Меню
Видеоучебник
Видеоучебник  /  Математика  /  Подготовка к ЕГЭ по математике  /  Вектор, модуль вектора. Коллинеарные векторы. Компланарные векторы. Координаты вектора

Вектор, модуль вектора. Коллинеарные векторы. Компланарные векторы. Координаты вектора

Урок 42. Подготовка к ЕГЭ по математике

В этом видеоуроке мы вспомним, что называют вектором, модулем вектора. Поговорим о сложении векторов и умножении вектора на число. Вспомним о коллинеарных векторах и разложении вектора по двум неколлинеарным векторам. Также напомним о компланарных векторах и разложении вектора по трём некомпланарным векторам. Вспомним о координатах вектора, скалярном произведении векторов и его свойствах.

Конспект урока "Вектор, модуль вектора. Коллинеарные векторы. Компланарные векторы. Координаты вектора"

Напомним, что вектором называется направленный отрезок, то есть отрезок, имеющий длину и определённое направление. Если начало вектора находится в точке , а конец в точке , то такой вектор обозначается: . Часто векторы обозначаются и вот таким образом: .

Модулем, или длиной вектора, называется длина отрезка, который изображает вектор (, ).

Нулевым вектором называется вектор, начало и конец которого совпадают ().

Направления нулевой вектор не имеет, а его длина равна нулю ().

Два отличных от нуля вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. При этом два коллинеарных вектора могут быть сонаправленными () или противоположно направленными (, ).

Векторы называются равными, если они одинаково направлены и их длины равны.

Сумму двух векторов можно найти по правилу треугольника:

А также по правилу параллелограмма:

Отметим, что для любого вектора  справедливо равенство .

Также напомним, что для любых векторов ,  и  справедливы:

1.  (переместительный закон).

2.  (сочетательный закон).

Разностью векторов  и  называется такой вектор, сумма которого с вектором  даст вектор .

Для любых векторов  и  справедливо следующее равенство .

Произведением ненулевого вектора  на число  называется такой вектор , длина которого равна произведению .

При этом векторы  и  сонаправлены при  и противоположно направлены при .

Основные свойства умножения вектора на число.

Для любых чисел ,  и любых векторов ,  справедливы:

1.  (сочетательный закон).

2.  (первый распределительный закон).

3.  (второй распределительный закон).

Теорема. На плоскости любой вектор можно разложить по двум неколлинеарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.

,

,  – неколлинеарные векторы,

,  – коэффициенты разложения.

Векторы, лежащие в параллельных плоскостях (или в одной плоскости), называются компланарными.

При этом, если вектор  можно разложить по векторам  и , то есть представить в виде

,

где  и  – некоторые числа, то векторы ,  и  компланарны.

Для сложения трёх некомпланарных векторов можно использовать правило параллелепипеда:

Теорема. Любой вектор можно разложить по трём данным некомпланарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.

,

, ,  – некомпланарные векторы,

, ,  – коэффициенты разложения.

Коэффициенты разложения вектора по координатным векторам называются координатами вектора в данной системе координат.

, .

, .

Также напомним, что координатами вектора   с началом в точке  и концом в точке  называются числа , .

В пространстве координатами вектора  с началом в точке  и концом в точке  называются числа , , .

Теперь вспомним следующие правила.

Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.

, ,

вектор  имеет координаты .

, ,

вектор  имеет координаты .

Каждая координата разности равна разности соответствующих координат этих векторов.

, ,

вектор  имеет координаты .

, ,

вектор  имеет координаты .

Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.

,  – произвольное число,

вектор  имеет координаты .

,  – произвольное число,

вектор  имеет координаты .

Также напомним, что длина вектора  вычисляется .

В пространстве длина вектора по его координатам вычисляется аналогично.

, .

Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.

Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.

Скалярный квадрат вектора (то есть скалярное произведение вектора на себя) равен квадрату его длины.

Скалярное произведение двух векторов можно вычислить, зная координаты этих векторов. Скалярное произведение векторов  и  выражается следующей формулой:

.

В пространстве скалярное произведение векторов определяется аналогичным образом.

 , , .

И напомним свойства скалярного произведения векторов.

Для любых векторов , ,  и любого числа  справедливы соотношения:

1. , причём  при .

2.  (переместительный закон).

3.  (распределительный закон).

4.  (сочетательный закон).

Отметим, что распределительный закон имеет место для любого числа слагаемых.

Мы с вами повторили основные моменты, а теперь давайте перейдём к практической части занятия.

Задание первое. Стороны равностороннего треугольника  равны . Найдите длину вектора, равного сумме векторов  и .

Решение.

Задание второе. Найдите координаты вектора  и его модуль, если , .

Решение.

Задание третье. Даны векторы  и . Найдите координаты вектора  и его модуль.

Решение.

Задание четвёртое. При каких значениях  векторы  и  взаимно перпендикулярны?

Решение.

Задание пятое. Найдите модуль суммы и модуль разности векторов  и .

Решение.

Задание шестое. Найдите косинус угла  треугольника , если ,  и .

Решение.

3446

Комментарии 0

Чтобы добавить комментарий зарегистрируйтесь или на сайт