Задачи на пропорциональное деление

Тема нашего урока: «Составные задачи на пропорциональное деление».

А подсказала нам эту тему девочка Оля.

У неё мечта – она хочет стать директором большого магазина. А директору магазина приходится очень часто решать задачи на пропорциональное деление. Но у Оли не получаются такие задачи. И если она не научится решать подобные задачи, то любое дело принесёт только убытки.

Итак, приступим. Вот первая задача

В магазин привезли 7 ящиков с апельсинами и 8 таких же ящиков с мандаринами. Всего привезли 90 кг фруктов. Сколько килограммов апельсинов и сколько килограммов мандаринов привезли в магазин?

Прежде, чем решать задачу, мы составим краткое условие в виде таблицы.

В первый столбик будем записывать массу фруктов в одном ящике, во втором столбике – количество ящиков, и в третьем столбике – массу всех фруктов.

В задаче сказано, что ящики с мандаринами такие же, как с апельсинами, значит масса их одинаковая. Ящиков с апельсинами 7, а с мандаринами – 8. Всего привезли 90 кг фруктов во всех ящиках. Надо узнать, сколько всего килограммов апельсинов и сколько всего килограммов мандаринов.

Чтобы найти массу всех фруктов, надо знать массу фруктов в одном ящике и количество ящиков. Нам неизвестна масса фруктов в одном ящике. Значит, нам надо это узнать. Чтобы найти массу фруктов в одном ящике, нам надо массу фруктов во всех ящиках разделить на количество этих ящиков. Что же нам известно? Дана масса всех фруктов. Но количество ящиков – по отдельности, с апельсинами и с мандаринами. Значит, мы должны узнать количество ящиков, в которых находятся все эти 90 кг фруктов. Мы к 7 ящикам прибавляем 8 ящиков, получается всего 15 ящиков с фруктами.

1) 7 + 8 = 15 (ящ.)

Посмотрите на рисунок.

Итак, теперь у нас есть количество всех ящиков и масса всех фруктов. Мы знаем, что масса всех ящиков одинаковая. Значит, теперь мы можем узнать массу фруктов в одном ящике. 90 делим на 15, получается – 6 кг масса одного ящика с фруктами.

2) 90 : 15 = 6 (кг)

Теперь нам надо узнать массу всех апельсинов. Если в одном ящике 6 кг апельсинов, и таких ящиков 7, то мы по 6 кг берём 7 раз, т.е. 6 умножаем на 7. Получается 42 кг апельсинов.

3) 6 · 7 = 42 (кг)

Теперь будем узнавать, сколько всего мандаринов. Масса каждого с мандаринами такая же, как и с апельсинами, т.е. 6 кг. Таких ящиков – 8. Мы по 6 кг берём 8 раз, т.е. 6 умножаем на 8, получается 48 кг мандаринов.

4) 6 · 8 = 48 (кг)

Так как в задаче спрашивается, сколько килограммов апельсинов и сколько килограммов мандаринов привезли в магазин, то и в ответе будет 2 числа. 42 кг апельсинов и 48 кг мандаринов привезли в магазин.

̶̶ А вы уверены, что задача действительно решена правильно?

̶ Ну что же, Оля, если ты не уверена в правильности ответов, можно выполнить простую проверку. Давай сложим количество апельсинов с количеством мандаринов.

̶ Хорошо. Проверяю.

42 + 48 = 90 (кг) фруктов.

Да, это действительно соответствует условию задачи. Здорово! Кажется, я поняла, как решать такие задачи! Но вот тут ещё одна… Она чем-то похожа, но все-таки не совсем такая…. И я опять не понимаю, как её решать.

-Ну что же, Оля, читай вторую задачу.

Для класса заказали одинаковое количество школьных костюмов для девочек и мальчиков.

На пошив костюма для девочки необходимо 2 м ткани, а на пошив костюма для мальчика – 3 м ткани. Сколько ткани пошло на костюмы для девочек и сколько на костюмы для мальчиков, если на пошив всех костюмов потребовалось 95 м ткани.

Давай, Оля, опять составим таблицу. Только теперь озаглавим столбики таблицы так: количество ткани на один костюм, количество костюмов, всего ткани.

