Напомним, что функция называется первообразной для функции
на некотором промежутке, если для всех
из этого промежутка
.
Операцию нахождения производной данной функции называют дифференцированием. Обратную ей операцию – нахождение первообразной – называют интегрированием.
Вспомним основное свойство первообразных. Каждая
первообразная для функции на некотором промежутке может быть
записана в виде
, где
– одна из этих первообразных для функции
на том же промежутке, а
– произвольная постоянная.
На следующем слайде приведена таблица первообразных.
Отметим, что множество всех первообразных функции называют неопределённым интегралом этой функции и
обозначают так:
.
То есть, если – первообразная для функции
, а
– произвольная постоянная, то
.
Вспомним правила нахождения первообразных.
Если функции и
– первообразные соответственно для функций
и
на некотором промежутке, то функция
является первообразной для функции
.
Если функция – первообразная для функции
, а
– постоянная, то функция
является первообразной для функции
.
Если функция – первообразная для функции
, а
и
– постоянные, причём
, то функция
является первообразной для функции
.
Теперь вспомним, как вычислить площадь фигуры, ограниченной
графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке функции
, осью
и прямыми
,
. Такую фигуру называют криволинейной трапецией.
Итак, площадь криволинейной трапеции можно вычислить по формуле
,
где – любая первообразная функции
.
Разность называют интегралом функции
на отрезке
и обозначают
.
То есть . Эту формулу называют формулой Ньютона-Лейбница.
На практике формулу записывают следующим образом: .
Запись вида называют определённым интегралом. Числа
и
называют соответственно нижним и верхним
пределами интегрирования, функцию
– подынтегральной функцией, переменную
– переменной интегрирования.
Напомним два свойства определённого интеграла.
1.
2.
Геометрический смысл определённого интеграла заключается в том, что площадь криволинейной трапеции вычисляется
по формуле .
Физический смысл определённого интеграла. При прямолинейном движении перемещение за промежуток времени от
до
вычисляется по формуле
, где
– скорость движения.
Ещё одно физическое истолкование определённого интеграла. Масса прямолинейного неоднородного стержня с плотностью
вычисляется по формуле
, где
– координата начала стержня,
– координата конца стержня.
Мы с вами повторили основные моменты, а теперь давайте перейдём к практической части занятия.
Задание первое. Найдите все первообразные функций:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
Решение.
Задание второе. Для функции найдите первообразную, график которой проходит через точку
.
Решение.
Задание третье. Вычислите интегралы:
а) . б)
в)
Решение.
Задание четвёртое. Найдите
площадь фигуры, ограниченной осью и параболой
.
Решение.
Задание пятое. Найдите площадь фигуры,
ограниченной осью , прямыми
,
и графиком функции
.
Решение.