

10110 2

Разложение чисел

по степеням основания

Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо это число представить в виде суммы произведений степеней основания двоичной системы счисления на соответствующие цифры в разрядах двоичного числа .

Число представляется в виде суммы произведений ЦИФРЫ на ВЕС РАЗРЯДА.

Вес разряда – это основание СС в степени равной номеру разряда .

Разряды нумеруются от разряда единиц- влево.

Разряд единиц имеет номер 0 .

3 2 1 0

1*1=

1*8+

1*2+

0*4+

1*2 0 =

0*2 2 +

1*2 3 +

1011 2 =

1*2 1 +

11 10

Разложение чисел

по степеням основания

Аналогично происходит перевод чисел из других систем счислений в десятичную.

2451 8 = 2 · 8 3 + 4 · 8 2 + 5 · 8 1 + 1 · 8 0

?

675 8 =

6*8 2 +7*8 1 +5*8 0 = 6*64+7*8+5*1=445 10

Проверить

1А 16 =

?

1*16 1 +10*16 0 =16+10=26 10

Проверить

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

q=10

q=2

0

q=8

0

1

q=16

2

0

1

10

3

0

1

1

2

11

4

2

3

100

5

6

3

4

101

7

110

4

5

5

6

8

111

1000

9

6

7

7

10

1001

10

8

11

1010

11

9

12

12

1011

13

1100

13

A

B

14

1101

14

C

15

15

1110

16

1111

D

16

E

17

10000

17

18

10001

20

F

10

21

10010

11

22

12

При переводе из одной системы счисления в другой можно пользоваться таблицей соответствия.

Правила перевода

Из десятичной системы счисления

в позиционные системы счисления:

• Разделить десятичное число на основание системы счисления. Получится частное и остаток.

• Выполнять деление до тех пор, пока последнее частное не станет меньшим основания новой системы счисления.

• Записать последнее частное и все остатки в обратном порядке. Полученное число и будет записью в новой системы счисления .

Представим число 62 10

в двоичной системе счисления:

62

2

2

31

62

30

2

0

15

2

14

7

1

2

3

1

6

2

1

1

1

Ответ: 62 10 = 111110 2

25

Представим число 67 10

в восьмеричной системе счисления:

8

67

64

8

8

8

3

1

0

Ответ: 67 10 = 103 8

26

Представим число 91 10

в шестнадцатеричной системе счисления:

16

91

80

5

11

Ответ: 91 10 = 5B 16

27

19 10 =

10011 2

Проверить

19

2

18

2

9

8

2

1

4

4

2

1

2

2

0

1

0

73 10 =? 2

73 10 =1001001 2

73 10 =? 16

73 10 =49 16

Проверить

Проверить