Следствия из СТО. Релятивистская динамика

 «Вы думаете, всё так просто?

Да, всё просто. Но совсем не так»

Альберт Эйнштейн

В данной теме будут рассмотрены основные следствия, вытекающие из теории относительности Эйнштейна. А также рассмотрим применение релятивистской динамики к основным законам классической механики.

В рамках прошлой темы познакомились с двумя постулатами теории относительности, сформулированных Эйнштейном:

Первый постулат (или постулат относительности) звучит следующим образом: в любых инерциальных системах отсчета все физические явления при одинаковых начальных условиях протекают одинаково.

Согласно второму постулату (или постулату постоянства скорости света): во всех инерциальных системах отсчета скорость света в вакууме одинакова и не зависит от скорости движения источника.

Как оказалось в дальнейшем, из данных постулатов вытекает ряд важнейших следствий. Поговорим о них, особо не останавливаясь на обосновании этих следствий.

Для начала рассмотрим воображаемые световые часы — это лампа и зеркало, закрепленные на противоположных концах стержня. Свет от вспышки лампы отражается от зеркала и попадает на фотоэлемент, расположенный рядом с лампой, который вновь ее включает.

Для наблюдателя, покоящегося относительно стержня, промежуток времени между вспышками легко определить, разделив удвоенную длину стержня на значение скорости света.

Таким образом, по числу вспышек можно измерять промежутки времени, необходимые для распространения сигнала.

А что будет происходить, если стержень будет двигаться с некоторой скоростью вправо перпендикулярно стержню.

Если сигнал достигает зеркала за промежуток времени  при измерении по неподвижным часам, то зеркало за этот промежуток времени сместится из точки B в точку B’ на расстояние . Расстояние от места вспышки до места отражения равно . Тогда из прямоугольного треугольника AB’A’ следует, что

Учитывая то, что такой же промежуток времени займет возвращение сигнала к лампе, окончательно получим:

Промежуток времени , измеренный по часам наблюдателя, покоящегося в данной ИСО, называют собственным временем наблюдателя. При этом собственное время одинаково во всех инерциальных системах отсчета.

А вот часы, движущиеся равномерно относительно данной системы отсчета, идут медленнее неподвижных часов и показывают тем больший промежуток времени, чем больше скорость их движения. Этот эффект называют релятивистским замедлением времени.

Теперь давайте рассмотрим следующую ситуацию. Пусть имеется стержень, который движется вдоль своей оси с некоторой скоростью. Если неподвижный наблюдатель включит секундомер при совмещении с ним переднего конца стержня, а выключит при совмещении с ним заднего конца стержня, то длину стержня можно будет легко определить из формулы, которая знакома из курса физики 7 класса.

В системе отсчета, связанной со стержнем, также можно определить его длину, измеряя время секундомером, однако в этом случае сам секундомер уже будет двигаться относительно стержня.

Учитывая релятивистский эффект замедления времени, получим формулу, выражающую релятивистское сокращение размеров.

где  – собственная длина стержня, т.е. это длина стержня в системе отсчета, относительно которой он покоится.

Таким образом, с точки зрения наблюдателя, движущееся тело сокращается в направлении своего движения. При этом поперечные размеры тела при таком движении не изменяются.

Есть еще одно следствие из теории относительности. Оно носит название относительность одновременности и звучит следующим образом: одновременность пространственно-разделенных событий относительна.

Если говорить более простым языком, то относительность одновременности говорит о том, что те события, которые были одновременными в одной инерциальной системе отсчета, перестают быть таковыми в другой системе отсчета, движущейся относительно первой с некоторой постоянной скоростью.

Помимо всего прочего, результаты теории относительности привели и к изменению закона сложения скоростей. Классический закон сложения скоростей не может быть справедливым, так как он противоречит постоянству скорости света в вакууме.

Так, например, если автомобиль движется со скоростью  и в некоторый момент времени включит фары, то скорость распространения света от фар относительно Земли должна быть равна опять-таки скорости света, а не . Новый закон сложения скоростей и должен приводить к требуемому результату.

Для простоты рассмотрим частный случай. Пусть тело M движется вдоль оси x’ системы отсчета K’, которая, в свою очередь, движется со скоростью  относительно системы отсчета K. Причем, в процессе движения координатные оси x и x’ все время совпадают, а координатные оси y и y’, z и z’ остаются параллельными.

Обозначим модуль скорости тела относительно подвижной системы отсчета через , а модуль скорости этого же тела относительно неподвижной системы отсчета через .

Тогда, зная модуль скорости тела в одной инерциальной системе отсчета, можно найти модуль его скорости в другой инерциальной системе отсчета.

Полученная взаимосвязь и выражает релятивистский закон сложения скоростей.

Стоит отметить то факт, что полученная формула применима только в том случае, если все три вектора скорости направлены вдоль одной прямой.

Сформулированные Эйнштейном постулаты, положенные в основу СТО, заставили физиков пересмотреть взгляды на классическую (ньютоновскую) механику. Классические выражения для импульса и энергии нужно было изменить для новой, уточненной формы записи законов сохранения импульса и энергии. Таким образом, теория относительности потребовала пересмотра и уточнения законов механики.

Уравнения динамики следует изменить так, чтобы они оставались неизменными при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую согласно принципу относительности. В случае малых скоростей, т.е. скоростей намного меньших скорости света, уравнения релятивистской динамики должны переходить в классические, ибо в этой области их справедливость подтверждается на опыте.

