Позиционные и непозиционные системы счисления

План - конспект урока "Позиционные и непозиционные системы счисления"Разработка урока "Перевод чисел из одной системы счисления в другую"Разработка урока по теме "Структура микропроцессоров" и тест по пройденному материалу

Тема: Позиционные и непозиционные системы счисления

Цели:

• Познакомить учащихся с историей цифр, понятием «позиционная и непозиционные системы счисления»;

• Развивать интерес к предмету;

• Воспитание сознательного отношения к изучению предмета

Ход урока

1. Организационный момент

2. Изучение нового материала

Немного истории

Как могут выглядеть цифры?
C самых первых уроков математики мы привыкли записывать числа, используя следующие цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Их мы называем арабскими. Собственно говоря, эти цифры возникли в Индии не позднее V века,  оттуда попали  на Ближний Восток, а после в Европу. Считается, что первоначально они выглядели так:

Здесь количество углов соответствует числу цифры. 
А теперь давайте подумаем: что изменится, если те же цифры обозначить другими знаками?  Например, так:

Правильно! Изменится только внешний вид, а значение останется прежним. Из этих цифр можно составлять те же числа, с ними можно выполнять те же математические операции:

Итак, числа можно записывать любыми знаками! :-)
От перемены мест цифр...
Теперь давайте вспомним римские числа.
Они появились около 500 лет до нашей эры у этрусков и благополучно дожили до наших дней. Их используют в истории при обозначении веков и тысячелетий, а также на циферблатах некоторых часов.
Как видите, числа здесь записываются совсем по-другому. В чем их отличие от привычных нам арабских? Для этого рассмотрим следующие примеры.
Запишем число одиннадцать арабскими цифрами:
11

Здесь правая единица указывает число единиц, а левая – число десятков. (11 = 10 + 1). Т.е. значение цифры зависит от её позиции.
А теперь запишем числа четыре и шесть римскими цифрами:
IV  и  VI

В римской записи четыре это пять без одного, а шесть – пять да ещё один. :-) Как видим, одними и теми же цифрами записаны разные числа, причем в данном примере I – это всегда «один», а V – это «пять», независимо от позиции.
Итак, оказывается существуют разные правила записи чисел.  :-)

А теперь – самое главное:

2. Римская система счисления

Используемые цифры

При образовании чисел в римской системе счисления знаки записываются последовательно, начиная со старшего, кроме случаев, когда необходимо записать неполную пятерку (десяток, полусотню, сотню, полутысячу, тысячу). В этом случае впереди ставится цифра меньшего разряда (единица, десяток, сотня соответственно). Прибавить можно не более 3 цифр, а вычесть только одну.

Пример 1: Запишите арабскими цифрами числоCXLI.

Решение: C = 100, X = 10, L = 50, I = 1, т.к. 10 

Пример 2: Запишите римскими цифрами число 419.

Решение: 419 = 400 + 10 + 9

400 – это неполная полусотня, (т.е 400=500-100), поэтому при записи перед полусотней добавим сотню (400=CD). Далее: 10 = X. 9 – это неполный десяток (т.е. 
9 = 10 – 1), аналогично при записи добавим единицу перед десятком (9 =IX). В результате получим: 
CD + X + IX  = CDXIX

Упражнение 1.1-1.2

1.1 Запиши арабскими цифрами

1.2 Запиши римскими цифрами

3. Немного фантазии

Почему цифр 10?

Над этим вопросом обычно не задумываются. Но вспомните первое счетное приспособление. Это пальцы обеих рук! А их, как известно, десять! :-)

Представьте нелёгкую работу древних счетоводов: первый зажимает пальцы на руках, считая единицы; как только все пальцы загнуты, второй счетовод зажимает один палец, а первый начинает заново; но вот первый снова дошел до десяти, и второй загнул ещё один палец и т.д. Когда второй счетовод использует все пальцы, понадобится третий и процесс повторится на новом уровне.

Сколько же цифр необходимо?

Работу можно существенно упростить, если научить одного человека обозначать каждый палец отдельным символом, и записывать по порядку эти символы, заменяя последовательно 1-го, 2-го и т.д. счетоводов.

А еще (проявите фантазию:-) ) можно увеличить количество символов при записи чисел, например до 60, как это делали в Древнем Вавилоне. Представляете, какая у них была таблица умножения. Она начиналась с безобидной записи 1х1=1, но заканчивалась 60х60=3600(!), и всю её нужно было знать  :-( .

Но! Если бы наши предки догадались при счете, скажем поднимать руки (а не загибать пальцы), то мы использовали бы всего две цифры: 0 и1, а вся таблица умножения выглядела так: 0х0=0, 0х1=0, 1х0=0, 1х1=1

Только представьте, как легко её выучить!

Немного пофантазировав, мы видим что для записи чисел можно использовать любое количество цифр. :-)

А теперь – самое главное:

1. Итоги урока

2. Д/З конспект