Элементы теории вероятностей

Напомним, что важнейшими понятиями теории вероятностей являются вероятностный эксперимент (испытание, наблюдение), событие (следствие испытания) и вероятность события.

Событие называется случайным по отношению к некоторому испытанию (опыту), если в ходе этого испытания оно может произойти, а может и не произойти. Обозначают: , , , …

Событие  называется достоверным по отношению к некоторому испытанию, если в ходе этого испытания событие  обязательно произойдёт.

Событие Э называется невозможным по отношению к некоторому испытанию, если в ходе этого испытания событие  заведомо не произойдёт.

Элементарным событием называется каждый возможный результат вероятностного эксперимента.

Суммой (объединением) событий  и  называется событие, которое состоит в том, что происходит хотя бы одно из данных событий.

Сумму событий  и  обозначают:  (или ).

Произведением (пересечением) событий  и  называется событие, которое состоит в том, что происходят оба этих события.

Произведение событий  и  обозначают:  (или ).

События  и  называются равными (равносильными), если событие  происходит тогда и только тогда, когда происходит событие .

Обозначают: .

Событие  называется противоположным событию , если событие  происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие .

Теперь напомним, что вероятностью  события  в испытании с равновозможными элементарными исходами называется отношение числа исходов , благоприятствующих событию , к числу  всех исходов испытания.

,

Приведённое определение вероятности называется классическим определением вероятности.

Вероятность суммы двух несовместных событий (то есть появление одного из них исключает появление другого) равна сумме вероятностей этих событий.

Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

Вероятность суммы двух произвольных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения.

Напомним, что если  и  – два события, связанные с некоторым опытом, причём , то число  называют вероятностью события  при условии, что наступило событие , или просто условной вероятностью события .

Таким образом, имеет место формула

В теории вероятностей понятие условной вероятности вводится для характеристики зависимости одних событий от других.

События  и  называются независимыми, если выполняется равенство:

.

Если это равенство не выполняется, то события  и  называются зависимыми.

И вспомним статистическое определение вероятности. Но прежде, чем сформулировать его, напомним, что относительной частотой события  в данной серии испытаний называется отношение числа испытаний , в которых это событие произошло, к числу всех проведённых испытаний .

Число  называют частотой события .

Статистической вероятностью называется число, около которого колеблется относительная частота события при большом числе испытаний.

Мы с вами повторили основные моменты, а теперь давайте перейдём к практической части занятия.

Задача первая. Брошены две игральные кости. Найдите вероятность события  – произведение выпавших очков есть нечётное число.

Решение.

Задача вторая. В ящике лежат  одинаковых на ощупь шаров, из них  жёлтых и  зелёных. Наугад вынимаются  шара. Найдите вероятности событий  и , если  – оба вытянутых шара жёлтого цвета,  – вытянутые шары имеют разный цвет.

Решение.

Задача третья. Вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадает в мишень, равна . Какова вероятность того, что, выстрелив по мишени один раз, стрелок промахнётся?

Решение.

Задача четвёртая. В колоде  карт. Наугад вынимается одна карта. Какова вероятность того, что будет вынута карта бубновой масти или дама?

Решение.

Задача пятая. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по мишени по одному разу. Вероятности попадания в мишень для них равны соответственно  и . Найдите вероятность того, что оба стрелка попадут в мишень.

Решение.

Задача шестая. В корзине лежат  грейпфрута и  апельсина. Не глядя, из корзины дважды вынимают по одному фрукту, не возвращая их обратно. Найдите вероятность того, что вторым будет вынут апельсин, при условии, что первым уже был извлечён грейпфрут.

Решение.