Теорема о трех перпендикулярах

Вопросы занятия:

·     сформулируем теорему о трех перпендикулярах и докажем ее;

·     сформулируем и докажем обратную теорему.

Материал урока.

Напомню, что перпендикуляром, проведенным из точки А к плоскости α, называется отрезок AH. Точка AH называется основанием перпендикуляра. Если точка M – произвольная точка плоскости α, отличная от точки AH, то отрезок AM называется наклонной, проведенной из точки А к плоскости α, а точка М – основанием наклонной. Проекцией наклонной на плоскость, называется отрезок, соединяющий основание перпендикуляра и основание наклонной, проведенных из одной и той же точки к данной плоскости. В нашем случае, отрезок HM является проекцией наклонной AM на плоскость α.

Рассмотрим пример. Пусть ABCA₁B₁C₁ – прямая треугольная призма. Тогда ребро B₁B есть перпендикуляр, проведенный из точки B₁ к плоскости ее основания ABC, отрезок B₁C – наклонная, отрезок CB – проекция наклонной B₁C на плоскость ABC.

Давайте сформулируем и докажем теорему, которая играет важную роль при решении многих задач.

Теорема. Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

Доказательство. Пусть нам дана плоскость α. Проведем перпендикуляр AH к плоскости α. Тогда AM – наклонная, точка М – основание наклонной. HM – проекция наклонной AM на плоскость α. В плоскости α проведем прямую а через основание наклонной M перпендикулярно проекции HM. Докажем, что прямая а перпендикулярна и наклонной AM.

Прямая AH – это перпендикуляр к плоскости α по условию. Значит, прямая AH перпендикулярна и всем прямым, лежащим в этой плоскости. А тогда прямая AH перпендикулярна и прямой а, лежащей в плоскости α.

Прямая HM перпендикулярна прямой а по условию. Следовательно, прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым AH и HM плоскости AHM. Тогда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая а перпендикулярна плоскости AHM. Значит, прямая а перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости AHM. Прямая AM лежит в плоскости AHM. Следовательно, прямая а перпендикулярна прямой AM. Теорема доказана.

Эта теорема называется теоремой о трех перпендикулярах, так как в ней говорится о связи между тремя перпендикулярами AH, HM и AM.

Что и требовалось доказать.

Справедлива также и обратная теорема. Сформулируем и докажем ее.

Обратная теорема. Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции.

Доказательство. Пусть нам дана плоскость альфа. Проведем перпендикуляр AH к плоскости α. Тогда прямая AM – наклонная. HM – проекция наклонной AM на плоскость α. В плоскости α проведем прямую а через основание наклонной M перпендикулярно наклонной AM. Докажем, что прямая а перпендикулярна проекции HM.

Прямая AH – это перпендикуляр к плоскости α по условию. Значит, прямая AH перпендикулярна и всем прямым, лежащим в этой плоскости. А тогда прямая AH перпендикулярна прямой а. Прямая AM перпендикулярна прямой а по условию. Следовательно, прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым AH и AM плоскости AHM. Тогда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая а перпендикулярна плоскости AHM. Значит, прямая а перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Прямая HM лежит в плоскости AHM. Следовательно, прямая а перпендикулярна прямой HM. Теорема доказана.

Замечание. В доказанной прямой и обратной теореме точка М (основание наклонной) лежала на прямой а, принадлежащей плоскости α. Давайте проведем в плоскости α другую прямую b, которая параллельна прямой а. Тогда углы между прямыми b, АМ, HМ не изменятся. И из перпендикулярности прямой b и прямой AМ будет вытекать перпендикулярность прямой b и HМ и наоборот.

Решим несколько задач на применение теоремы о трех перпендикулярах.

Задача. В  , а  – перпендикуляр к плоскости . Докажите, что  – прямоугольный.

Доказательство.

Что и требовалось доказать.

Задача.  – куб. Точка  – точка пересечения диагоналей грани . Точка  – середина ребра . Докажите, что .

Доказательство.

Что и требовалось доказать.

Задача. Из вершины  прямоугольника  восстановлен перпендикуляр  к плоскости прямоугольника. Расстояния от точки  до остальных вершин прямоугольника равны  см,  см и  см. Найдите длину перпендикуляра .

Решение.

Ответ. 2 см.

Подведем итоги урока. На этом уроке мы сформулировали теорему о трех перпендикулярах:прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной, и доказали ее. Сформулировали и доказали обратную теорему: прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции. А также решили несколько задач на применение теоремы о трех перпендикулярах.