Координаты на прямой, декартовы координаты на плоскости и в пространстве

Напомним, что координатной прямой называется прямая с выбранными на ней началом отсчёта, единичным отрезком и направлением. Положение точки на прямой задаётся одним числом – её координатой.

Расстояние между точкой  и точкой  равно .

Координата середины отрезка  равна .

Теперь напомним, что прямоугольная декартова система координат на плоскости задаётся двумя взаимно перпендикулярными координатными прямыми – осями координат, с масштабом, одинаковым для обеих осей.

Точка пересечения координатных прямых называется началом координат и является начальной для каждой из них. Ось  называют осью абсцисс, а ось  – осью ординат. Плоскость, на которой задана прямоугольная декартова система координат, называется координатной плоскостью и обозначается .

Каждой точке координатной плоскости ставится в соответствие пара чисел, которые называются координатами этой точки: абсцисса (соответствующая координата прямоугольной проекции этой точки на ось икс) и ордината (соответствующая координата прямоугольной проекции этой точки на ось игрек). Эти числа называют декартовыми координатами данной точки.

При этом важно помнить, что, записывая координаты точки, абсциссу всегда ставят на первое место, а ординату – на второе.

Координатные оси разбивают плоскость на четыре части. Их называют координатными четвертями.

Расстояние между точкой  и точкой  выражается формулой:

.

Середина отрезка  имеет координаты: .

Также напомним, что уравнение окружности с центром в точке  и радиусом  имеет вид:

.

А уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом  имеет следующий вид:

.

Уравнение прямой в декартовых координатах на плоскости имеет вид:

.

Напомним некоторые частные случаи.

Если , , то уравнение принимает вид . В этом случае прямая параллельна оси . В частности, если , то прямая совпадает с осью .

Если , , то уравнение принимает вид . В этом случае прямая параллельна оси . В частности, если , то прямая совпадает с осью .

Если , то уравнение принимает вид . В этом случае прямая проходит через начало координат.

Прямоугольной декартовой системой координат в пространстве называются три взаимно перпендикулярные координатные прямые – оси координат, пересекающихся в одной точке. Точка пересечения координатных прямых называется началом координат и является начальной точкой для каждой из них.

Ось  называют осью абсцисс, ось  – осью ординат, а ось  – осью аппликат.

Плоскость, которая проходит через оси  и , называется координатной плоскостью .

Плоскость, которая проходит через оси  и , называется координатной плоскостью .

А плоскость, которая проходит через оси  и , называется координатной плоскостью .

Пространство, в котором заданы оси ,  и  обозначается .

Каждой точке пространства ставится в соответствие тройка чисел – координаты прямоугольных проекций этой точки на оси ,  и  соответственно.

Числа ,  и  называют декартовыми координатами точки.

 называют абсциссой точки ,  – ординатой точки , а  – аппликатой этой точки.

Расстояние между точкой  и точкой  выражается формулой:

.

Середина отрезка  имеет координаты: .

Также напомним, что уравнение сферы с центром в точке  и радиусом  имеет вид:

.

Если центром сферы является начало координат, то уравнение сферы имеет следующий вид:

.

Уравнение плоскости имеет вид , где .

Мы с вами повторили основные моменты, а теперь давайте перейдём к практической части занятия.

Задание первое. На координатной прямой отмечены точки  и . Точка  – середина отрезка . Найдите расстояние между точками  и  и координату точки .

Решение.

Задание второе. Запишите уравнение окружности с центром в начале координат, проходящей через точку .

Решение.

Задание третье. Найдите координаты точки пересечения прямых  и .

Решение.

Задание четвёртое. Найдите расстояние  между точками  и .

Решение.

Задание пятое. Запишите уравнение сферы, проходящей через точки ,  и , если её радиус равен .

Решение.

Задание шестое. Найдите значение , при котором прямая  касается окружности .

Решение.