В классической механике важной динамической величиной является масса тела. Из второго закона Ньютона следует, что масса тела является мерой его инертных свойств. В формулах, связывающих импульс тела и его скорость, а также кинетическую энергию и скорость тела, масса также выступает как мера инертности.

В тоже время, масса, входящая в закон всемирного тяготения, является мерой гравитационного взаимодействия. Инертность и способность к гравитационным взаимодействиям представляют собой совершенно различные проявления свойств материи. Однако то, что меры этих различных проявлений обозначаются одним и тем же словом совсем не случайно, а обусловлено тем, что оба свойства всегда существуют совместно и всегда друг другу пропорциональны. А многочисленные опыты и экспериментальные факты доказывают, что инертная и гравитационная массы равны.

Известно что, в классической механике масса рассматривается и как мера количества вещества. Вспомните: чем больше отдельных частиц содержит физическая система, тем больше ее масса.

Однако в теории относительности масса тела уже не является мерой количества вещества. Это объясняется тем, что в релятивистской теории в понятие материи включается не только вещество (протоны, электроны, нейтроны), но и излучения (фотоны). Поэтому масса будет определятся не столько числом частиц, сколько их энергиями.

Также в теории относительности масса движущегося тела не является мерой его взаимодействия с гравитационным полем, так как это поле зависит от энергии и импульса тела.

Масса тела, движущегося со скоростью, близкой к скорости света, не является мерой его инертности.

Рассмотрим формулу и график. На них хорошо видно, что с ростом скорости тела будет увеличиваться и его масса. В качестве примера, можно рассмотреть тело массой 1 грамм. При земных скоростях его масса изменяться не будет, а если и будет, то очень незначительно. Однако, с приближением скорости, к скорости света это различие будет уже более существенное. И, наконец, если тело массой 1 грамм заставить двигаться со скоростью света, его масса станет равной 387,16 грамма.

В теории относительности эффективно применяется соотношение, связывающее полную энергию и импульс свободной частицы, движущейся с некоторой скоростью.

При чем, в этой формуле масса та же величина, что и в классической механике.

Выражение для импульса в классической механике не удовлетворяет принципам теории относительности, законам сохранения энергии и импульса, а также записанной формуле. Поэтому в СТО релятивистский импульс определяется новым выражением

Особенно важно отметить, что полученные нами формулы описывают движение частиц во всем интервале возможных скоростей. При движении со скоростью света модуль импульса и энергия связаны следующим соотношением:

Если полученное выражение подставим в первую формулу и проведем элементарные математические преобразования, то увидим, что масса частицы, движущейся со скоростью света, равна нулю. Такие частицы, решено было назвать безмассовыми. Они не могут быть ни замедленны, ни ускорены. В эксперименте такие частицы были обнаружены — это фотоны и нейтрино.

Для частиц с ненулевой массой выразим энергию и импульс через массу и скорость. Для энергии получим:

А для импульса

Тогда основное уравнение релятивистской динамики будет иметь вид:

Важнейшим отличием теории относительности от классической механики является то, что энергия тела не обращается в ноль, даже когда оно покоится. В этом случае энергия покоя тела пропорциональна его массе.

Энергия покоя имеет огромные значения. Например, тело массой 1 грамм обладает энергией покоя

Такая энергия эквивалентна энергии, выделяющейся при сгорании двух тысяч тонн нефти.

Таким образом, увеличение энергии тела связано с увеличением его массы, причем:

Данное соотношение выражает закон взаимосвязи массы и энергии покоя. В теории относительности, масса тела является мерой энергии покоя. А это свойства массы было не известно в классической механике.

Кинетическую энергию в СТО определяют как разность полной энергии и энергии покоя.

Из этой формулы видно, что если скорость частицы будет стремиться к скорости света, то ее кинетическая энергия будет стремиться к бесконечности. А это означает, что частицу, обладающей некоторой массой, невозможно разогнать до скорости света. Но не стоит думать, что релятивистская динамика противоречит законам классической физики.

Существует, так называемый, принцип соответствия, согласно которому любая новая теория, претендующая на более глубокое описание физических явлений и, соответственно, на более широкую область применимости, должна включать в себя предшествующие теории как предельные случаи. Таким образом, новая теория должна включать в себя предшествующую ей теорию и указывает пределы применимости ее идей и методов расчета.

И теория относительности Эйнштейна не является исключением из правил. Посмотрите, на практике все формулы специальной теории относительности переходят в формулы классической механики при скоростях, намного меньших скорости света.

При малых скоростях

Основные выводы:

– Понятие одновременности событий, расстояния и промежутка времени являются не абсолютными, а относительными и зависят от выбора системы отсчета.

– Из теории относительности вытекает, что скорость света в вакууме является максимально возможной скоростью передачи взаимодействия в природе.

– Основной же закон релятивистской динамики можно записать в той же форме, что и второй закон Ньютона, но учитывая релятивистское значение импульса тела.

Помимо этого, важнейшим для ядерной физики и физики элементарных частиц следствием теории относительности является вывод о взаимосвязи между массой и энергией. При этом частица обладает энергией даже при нулевой скорости.

Если движение тела происходит со скоростью многим меньше скорости света, то справедливы классические представления о пространстве и времени и законы механики Ньютона. Это есть проявление общего принципа соответствия физических теорий.