Первообразная и интеграл

Напомним, что функция  называется первообразной для функции  на некотором промежутке, если для всех  из этого промежутка .

Операцию нахождения производной данной функции называют дифференцированием. Обратную ей операцию – нахождение первообразной – называют интегрированием.

Вспомним основное свойство первообразных. Каждая первообразная для функции  на некотором промежутке может быть записана в виде , где  – одна из этих первообразных для функции  на том же промежутке, а  – произвольная постоянная.

На следующем слайде приведена таблица первообразных.

Отметим, что множество всех первообразных функции  называют неопределённым интегралом этой функции и обозначают так:

.

То есть, если  – первообразная для функции , а  – произвольная постоянная, то .

Вспомним правила нахождения первообразных.

Если функции  и  – первообразные соответственно для функций  и  на некотором промежутке, то функция  является первообразной для функции .

Если функция  – первообразная для функции , а  – постоянная, то функция  является первообразной для функции .

Если функция  – первообразная для функции , а  и  – постоянные, причём , то функция  является первообразной для функции .

Теперь вспомним, как вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке  функции , осью  и прямыми , . Такую фигуру называют криволинейной трапецией.

Итак, площадь криволинейной трапеции можно вычислить по формуле

,

где  – любая первообразная функции .

Разность  называют интегралом функции  на отрезке  и обозначают .

То есть . Эту формулу называют формулой Ньютона-Лейбница.

На практике формулу записывают следующим образом: .

Запись вида  называют определённым интегралом. Числа  и  называют соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, функцию  – подынтегральной функцией, переменную  – переменной интегрирования.

Напомним два свойства определённого интеграла.

1.

2.

Геометрический смысл определённого интеграла заключается в том, что площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле .

Физический смысл определённого интеграла. При прямолинейном движении перемещение  за промежуток времени от  до  вычисляется по формуле , где  – скорость движения.

Ещё одно физическое истолкование определённого интеграла. Масса  прямолинейного неоднородного стержня с плотностью  вычисляется по формуле , где  – координата начала стержня,  – координата конца стержня.

Мы с вами повторили основные моменты, а теперь давайте перейдём к практической части занятия.

Задание первое. Найдите все первообразные функций:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Решение.

Задание второе. Для функции  найдите первообразную, график которой проходит через точку .

Решение.

Задание третье. Вычислите интегралы:

а) . б)  в)

Решение.

Задание четвёртое. Найдите площадь фигуры, ограниченной осью  и параболой .

Решение.

Задание пятое. Найдите площадь фигуры, ограниченной осью , прямыми ,  и графиком функции .

Решение.