Напомним, что функция называется первообразной для функции на некотором промежутке, если для всех из этого промежутка .
Операцию нахождения производной данной функции называют дифференцированием. Обратную ей операцию – нахождение первообразной – называют интегрированием.
Вспомним основное свойство первообразных. Каждая первообразная для функции на некотором промежутке может быть записана в виде , где – одна из этих первообразных для функции на том же промежутке, а – произвольная постоянная.
На следующем слайде приведена таблица первообразных.
Отметим, что множество всех первообразных функции называют неопределённым интегралом этой функции и обозначают так:
.
То есть, если – первообразная для функции , а – произвольная постоянная, то .
Вспомним правила нахождения первообразных.
Если функции и – первообразные соответственно для функций и на некотором промежутке, то функция является первообразной для функции .
Если функция – первообразная для функции , а – постоянная, то функция является первообразной для функции .
Если функция – первообразная для функции , а и – постоянные, причём , то функция является первообразной для функции .
Теперь вспомним, как вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке функции , осью и прямыми , . Такую фигуру называют криволинейной трапецией.
Итак, площадь криволинейной трапеции можно вычислить по формуле
,
где – любая первообразная функции .
Разность называют интегралом функции на отрезке и обозначают .
То есть . Эту формулу называют формулой Ньютона-Лейбница.
На практике формулу записывают следующим образом: .
Запись вида называют определённым интегралом. Числа и называют соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, функцию – подынтегральной функцией, переменную – переменной интегрирования.
Напомним два свойства определённого интеграла.
1.
2.
Геометрический смысл определённого интеграла заключается в том, что площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле .
Физический смысл определённого интеграла. При прямолинейном движении перемещение за промежуток времени от до вычисляется по формуле , где – скорость движения.
Ещё одно физическое истолкование определённого интеграла. Масса прямолинейного неоднородного стержня с плотностью вычисляется по формуле , где – координата начала стержня, – координата конца стержня.
Мы с вами повторили основные моменты, а теперь давайте перейдём к практической части занятия.
Задание первое. Найдите все первообразные функций:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
Решение.
Задание второе. Для функции найдите первообразную, график которой проходит через точку .
Решение.
Задание третье. Вычислите интегралы:
а) . б) в)
Решение.
Задание четвёртое. Найдите площадь фигуры, ограниченной осью и параболой .
Решение.
Задание пятое. Найдите площадь фигуры, ограниченной осью , прямыми , и графиком функции .
Решение.