Работа потенциальных сил

В механике мы чаще всего имеем дело с тремя видами сил: гравитационными (в частности, силой тяжести), силами упругости и силами трения. Сегодня мы проанализируем, как вычисляется работа каждой из них, и попытаемся найти в этом основные сходства и различия.

Начнём с самой привычной силы — силы тяжести. Представьте, что вы держите в руке мяч. Когда вы его отпускаете, он падает на землю. Сила тяжести совершает работу. Давайте найдём её в общем случае. Пусть тело массой т перемещается под действием силы тяжести с некоторой высоты h₁ до высоты h₂. Будем считать, что высоты малы по сравнению с радиусом Земли. В этом случае силу тяжести можно считать постоянной:

F_тяж = mg.

Рассмотрим первый случай: тело падает вниз (например, мяч с полки на пол).

Вектор силы тяжести mg и вектор перемещения s направлены в одну сторону — вертикально вниз. Угол α между ними равен нулю. Значит, cos 0° = 1. Перемещение по модулю равно разности высот:

s = h₁ – h₂.

Значит, работа силы тяжести положительна и равна произведению модуля силы тяжести и разности высот:

A = mg(h₁ – h₂) = mgh₁ – mgh₂.

Теперь второй случай: мы поднимаем это тело с пола обратно на полку. Тело движется вверх. А сила тяжести направлена вниз. Угол между силой и перемещением теперь равен 180°. А сos180^o = –1. Перемещение тела теперь равно s = h₂ – h₁ — тело поднялось.

Найдём работу силы тяжести для этого случая:

A = –mg(h₂ – h₁) = mgh₁ – mgh₂.

Удивительно, но мы получили точно такое же выражение, что и в первом случае! Давайте проверим, будет ли это верно для любого пути. Представьте, что вы несёте рюкзак из точки A в точку B по лестнице с высоты h₁ на высоту h₂.

Пусть угол между направлением вектора силы и вектора перемещения равен альфа — это угол наклона лестницы. Запишем формулу для работы силы тяжести в общем виде:

A = mgs cosα.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔMKN, где гипотенузой выступает искомое перемещение, а одним из острых углов является угол α между направлением силы и перемещением. По свойствам прямоугольного треугольника ясно, что произведение длины гипотенузы (перемещения) на косинус угла α даст длину прилежащего катета МК:

MK = s cosα.

С другой же стороны, длина этого катета определяется разностью высот:

MK = h₁ –h₂.

Подставляя значение MK обратно в выражение для работы силы тяжести, получаем уже знакомую формулу:

A = mgh₁ – mgh₂.

Даже если вы понесёте свой рюкзак по извилистой горной тропе, работа силы тяжести всё равно будет определяться только разностью высот между начальной и конечной точками вашего маршрута. Это можно строго доказать, разложив перемещение на малые участки, и окажется, что работа зависит только от вертикальной составляющей пути. Таким образом, мы приходим к главному выводу: работа силы тяжести не зависит от формы траектории, по которой двигалось тело. Она определяется только разностью высот начального и конечного положений.

Что из этого следует? Если тело движется по замкнутой траектории — упало с полки, а потом вы его подняли обратно (начальная и конечная точки совпали, h₁ = h₂), то общая работа силы тяжести за весь путь будет равна нулю. Силы, обладающие таким замечательным свойством — независимостью работы от формы траектории и равенством нулю работы на любом замкнутом пути — называются потенциальными, или консервативными. Сила тяжести — классический пример потенциальной силы.

Теперь перейдём ко второй важной силе — силе упругости. Представьте горизонтально расположенную пружину, один конец которой закреплён, а к другому прикреплён брусок, скользящий по гладкому стержню без трения. В положении равновесия пружина не деформирована и, следовательно, силы тяжести уравновешена силой реакции опоры.

Введём систему координат так, как это показано на экране. А за начало отсчёта возьмём положение центра тяжести бруска в положении равновесия.

Теперь, мы оттянем брусок вправо, растянув пружину на величину x₁. В ней возникнет сила упругости, направленная к положению равновесия. Её модуль мы можем определить из закона Гука:

F₁ = kx₁.

Если отпустить брусок, сила упругости совершит работу, вернув его к положению равновесия или даже дальше, если пружина сожмётся. Предположим, что брусок переместился так, что координата его центра тяжести стала х₂. Тогда модуль перемещения бруска будет равен разности между его начальной и конечной координатой:

s = x₁ – x₂.

Но как найти работу, совершённую силой упругости, ведь в данном случае она переменная, то есть зависит от координаты x?

Самый простой способ это сделать — графический. Построим график зависимости силы упругости F = kx от координаты x. Очевидно, что графиком будет прямая линия, проходящая через начало координат.

Мы знаем, что работа силы численно равна площади фигуры под графиком силы. При линейной зависимости это площадь трапеции, основаниями которой являются силы упругости пружины в начальном и конечном состояниях, а высота — это перемещение тела:

Подставим в эту формулу выражения для сил упругости и раскроем скобки:

Обратите внимание на структуру: работа снова выражается как разность некоторой величины, вычисленной в начальном и конечном состояниях системы: (kx²/2). Можно доказать, что эта работа также не зависит от того, как именно двигался конец пружины — прямолинейно или по кривой. Главное — начальная и конечная деформации. И если вернуть пружину в исходное состояние (x₁ = x₂), то общая работа силы упругости окажется равной нулю. Следовательно, сила упругости тоже является потенциальной силой.

А теперь обратимся к силе, которая ведёт себя совершенно иначе — силе трения скольжения. Поставим эксперимент: толкнём брусок, лежащий на столе. Он проедет некоторое расстояние и остановится. Почему? На него действует сила трения, направленная всегда противоположно скорости (перемещению). Конечно, на брусок ещё действуют сила тяжести и сила реакции опоры, но они уравновешивают друга и в движении бруска не участвуют. Угол между силой трения и перемещением равен 180°. Косинус этого угла равен cos 180° = –1. Поэтому работа силы трения скольжения всегда отрицательна: 

Ключевой параметр в этой формуле — пройденный путь. То есть, работа силы трения напрямую зависит от длины траектории. Чем длиннее путь, тем больше (по модулю) работа, совершённая силой трения, тем больше энергии она «отнимет» у тела.

А что будет, если тело вернётся в исходную точку? Например, вы сдвинули машинку к одному краю стола, а потом обратно. Работа силы трения не обнулится! Она будет определяться формулой, представленной на экране:

где s₁ и s₂ — пути туда и обратно.

Таким образом, на замкнутой траектории работа силы трения отлична от нуля и всегда отрицательна. Такие силы, работа которых зависит от формы и длины траектории, называются непотенциальными, или диссипативными (от слова «рассеивание» — они рассеивают механическую энергию, превращая её во внутреннюю, в тепло).

Из формулы следует, что работа силы трения зависит от модуля перемещения тела. И даже если тело вернётся в исходную точку, то работа силы трения не будет равна нулю. Такие силы, работа которых зависит от формы траектории движения тела и на замкнутой траектории отличны от нуля, называются непотенциальными или диссипативными (от латинского — рассеяние).

Однако не стоит думать о силе трения только как о «вредителе». Без силы трения покоя мы не могли бы ходить, а колёса автомобиля просто буксовали бы на месте, не сдвигая его с места. Но в этом случае мы говорим о силе трения покоя, которая работы не совершает, так как точка её приложения (место контакта колеса с дорогой) в идеале мгновенно покоится.