На этот раз мы знаем количество ткани на пошив одного костюма для девочек – это 2 м, и количество ткани на пошив одного костюма для мальчиков – это 3 м. В задаче сказано, что заказали одинаковое количество костюмов для девочек и мальчиков. Всего потребовалось 95 м ткани. А надо узнать, сколько ткани отдельно пойдёт на костюмы девочек и сколько – на костюмы мальчиков.

Чтобы узнать, сколько ткани пойдёт на все костюмы для девочек и все костюмы для мальчиков, надо знать, сколько ткани пойдёт на 1 костюм и сколько костюмов. Сколько ткани идёт на пошив каждого костюма, нам известно. Но мы не знаем, сколько костюмов для девочек и для мальчиков. Чтобы узнать, сколько костюмов, надо знать, сколько всего ткани и сколько ткани пойдёт на каждый костюм. Мы знаем, что 95 м ткани пошло на все костюмы вместе, а вот количество ткани на один костюм разное для мальчиков и девочек. Как же быть? Посмотрите на рисунок.

Мы будем отрезать ткань сразу на костюм и мальчику и девочке. Сколько это метров?

1) 2 + 3 = 5 (м)

А теперь всю ткань разрежем на такие куски, т.е. мы узнаем, сколько раз по 5 м содержится в 95 м ткани.

2) 95 : 5 = 19

У нас получилось – 19 раз отрезали по 5 м. А из этих 5 м можно сшить 1 костюм для мальчика и 1 для девочки. Значит, из этой ткани можно сшить 19 костюмов для мальчиков и 19 костюмов для девочек. Давайте опять посмотрим на нашу таблицу.

Ну что же, теперь мы знаем, сколько костюмов сшили для девочек и мальчиков и сколько ткани пойдёт на каждый костюм. И мы можем узнать, сколько ткани пойдёт на все костюмы для девочек.

2 · 19 = 38 (м) – ткани на все костюмы для девочек. Костюмов для мальчиков тоже 19 и на каждый пойдёт по 3 м ткани. Значит, мы можем узнать, сколько ткани пойдёт на все костюмы для мальчиков.

3 · 19 = 57 (м) ткани на все костюмы для мальчиков.

Ответ: 38 м ткани, 57 м ткани.

̶ А я знаю, как можно проверить, правильно ли решена задача. Я сложу количество ткани на костюмы для девочек с количеством ткани на костюмы для мальчиков.

38 + 57 = 95 (м)

У меня получилось 95 м ткани. Это именно столько, сколько было дано в условии. Значит, задача решена верно!

̶ Молодец, Оля! А поняла ты, на что в этих задачах необходимо обратить внимание?

̶  Да, конечно! В первой задаче было дано общее количество фруктов, а вот количество ящиков по-отдельности – 7 ящиков с апельсинами и 8 ящиков с мандаринами. При этом, ящики были одинаковыми.

Поэтому, сначала мы узнавали, сколько всего ящиков, потом – сколько фруктов в каждом ящике, а после этого – сколько всего апельсинов и сколько всего мандаринов. Смысл задач состоит в том, чтобы общее количество фруктов разделить пропорционально количеству ящиков с апельсинами и с мандаринами. Больше ящиков, значит, соответственно, больше и фруктов. И, так как в вопросе надо было узнать 2 числа, то и в ответе мы записали 2 числа.

Во второй задаче, тоже было известно общее количество ткани, но на один костюм для девочек шло по 2 м ткани, а для мальчиков – 3м. Количество костюмов было одинаковым.

Поэтому мы узнавали, сколько ткани пойдёт на костюм мальчика и костюм девочки вместе. Потом общее количество ткани делили на количество полученных отрезов ткани, что позволило узнать, сколько костюмов для девочек и сколько костюмов для мальчиков. А после этого уже можно было узнавать, сколько ткани пошло на костюмы девочек и мальчиков по-отдельности. И, так как на пошив одного костюма для мальчика нужно больше ткани, то и на все костюмы для мальчиков потребуется больше ткани, чем на костюмы для девочек.

Спасибо! Теперь я поняла, как решать задачи на пропорциональное деление. Надеюсь, и ребята тоже их поняли!